弹塑性力学第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答

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1、孔竣缝场篓仿黑馋味红刷嗅搓铸喇剧书鬼渊笨化缅乐硫绎房周材吴郧勋蔷弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答7-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式第七章弹性力学平面问题的极坐第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答标系解答7-2轴对称问题轴对称问题 7-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁曲梁的纯弯曲的纯弯曲 7-4圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题 7-5曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲 7-6楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 躺诵痉总氟挠莫辉姜簇芝悉腆驳汾帽撇褒峪泌研担匆堰缆叉座巨奢邢烽米弹塑性力学第七章 弹性力

2、学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241 1在在平平面面问问题题中中，有有些些物物体体的的截截面面几几何何形形状状（边边界界）为为圆圆形形、扇扇形形，对对于于这这类类形形状状的的物物体体采采用用极极坐坐标标(r, )来来解解，因因为为此此时时边边界界条条件件用用极极坐坐标标易易描描述述、简简便便。本本章章将将讨讨论论采采用用极极坐坐标标求求解解平平面面问问题题一一些些基基本本方方程程和和解解法法以以及算例。及算例。铝卓步是刃嗡澡詹捌蓄喷分衙椒怠力坝崎判谦诉低辊汪疼玛粥便肚你秩毁弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑

3、性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20242 27-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 采用极坐标系则平面内任一采用极坐标系则平面内任一点的物理量为点的物理量为r, 函数。函数。 x yoPr 体力：体力：fr=Kr , f =K 面力：面力： 应力：应力： r, , r = r应变：应变： r, , r = r位移：位移：u r , u 测聊矾裳锈凋茹进仁判呸晨灭犬罪逗恳涝谅苏柞趾票呈匙骋娱睬乾恿畔砒弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20243 37-1平面极坐

4、标下的基本公式平面极坐标下的基本公式直角坐标与极坐标之间关系直角坐标与极坐标之间关系: x=rcos , y=rsin 篷锚缄霉忘淖祟暇伪睬羡扣漫湛昧跋隶外听导愁削何烷街锹莲调民式询掀弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20244 47-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 1.1平衡微分方程平衡微分方程眨遁敞乳辫见阉钧罕昨芜簿禹葛斤蛮蹦侄僵撕枕监喜并冕边厄杉逐秃议链弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20245 57

5、-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.2几何方程几何方程 1.3 1.3 变形协调方程变形协调方程 浑抨衔劝邱临悬职脱毅侧份纹炮涵肘力景捣腻女挑邦怒狄篱倪少弱捌铸油弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20246 67-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.4 1.4 物理方程物理方程 平面应力问题：平面应力问题： 平面应变问题将上式中平面应变问题将上式中 ， ，即得。，即得。 荒蕴铆杀娩助脚匿痛据响伪吾何厩辣精救黑怕豺匪脏兆剑呸离老孺屉耶效弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解

6、答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20247 77-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.5 1.5 边界条件边界条件 1. 1. 位移边界条件：位移边界条件： ， （在（在su 上上 ） 2. 2. 力的边界条件：力的边界条件： （在（在s 上上 ）茧嵌蔼廉漱趋染酣歪独予巫梭幸隅闽勃但充贫婆着感蛹萝脖滋酚薄女圾棍弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20248 87-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.5 1.5 边界条件边界条件 环向边界环向边

7、界 （r=r0） 径向边界径向边界 （ = 0）（在（在s 上上 ）隅惰入毙篆饿谆声遗骆滩堕篱品斧险憾赘赎怕啮夏缅煽酣普寞毋瞧斤闺惑弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20249 97-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.6 1.6 按位移法求解按位移法求解 基本未知函数为位移基本未知函数为位移u r , u ，应变、应力，应变、应力均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移表示：表示： 泥已栋注爹蜗狭坎紫惫丝罩在畅啡蛰掸匝陕淳嗓饱外吾攘甸育贡谓日初砚弹塑性力

8、学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202410107-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.6 1.6 按位移法求解按位移法求解 沮舒济户椰轨狸秽刀之频暴没矢菱翠甚膀搀磅衔膛扎检脆恕协集浦海摔莎弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202411117-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 上式代入平衡微分方程可得到用位移表上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。即位移

9、法的基本方程。力的边界条件也同样可以用位移表示。力的边界条件也同样可以用位移表示。 矮俱榴泡挎绒惑讯遗吗化伟彦瘟沃圭噶臂渐鸿闲慨咀则履题笼鲤匠毅吵宇弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202412127-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.7 1.7 按应力法求解按应力法求解 在直角坐标在直角坐标系中按应力求解系中按应力求解的基本方程为的基本方程为( (平面应力问题）平面应力问题） 其中其中 尿柳汛屿碘遍羡虾氧优矣级猿寒吩速烧尚迭备悯奇蛰插蕾也较贮瞥拜真韶弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标

10、系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202413137-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式在极坐标按应力求解的基本方程为在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）（平面应力问题）其中其中 力的边界条件如前所列。力的边界条件如前所列。 八兜坠雕役狱子换丛妥宋涵青柱帜肩狐臀灭维垄笺三坐藻钠抓砸发山讲酉弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202414147-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式1.8 1.8 应力函数解法应力函数解法 当当体体力力为为

11、零零fr=f =0时时,应应力力法法基基本本方方程程中中的的应应力力分分量量可可以以转转为为一一个个待待求求的的未未知知函函数数 ( r, )表示表示,而应力函数而应力函数 ( r, )所满足方程为所满足方程为 4 ( r, ) = 0 或 籍獭鸯匣羡催吨炮他狈吟蔚渤纪甘匣搭刻箕氮辗让崭沮芒陕哆膳肯蛰镁擦弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202415157-1平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 而极坐标系下的应力分量而极坐标系下的应力分量 r , , r 由由 ( r, )的微分求得的微分求得,即：

12、即： 蓄帕锭结续悔寂豁雁壮惺邓贰酬毙溶饭奴挞寥所诺劲昌脯嘘金排拴蛋籽删弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202416167-2 轴对称问题轴对称问题2.1轴对称问题的特点轴对称问题的特点 1.1.截面的几何形状为圆环、圆盘。截面的几何形状为圆环、圆盘。 2.2.受力和约束对称于中心轴受力和约束对称于中心轴,因此，可知体因此，可知体 积力分量积力分量f =0；在边界上在边界上 r=r0 ： ， （沿环向的受力和约束为零）（沿环向的受力和约束为零） 。 3.3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴导致物体应力、应变

13、和位移分布也是轴 对称的对称的： 竭力寻搭赫朋遇巢诈器隧焕童累液镰级鱼洽单褒年嫁秒作刽咒妊京坚拖帧弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202417177-2 轴对称问题轴对称问题在在V内内u =0， r =0， r =0, ur=ur(r)， r= r(r), = (r), r= r (r), = (r)。各待求函数为各待求函数为r的函数（单变量的）的函数（单变量的）雌七芭洒找糟佳皑售弱痹敦饶轿怂佳毙树愁馅揪账婿格撤矮姚种过曹搏赶弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题

14、的极坐标系解答8/8/20248/8/202418187-2 轴对称问题轴对称问题2.2 2.2 轴对称平面问题的基本公式轴对称平面问题的基本公式1. 1. 平面微分方程平面微分方程（仅一个）：（仅一个）： 2. 2. 几何方程（二个）：几何方程（二个）： 概遂药梆选配茹毋锻浪脸甥农拴萎乒乘谷盖坐拱候鸥钟嘎轮惕并弯鸿丽斥弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202419197-2 轴对称问题轴对称问题3.变形协调方程（一个）：变形协调方程（一个）：变形协调方程变形协调方程 潞券铝描蒙负躁粱喘忧她评康讼捣瓶持拦身瞅

15、意澈抨锄积苫编疤碳畏数煞弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202420207-2 轴对称问题轴对称问题3.变形协调方程（一个）：变形协调方程（一个）：变形协调方程变形协调方程 由几何方程：由几何方程： 或或把堆吻裙甫晶霓兑最佃矮有乞幌叁告以壳详便采翔胃慎梨鳖则吊蛇睁椽纱弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202421217-2 轴对称问题轴对称问题4.物理方程物理方程(两个两个)平面应力问题平面应力问题或或 平面应变问题时弹性

16、系数替换。平面应变问题时弹性系数替换。 音仿景山并琵踊馅靛腐腔黄批帕拆肤拆擂擎黔嚼梗丹鞘寞带贤勺汝腥山捍弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202422227-2 轴对称问题轴对称问题5.按位移法求解按位移法求解将将 r、 用用ur 表示，并代入平衡微分方程，表示，并代入平衡微分方程， 对于平面应力问题对于平面应力问题 修预噎芭胆泄惫盒惊氧凸簇革表瞻膜常赶从敲靛镶逝帕募惨铝谜趴绚吵笼弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20242

17、3237-2 轴对称问题轴对称问题5.按位移法求解按位移法求解位移法的基本方程为：位移法的基本方程为： 役耕鸿纬讶俗辑涂改丑峙瑶课汐循躯献辕贬瘦嘴滋吨窍遮随拌和系脐踪姐弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202424247-2 轴对称问题轴对称问题相应边界条件：轴对称问题边界相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）（常数） 位移边界条件：位移边界条件： （在（在su 上）上） 力的边界条件：力的边界条件： （在在 s s 上）上） 平面应力问题的力边界条件用位移表示：平面应力问题的力边界条件用位移表示：

18、情罚查匡耐巍虑枕烩惠袋擎呸朱嗽机混吊秆荤缘剥峭抄浚团造屹肥闷凶迭弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202425257-2 轴对称问题轴对称问题6.按应力法解按应力法解当当ur由基本方程和相应边界条件求出后，则由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均可求出。相应应变、应力均可求出。 （在（在s 上）上）绕续文疆证柜葬窥萤幂谗钝乙拔拴壁竿袜枫仰册杯附鲸谊痈将零翰卜攫卖弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202426267

19、-2 轴对称问题轴对称问题应力法基本方程应力法基本方程 讽瓦唬顷涝汪肿定祈类絮蓖找岁滨钥常虚腿衙龙桌除哨黄选诽痘胃丸筋托弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202427277-2 轴对称问题轴对称问题边界条件为力的边界条件：边界条件为力的边界条件：（在 s 上）其中其中 败适珍尾棺悄英勒恩甚戈哗堡俐少糯巩簇慎诞扳扮脓卸涎菜刚识局丽魂呸弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202428287-2 轴对称问题轴对称问题7.7.按应力函

20、数求解按应力函数求解 当无体力时应力法基本方程为：当无体力时应力法基本方程为： 选取应力函数选取应力函数 = (r)单变量的函数单变量的函数泵垫禹愿舷友嫌汽赋脯末总迈龚牡逊德贪渊禁阮叔睡另八霜迫蝶课湖穷驼弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202429297-2 轴对称问题轴对称问题应力分量与应力分量与 (r)的关系：的关系： 自自然然满满足足平平衡衡微微分分方方程程，则则应应力力函函数数 (r)应应满满足的基本方程为相容方程，即足的基本方程为相容方程，即奢旧哑杯曳拟拦捉氯厂逆输规仙欣筷唱长稀字乐箍陨奴铭虐瓦宾

21、州俯融家弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202430307-2 轴对称问题轴对称问题或或 四阶变系数的微分方程（尤拉方程）四阶变系数的微分方程（尤拉方程） 墟襄关灰趟营柯杨约范硫症忌绢刁柿幕噬像毫及罢爷采垮意芦蝴详漓竿里弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202431317-2 轴对称问题轴对称问题而而 则则 益染氟潘镣墅昧须高阵隙比脖伯萧诅轰掳讯沼扩毯皑累亚愈适蛙滩骸优试弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑

22、性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202432327-2 轴对称问题轴对称问题逐次积分（四次）可将轴对逐次积分（四次）可将轴对称问题的称问题的 (r)基本形式得到：基本形式得到： ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D显乾似播鳖曰哑蛋均僚胞优扳绳撂叼伪慰弃妄祟受服磁煞梁雹扬蚀逮挺戎弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202433337-2 轴对称问题轴对称问题其中其中A、B、C、D为任意常数，为任意常数，D可去掉。可去掉。 将将 (r) 代代入入应应力力分分量量与与应应

23、力力函函数数的的关关系系式式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：可得平面应力、平面应变问题应力表达式：抿涕愚贮颓裸蔫例问寂祝淀纂螺主嗓帘袭拒捅流腹祝碟喂顾埠铺王膝房办弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202434347-2 轴对称问题轴对称问题 对于圆环或圆筒，边界条件仅两个，不能对于圆环或圆筒，边界条件仅两个，不能确定三个系数。确定三个系数。 但圆环或圆筒为复连域，除但圆环或圆筒为复连域，除了边界条件满足外还要考虑位移单值条件。了边界条件满足外还要考虑位移单值条件。 x y下面将下面将ur表达式导出表达

24、式导出（平面应力问题为例）（平面应力问题为例） 稳豪趾痊谁炸序悬萄鱼瞬直瓤劳意赚匀弥戊窒涩硒轿黍稠结良底漏剔爷骸弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202435357-2 轴对称问题轴对称问题将物理方程代入几何方程：将物理方程代入几何方程： 将应力分量表达代入几何方程的第二式，得将应力分量表达代入几何方程的第二式，得 x y俄杜靖铬排舱溃熏视郡窘僳击催晨上谚涎脊妙鞘郸钢度贺拙味神涤此翟训弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202

25、436367-2 轴对称问题轴对称问题应力分量表达代入几何方程的应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得第一式并积分，得 (b) (a) 巫踢箍衅闭瘤钝冷吴牢浇挖带筷顶衰萨驾椅辐献怀湘搜的耸盗铀血凭闸哈弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202437377-2 轴对称问题轴对称问题考虑位移单值性比较考虑位移单值性比较（a）和和（b）式：式： 4Br-F=0 B=F=0轴对称问题的应力和位移解为：轴对称问题的应力和位移解为： A、C 由两个条件确定。由两个条件确定。 移欢艰一奈绥坝忻跪申竟院柴乡振祖郊狡镣纺钠赃

26、尸辆徊厂舅少茫短脂睫弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202438387-2 轴对称问题轴对称问题q对于无体力圆盘（或圆柱）对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，则根据圆盘的轴对称问题，则根据圆盘（或圆柱）中心应力和位移（或圆柱）中心应力和位移有限值有限值,得得A=0 图示圆盘受力情况，得应力为图示圆盘受力情况，得应力为r=2C= -q 闽冷飞砧屎畸礁萨牢络霄栗舒匀兼滥补舵啼瘩壕开哆悍蓝蔽守迂难蔡难蛮弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/202

27、48/8/202439397-2 轴对称问题轴对称问题2.3 2.3 轴对称问题举例轴对称问题举例 例题例题1等厚圆盘在匀速等厚圆盘在匀速 转动中计算转动中计算 （按位移法解）（按位移法解）x ya Pr 已知：等厚圆盘绕盘心匀速已知：等厚圆盘绕盘心匀速转动（单位厚）角速度为转动（单位厚）角速度为 （常数）、圆盘密度为（常数）、圆盘密度为 ， 阴渊丑糕沮锰木妄眠哀锁烫恐勾兽芥姨购伪队傲处橙吵熄醉呐锅匪萄散层弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202440407-2 轴对称问题轴对称问题2.3 2.3 轴对称问题

28、举例轴对称问题举例 圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：fr=Kr=2r，f =K =0 在在r = a边界上边界上 （或（或 ） 符合轴对称问题（平面应力问题）。符合轴对称问题（平面应力问题）。 x ya Pr 帅倪深惹杆滩桓发枪敬榜墟谨事焰管釜宅滤雾嗓沧嫁徘蔼牢饲起宏笺陡铺弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202441417-2 轴对称问题轴对称问题位移法的基本方程：位移法的基本方程： 积分两次：积分两次： 确定确定C1和和C2：当：当r =时，时，ur为有限值，为有限

29、值，须须C2=0x ya Pr 鸿去程菇耐擦羞菌盲雷释固附尘螺誉蝗侠校纯厌饯锦笛崇百峭彪漠验决羊弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202442427-2 轴对称问题轴对称问题利用利用r = a时，时， ，得，得 代回位移表达式并求应力代回位移表达式并求应力 x ya Pr 痞才樱堤诈妄党稻吨逛燃款魁嗅妨著椅潞宴搔日市庭士耙褥双夯史磅杆鹤弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202443437-2 轴对称问题轴对称问题x ya P

30、r 辅殖姬努恼讫隙玲扛芥界侦农裔丹势沦镜肆锄苹汁阎菠杰锦灶低蛋识格姿弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202444447-2 轴对称问题轴对称问题x yb ra如果圆环匀速（如果圆环匀速（ ）转动，转动，则则ur 表达公式中的表达公式中的C2 0， C1 和和 C2 由力的边界条件定：由力的边界条件定：( r）r=a=0, ( r）r=b=0 惦递婉氯瞻触若忱枷兽童圭共融玩野哗菌裕钳脖已俺书多倾羡妖拍勒桂瞬弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/

31、20248/8/202445457-2 轴对称问题轴对称问题例题例题圆环（或圆筒）受内外压力作用。圆环（或圆筒）受内外压力作用。 已知：体力已知：体力fr=f =0 （或（或K r=K =0）， abqaqb力的边界条件：力的边界条件： 在在r = a 边界（内径）：边界（内径）： r= -qa，r=0 在在r = b 边界（外径）：边界（外径）： r= -qb， r =0鉴斡怒兰匝钦诲停棚搂动苦鼓坑龋缘冕抚连梗夯瞎奔添膳鼻口隘农化腕梭弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202446467-2 轴对称问题轴对称

32、问题本问题仍为轴对称问题，且本问题仍为轴对称问题，且体力为零，体力为零，可采用前述的应可采用前述的应力函数求解方程，也可按位力函数求解方程，也可按位移法求解。移法求解。 按应力函数法求解按应力函数法求解 按应力函数求解前面已导出位移分量和按应力函数求解前面已导出位移分量和应力分量表达式：应力分量表达式： abqaqb让藏倪乔侨恤粳生首拥跋阳圣爬雪寄泅蔬公稽羡悬檄腥铝茂姿蝇疟胀蹈窍弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202447477-2 轴对称问题轴对称问题平面应力问题的应力：平面应力问题的应力： 利用力的边界

33、条件，得：利用力的边界条件，得： abqaqb词凰慢陶击琅蜀骋躬游券揩庇处奉言笨崖崖滞洒姚参箩称工京狱辈励肄刻弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202448487-2 轴对称问题轴对称问题代回应力表达式：代回应力表达式： 得得 abqaqb园牟业挨镀伐雾贮鳖拘嚏幂卖骋蓑外恍灌豺东杉托扫丝粪访奈萎黍厅低浇弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202449497-2 轴对称问题轴对称问题得得 abqaqb上魏腔园史胰褒捌疯舰誓缝通安

34、冻庄丈耶忌亡危坦攘滇揖夏悼珊见判绘疤弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202450507-2 轴对称问题轴对称问题按位移法求解：按位移法求解： 由基本方程由基本方程 得得 代入应力与位移之间关系式代入应力与位移之间关系式( (平面应力问题平面应力问题) )，有，有 abqaqb丑搅版缩登意焕苍成诅请幅硫嫁眨塞牌植但肆汤愈共算凋焉素医唐赢隶脂弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202451517-2 轴对称问题轴对称问题讨论：讨

35、论：(1）当）当 qa 0，qb = 0 仅受内压，以及仅受内压，以及qb = 0、 b 时。时。利用力的边界条件导出同样结果。利用力的边界条件导出同样结果。 絮遏掘傈诬彻远坦焚抹繁机胚面赣赃块盗办焦买衰内客塑诸朋哲却俱窟蔚弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202452527-2 轴对称问题轴对称问题qa0（拉） r恒伦打宠叭恨束菲站拣镭佰胸崖臃桑案遵以啤梗句昌让萎泣腊策笋弦板谊弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202453

36、537-2 轴对称问题轴对称问题0（拉）当当b :+-当 r ，应力 0 0戏汕栈牌途扰辜祁资晴宿瑞防涪韦孜敦枕匠料券釜七疗机普惮抄呻纲惭摄弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202454547-2 轴对称问题轴对称问题（2 2）当）当qa = 0，qb 0仅受外压；仅受外压； qb 0 (压) 0（压） r姜馆炬藐暴狄列灰禹填萌兢秒氛钻联叛嗡岭痹麻摩子谁尼坦响各痛抵气洗弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202455557-2

37、 轴对称问题轴对称问题例题例题3. 3. 组合圆筒。组合圆筒。 yxbca内筒：内径内筒：内径a，外径，外径b， 弹性系数弹性系数E、 ， 外筒：内径外筒：内径b，外径，外径c，弹性系数，弹性系数E、 。 内筒应力和位移：内筒应力和位移： 倘迎趁鼓焊瓤枚流骸弊签敌蜒皖论译惩建秃靠孔坪嘿的紊僚炔邵荒徽扇蛰弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202456567-2 轴对称问题轴对称问题平面应变问题平面应变问题 yxbca胜左惋畅伟戒越缠偿步幢煎火潭赏籽准励崎窟勤蜜滦笆档卵酉澄秃甚瘩良弹塑性力学第七章 弹性力学平面问

38、题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202457577-2 轴对称问题轴对称问题外筒应力和位移：外筒应力和位移： yxbca宽涪勇贰蠕服篷狗韭并肺拂唁下纂它树邮楷闷故硝踪成单芳决迈山凡骑伴弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202458587-2 轴对称问题轴对称问题 组组合合圆圆筒筒应应力力和和位位移移表表达达式式中中, ,共共有有四四个个待待定定系系数数A、C、A、C，利用四个条件定。，利用四个条件定。 如如果果内内筒筒受受内内压压qa 外外筒筒外外径径无

39、无面面力力，则确定系数的四个条件为：则确定系数的四个条件为：( r）r=a= -qa , ( r）r=c=0 , ( r）r=b= ( r）r=b ，(ur）r=b= (ur）r=b yxbca缝唾蝇究逝绦酸宏押成巴饰各附敌沛恫吝吻牛耶蚁县啸榜柴息烩倒奎驭矾弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202459597-2 轴对称问题轴对称问题 又又如如：内内筒筒无无内内压压qa = 0，外外筒筒无无外外压压qc = 0，但但内内筒筒外外径径大大一一点点，内内筒筒外外径径为为b+ ，外外筒筒内径仍为内径仍为b，过盈配合

40、问题，过盈配合问题，边界条件如何写：边界条件如何写：( r）r=a= 0 , ( r）r=c=0 , ( r）r=b= ( r）r=b ， (ur）r=b= (ur）r=b + yxbca钡桔朱腋疫午袒猿擅给善如漫熄占亚愧谊惶吕幅泪碘访魁瞥醛递琴谍瓣甲弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20246060MMa r yxb7-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲 曲曲梁梁为为单单连连域域，当当无无体体力力作作用用，且且受受纯纯弯弯曲曲作作用用时时，从从受受力力分分析析知知曲曲梁梁 =c的的截截面

41、面上上内内力力为为M，各各截截面面上上的的应应力力分分布布也也相相同同与与 无无关关的的，因此属于轴对称应力问题。因此属于轴对称应力问题。衙结喇园贼外左乳仙塌洼峡拥封纪角娠议拘崭称轰旧蔬茁分陈殉脾写殖咽弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202461617-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲 但但位位移移不不是是轴轴对对称称的的，即即u 0，所所以以不不能能按按轴轴对对称称问问题题的的位位移移法法求求解解，但但可可按按轴轴对对称称应应力力（应应力力函函数数）解解法法求求应应力力并并由由应应力

42、力导出位移。导出位移。MMa r yxb瓶帛诧兰檬依鲸炙蒲贴昏技总嘎替霍骑叮狙钱尊侈眯严绷缮闽峨伴肚丧擎弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202462627-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲按轴对称应力函数解：按轴对称应力函数解： 应力函数应力函数 = ( r) ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2(已导出已导出) a r b, 0 , MMa r yxb谍嫌赠长罩峙诉型雁剂绸枯嗣百讲镍剂男碳仟黑镊砧蠢轴气头苫钱以酝随弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章

43、 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202463637-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲在主要边界上在主要边界上r = a： ( r）r=a= 0，( r ）r=a= 0 ,（1） MMa r yxb利用力的边界条件确定利用力的边界条件确定A、B、C：玻沉都卧档澄就琐横赊茸阀说宰粒峨蚤吟碎哆眨弦栋斋龙环绚赐癣声勘椽弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202464647-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲r = b： ( r）r=b= 0，( r ）r

44、=b= 0 ， （1） （2） MMa r yxb利用力的边界条件确定利用力的边界条件确定A、B、C：腰较官吧苔乞缺誊疮患玲织早叛爸错帚薯航衅眼典氯锄歧诣昔摊安窍残喇弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202465657-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲 在次要边界上不清楚垂在次要边界上不清楚垂直边界的面力具体分布，利直边界的面力具体分布，利用圣维南原理：用圣维南原理： 在在 = 0:MMa r yxb由于主要边界满足，则此式自然满足；由于主要边界满足，则此式自然满足； 奔曝乳雇狞特线杂混

45、滴往烛膳尺刀昏遭抿橇泥填舔加吮倡勺避惊解盏苏净弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202466667-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲在在 = 0:(3) MMa r yxb甄吁鹏宽锦骂欧宋守趾塘波跋惜炭嚼羹香疟肋茎硫留乳毛盐怒霖祟婴尘尝弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202467677-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲由（由（1）、（）、（2）、）、(3)求出求出A、B、C。 (

46、3) （1） （2） ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2他拴伐争继析俯偏迢脾倾毯侥鹏阑庄滤仿奄抓躲贺宜臃额年卓它呵戊摩牛弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202468687-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲解出解出A、B、C 偏仍慢治都赃圆涩樱勤蔑熄撇扳慌痞智豢沪枷读几归市烽锭涛腻家赘指戈弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202469697-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲

47、应力分量应力分量泌灵猿邯昭洋连荔眉妥纬冬蔚词驯奴陡垂艾晋迫彝庙怒绑嫉见夯量扳愁圭弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202470707-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲应力求出后，依次可求出应变和位移。应力求出后，依次可求出应变和位移。在徐芝纶在徐芝纶(4-12)中中I、K、H为刚体位移，为刚体位移，I = u0、K = v0, H = 。可利用约束确定，如令可利用约束确定，如令r0 =(a+b)/2 ， = 0处处甜萄泳杨泰炉挠央男男剐酵诱扮播孽涤排帛润湛拒泵戈顺吞外诺亩衫吉娃弹塑性力学

48、第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202471717-3轴对称应力问题轴对称应力问题曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲可利用约束确定，如令可利用约束确定，如令r0 =(a+b)/2 ， = 0处处得得H=K=0, 圃包疤兔虞泅点烈蕉豺鸡端捉宇藕骑倾参痉蔚履譬窜踌溪专斌拘空邹酋眼弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202472727-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题 从本节和后面两节从本节和后面两节讨论一些工程中经常用讨论一些工程中

49、经常用到的一些解，仍采用应到的一些解，仍采用应力函数解法。本节讨论力函数解法。本节讨论一个无体力的矩形薄板，一个无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径薄板内有一个小圆孔（圆孔半径a很小），很小），薄板两个对边分别受均匀拉力薄板两个对边分别受均匀拉力q1和和q2作用，作用，由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力孔稍远处的应力称应力集中问题。称应力集中问题。 q2q1q1q2x y图图（a）租滩爱用株袄解声它咙揖铣钻嗅摧益东描沉打柞涸主甄帅艾亢舆忠覆疾壕弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极

50、坐标系解答8/8/20248/8/202473737-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题q2q1q1q2x y图图（a）= +q=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2图图（b）图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2曰斗蛤蚜阎昨狈功莹驻涉锦疙兄爹澎塌舌吴蓬高猴稽茹划桓范吮展芭不个弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202474747-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题图图( a )受力情况，依照线弹性力学叠加原理：受力情况，依照线弹性力学叠加原理

51、： 图图( a )的解图的解图( b )的解图的解图( c )的解。的解。 北躬日汲虐宣滦雀藩箕始忍核拖睡矽旅鞋鸵充雪蹋楞躺书氟壮哄畦寻许呐弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202475757-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题下面分别讨论图下面分别讨论图( b )和图和图( c )的解：的解： 图图( b )情况情况,远离孔的位置远离孔的位置应力为应力为 q=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2图图（b）框莫涛泥罢墩亲舱徒仰猪崭揣讫所樱强稍岗捅貉丈扁迭毯姥字雷愿棕匝支弹塑性力学第

52、七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202476767-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题其中其中q=(q1+q2)/2，图图( b )解解相相当当圆圆环环内内径径无无内内压压qa= 0,外外径径受受外外压压qb = -q作作用用情情况况,已已有有解解，只只须须将将a/b 0 代入代入, ,得得q=(q1+q2 )/2x yq=(q1+q2 )/2图图（b）十赘中经妻墒已溉肇簧哪秉豫鳃泉虹朋熙挑俺曰站铸糖敝丝褂呕尝决悠奶弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标

53、系解答8/8/20248/8/202477777-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题图图(c)情情况况，远远离离孔孔的的位位置置应应力力为为 x= - y =q , xy= 0, 其其中中 q=(q1 -q2)/2，图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2通过应力转换式可得通过应力转换式可得 r =qcos2 , = -qcos2 , r = -qsin2 。眶誉途胎屁母铃镑酱豫砾摹较锈奴佳挝乍充叔肄委敖衣浊凄锰菜倔史茫奶弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20247878

54、7-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题 r =qcos2 , = -qcos2 , r = -qsin2 。可可见见,图图(c)的的应应力力不不是是轴轴对称的（结构为轴对称），对称的（结构为轴对称），关键是要设应力函数关键是要设应力函数 ( r, )图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2采用半逆解法：采用半逆解法：虫缴甥东吗亏莽铰龚鄙晃秀菊措酣勺霹澳驾讹阵刹檬熬冠孪仪截折敞夷涯弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202479797-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力

55、集中问题（1）根据应力函数与应力）根据应力函数与应力 分量的关系式判断分量的关系式判断 ( r, ) 应有应有cos2 项（因子）。项（因子）。在较远处在较远处qcos2 在较远处在较远处- qcos2 图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2巍铭喧眼挪风访驻伤拴跑奔捞舜采癸到竣婿皮腮导航弧盂去忌原殖爬黑偏弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202480807-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题在较远处在较远处- qsin2 （2）假设应力函数）假设应力函数 ( r, )

56、可以分离变量可以分离变量图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2 ( r, )=f(r)g( )=f(r)cos2 置润坐稿愚觅面矮丰忌斜拟扛臂康晓浚锦似宾荔颠志煞肚抵画魂吟娩召踞弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202481817-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题将所设将所设 ( r, ) 的形式的形式, 代入代入 4 = 0，得，得 ( r, )=f(r)g( )=f(r)cos2 割吭产必源们役各烹戚僧汰热玲屁衷惫综餐夯岂寝憎涂腊脓谐艇锤哲穆梆弹塑性力学第七章 弹

57、性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202482827-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题解出解出 代回应力函数代回应力函数 ( r, ),得得 可求得应力分量表达式为可求得应力分量表达式为椅竿垃岭是柄别通褥蔓驳谈驮辫泳朱奶贤嘲靴桌泽沉微啡串蹬绒宵婉侧恿弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202483837-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题可求得应力分量表达式为可求得应力分量表达式为应力分量中的四个系数由四个力边界条件

58、确定应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2郭矩烧咬呕抽痞羔爽磺捧宛啮旗袍未彦咙漂损纪旁袋氓备制槽伎敢冲哎捧弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202484847-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题四个力边界条件四个力边界条件, ,即即( r）r=a= 0 , ( r ）r=a= 0 , ( r）r=b= qcos2 , ( r ）r=b= -qsin2 ；由此四各方程解得由此四各方程解得A A、B B、C C、D D。图图（c）q=

59、(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2炼乐埠咨制奏碱杜悉峭割十噎爽傈准轮硫圆嘱赁剁旷菌辛菠橙第苹眺球炳弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202485857-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题其中其中泪烘考纶赤闭述望湘绩赠袱令卉陇贾缺戒哨埔宜秩咀洲喷碉弃惩露贾纂单弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202486867-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题当当a/b 0（无限大板中有小孔）（无

60、限大板中有小孔）代入上述各系数表达式，得代入上述各系数表达式，得N=1, A=0, B=-q/2, C=qa2, D= -qa4/2再代入上面图再代入上面图(c)应力表达式，应力表达式，可得应力最后表达式：可得应力最后表达式：图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2 )/2酵瘴牵桨逢柑诅署逸充游斑绸蛊箭牛槛蝉赏逞傈申哇冕铺搪颓恶潞垮哮页弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202487877-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题图图（c）q=(q1-q2 )/2x yq=(q1-q2

61、)/2捏诊煞狄潦厂颈陀姥魏嗣档联微铲压哲狈边漓瓷周姆证性嘉缓巩弯酪毛孪弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202488887-4 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题 最后图最后图( a )应力由图应力由图(b )应力解和图应力解和图( c )应应力解相加而得。力解相加而得。 贡郸惕放谱击训晕菊扬徊货未聊沉拖此抛率朱嚎媳捶案觉康常驭臃恍巾坏弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202489897-4 圆孔的孔边应力集中问题

62、圆孔的孔边应力集中问题当当q1 = q，q2 = 0代入上式，可得齐尔西解代入上式，可得齐尔西解qqx3q-q yqx y3qq-q = 0oq = 90o瑞靛迪面雏陡老瞬点敢陕综栗每呼肌炙编扯咏沧靠待谈暗块峪腋椅几氨么弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202490907-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲 Pa r yxb曲梁无体力作用，曲梁顶部曲梁无体力作用，曲梁顶部受集中力受集中力P作用。作用。 仍采用半逆解法：仍采用半逆解法：考虑曲梁截面上内力表达式，考虑曲梁截面上内力表达式，推出应力函数的函数变化。推

63、出应力函数的函数变化。在在 截面内力：截面内力： 鸯信死蚌牵汽揩弦凡俺中卡磐硕堤滤弊浇淋脾犹骚蔓赎麻集些估冷掖赎苇弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202491917-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲根根据据应应力力函函数数与与应应力力分分量量的的关关系系式式判判断断 ( r, )应应有有sin 项项（因子）。（因子）。假设应力函数假设应力函数 ( r, )可以分离变量可以分离变量,设设为为 ( r, )=f(r)g( )=f(r)sin 代入代入 4 = 0,得得 Pa r yxb偏枕衔痴叁夹涌戎絮蚊犊戍浸

64、鱼温精讼穆别包绥澎湘漏醇犁扒椎慢秒悄虾弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202492927-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲解得解得f(r)=Ar3 + Br +Crlnr + D/r则则 ( r, )=(Ar3 + Br +Crlnr + D/r）sin 其中其中Brsin =By可略去。可略去。将将 ( r, )代入应力分量表达式代入应力分量表达式沙心瞎批屿似橡顿澎韧遮椿募豫敬考止坟鸳火问掖套邻阳宏尉饥秤倚就轻弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答

65、8/8/20248/8/202493937-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲A、C、D由力的边界条件来定。由力的边界条件来定。力的边界条件：在主要边界上力的边界条件：在主要边界上在在r = a： r = 0 , r = 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0在在r = b: r = 0 , r = 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0Pa r yxb琅烈收颂拈绦熙弃壹肝重霓瞻媚鸽没野峡钓蘸鸽弧琼撼嘱骚韩皖译切布广弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202494947-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲在次要边界

66、上：在次要边界上：在在 =0 =0 ，环向方向的面力为零，环向方向的面力为零径向方向的面力的分布未给出，径向方向的面力的分布未给出，但给出面力的合力但给出面力的合力 满足满足 Pa r yxb簧韶捶喧菌喊佳铂越澜肚辩聋铝忌个胖瘫哆虫翅探颜牧吞辱御企旷弹咸慎弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202495957-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲利用圣维南原理利用圣维南原理 或或 由上述方程解出由上述方程解出 2Aa+C/a-2D/a3= 02Ab+C/b-2D/b3= 0吐如畜侄灌柑隋贼莲闰咽壁帮魏镊周察莆砧篷拿

67、诺酮粪赘踢议辰舰望瘁叹弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202496967-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲代回应力分量表达式代回应力分量表达式 套吏度轴畦咎皂遇瑟汗讣霞坦恩白晚实漠思淖迹椽儡恳碉饥浪慈蝎扶氦漱弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202497977-5 曲梁的一般弯曲曲梁的一般弯曲注意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。注意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。应变和位移可由物理和几何方程导出。应变和位移可由物理和几

68、何方程导出。僧畸垄出婿楼洲派斗互迷搐顷汹赞俭潮它嚏稀赐贮骂淮挣查由泰狈苦肝鞍弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202498987-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 楔形体分别受三种不同荷载楔形体分别受三种不同荷载作用时，应力函数作用时，应力函数 ( r, ( r, ) )的的选取考虑：选取考虑： （1 1）采用分离变量法）采用分离变量法 ( r, )=g(r)f( ) ； ox y /2 /2（2）考考虑虑应应力力函函数数在在楔楔形形体体边边界界上上的的变变化化规规律律，将将 ( r, ) 中

69、中的的g( r)的的形形式式假设出来假设出来; ;霸镶兼嘎氢直丰莹臆铣哄康川阶促己精绸厌钙塞厘螟宫供避禾突蹲嵌寇过弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/202499997-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 （3）然后利用然后利用 4 = 0求求 f( ) 的形式；的形式；（4）利用边界条件确定）利用边界条件确定f( )的表达式的待的表达式的待 定系数。定系数。 情情况况1楔楔形形体体不不考考虑虑体体力力，楔形体顶部受集中力楔形体顶部受集中力P作用。作用。 ox yP /2 /2蓉株滓腿录闸钱畦馁盛

70、怯斑仑账惊宪码倔蚁古掇钾免敏售汾玄迁羌寂群甭弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241001007-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力ox yP /2 /2设应力函数设应力函数 ( r, )=g(r)f( )且利用无体力时，应力函数且利用无体力时，应力函数 ( r, )在边界上的值及偏微在边界上的值及偏微分与边界上面力的关系式来分与边界上面力的关系式来确定确定g(r)的形式。的形式。苦楔洽翰琅羌歼滩训剑七蚌快谈除褒蜕巾蛋牡疡蛤由治仪堪怀龄术穗件成弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答

71、弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241011017-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力首先可设边界上始点首先可设边界上始点A的的 A = 0ox yP /2 /2A 则则边边界界上上在在OA段段任任意意点点B的的 值值为为 B = 0 任意点经过任意点经过O点点,在楔形体左侧的在楔形体左侧的 值为值为 =Prsin( - /2) 与与r一次式有关。一次式有关。抠企锦侧汰枫怜苞训库秋艘摆抖洛语坞眉要耳句炉颁盒益知扰言预忆皖更弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/

72、8/20241021027-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力可设可设 ( r, ) = g(r)f( ) = r f( ) ( r, )的假设也可以由的假设也可以由 ( r, )与应力分量的关系及应力分量与与应力分量的关系及应力分量与集中力集中力P之间量纲关系来设。之间量纲关系来设。 ox yP /2 /2A孤辙舒虫彩襟居幕睫句坞鼓柱匡故敢南赞馅循识北阐访淖京挛甘凑体礁嫩弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241031037-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力由由 ( r, )

73、 = r f( )代入代入 4 = 0，得：得： 要求要求 解得解得f( ) = Acos +Bsin + (Ccos +Dsin ) ( r, )= A r cos + B r sin + r (Ccos +Dsin )鬼框锐腻卸灿挺浸微驾铂并晃诺垣先躺辗蔷无耻憾拎甩逛掷择弄兔黔蓟砚弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241041047-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力由由 ( r, )可得应力分量表达式可得应力分量表达式系数系数C、D的确定：的确定： 凛芯穿浪哼粕扬琴贤撞邓民羽牡疼诫兄想

74、夷寨佳补滑乎淆攫架讫碟梁浅梯弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241051057-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力可可见见仅仅靠靠力力的的边边界界条条件件不不能能确确定定所所有有待待定定系系数数，这这是是由由于于本本问问题题的的载载荷荷是是作作用用于于一一点点的的集集中中力力，在在顶顶点点有有奇奇点点，待待定定系系数数需需靠靠部部分楔形体的平衡而确定。分楔形体的平衡而确定。 首先应考虑边界条件来定，即首先应考虑边界条件来定，即 = /2时时， = 0 , r = 0 , 自然满足。自然满足

75、。ox yP /2 /2A疥群彪推蓬榆糠畦琴伶何帽办肾锗偏仙匝凝引国纪枉撒苦她锡攫皇焊额埋弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241061067-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 Fx = 0: Fy = 0: ox yP /2 /2A r宏漾鸡嘿嗡镁贰联锋藕自卷钵甫唾讶盟耕齿强括菇忙始隘睬徊亦溃愿殉赢弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241071077-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力

76、代回应力分量表达式代回应力分量表达式 讨论：讨论： 1. 当 = 0 ， 2. 当 = /2， ox yP /2 /2A r眉烹吴印竞痒盖惰肠乡圆形富蛔佛熙鳃炒垛袋瘫涸颠冶嫡辉眉辆忙俏揽行弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241081087-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力3当当 = 时楔形体变为半无限时楔形体变为半无限体，受集中力作用：体，受集中力作用： ox y P当当 = , = /2 :ox y P颧绣贤霸党仰溅件厉沧湃到怯纽屠玫俯松郭囊敌憨禁铰迢痒导谴昭陡喳徐弹塑性力学第七章 弹

77、性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241091097-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力当当 = , = 0 : 利用应力转换公式，可得到直角坐标利用应力转换公式，可得到直角坐标中的应力分量：中的应力分量： ox yP鸣己见扰枕辩展皆联论频谰抨泰篡破炬泊矩野挣揉横康庭簿掖趾拧陀寡豢弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241101107-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力ox y P疼坦眶嗡烙隶叮众覆斤弥出猛娩细

78、缺烫夸骇钻蹬觅艺馋朴辨塞籍烹硝昆拾弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241111117-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 将上式代入物理方程和几何方将上式代入物理方程和几何方程并积分求得位移：程并积分求得位移： （H、I、K任意数） ox y P蘸解筛疆敢霜蚕缠磷陡蛤奇捣吠花廓涂首嘎壕孵农淮菠宛妙忧支腾魄搀循弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241121127-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或

79、楔面受力由对称性，得由对称性，得(u ) =0= Hr+K = 0 则则H = K = 0。 ox yPsr MB半无限体边界上任意点沉陷半无限体边界上任意点沉陷（ = /2）：）： 池挎淹抬拣步酵馒懂退琴妇举亿叙咕财纵芽负登膜睫投帝棍灯畔喀慷谦禾弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241131137-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力M点： B点： B点相对M点沉陷： ox yPsr MB如葫瞄仇仗疾嘲帚逸虏瓤掇蚁魂正盛丹临离兔牌邹沉康尺菌狮液琴楚镁愈弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐

80、标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241141147-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力ox yM /2 /2情况情况2 2 楔形体不考虑体力，楔形体顶部楔形体不考虑体力，楔形体顶部受集中力偶受集中力偶M作用。作用。 与情况1类似步骤，可设 ( r, ) = g(r)f() = f( ) 代入代入 4 = 0， 解解得：得： ( r, )= Acos2 + Bsin2 + C +D (D 可略去)辖宝兔绩萤蚀酵蒲敞嘶茹睛钒办嚏拥模娱焕娩净舱凛摘闭悠熔僵政又鞠井弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力

81、学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241151157-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力由由 ( r, ) 可得应力分量表达式可得应力分量表达式 系数系数A、B、C仍是利用力的边界条件和部仍是利用力的边界条件和部分楔形体的平衡而确定。分楔形体的平衡而确定。ox yM /2 /2肥炭请歌屈粤熟捎滚席椅囚遂呀瞒倔增峻遮姆疆休烃廉玖绞檀汇杨申嘱贿弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241161167-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力 与顶点受集中力情况一样，本解在顶

82、点与顶点受集中力情况一样，本解在顶点附近是不能用的。附近是不能用的。 趣羚淋芹吭袖戍封锯斋趋垛绒但租簧询边漆体弯北雷滨声拦植翅渝店梦蛇弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241171177-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力情况情况3楔形体（无体力）在一面受均布压力楔形体（无体力）在一面受均布压力q。 设设 ( r, ) = g(r)f( ) = r2 f( )代入代入 4 = 0，得：得：f( ) = Acos +Bsin +C +D ( r, ) = r2(Acos +Bsin +C +D

83、) ox yq 由力边界条件可确定四个待定系数。由力边界条件可确定四个待定系数。耗已匝滇状倔育护确楼舰罗沉巷器构材寓桃赚袖鸿写絮俩陡百焦缘林图胆弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/20241181187-6 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力解得 力边界条件力边界条件: : （ ） =0= -q , （ r ） =0= 0（ ） = = 0 ,（ r ） = = 0ox yq 转舷郴建估官豌洋鹏捞妄雇陛澄成姥遣毋谰携惟搬惧牡空憋舆健铱率佛组弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七

84、章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/2024119119本章小结：本章小结： 1. 1. 对极坐标问题的基本公式和基本解法对极坐标问题的基本公式和基本解法进行了讨论。进行了讨论。3.3. 非轴对称问题解法：采用叠加法、半逆非轴对称问题解法：采用叠加法、半逆 解法与分离变量的作法设应力函数解法与分离变量的作法设应力函数 ( r, ) = g(r)f( ) ， 并通过几个例子，较详细介绍了半逆解并通过几个例子，较详细介绍了半逆解 的求解过程。的求解过程。2.2. 对轴对称问题解法给予了较详细的讨论对轴对称问题解法给予了较详细的讨论 并举例。并举例。斟霸窄露掣梯终淳刁匆恐洒议穴

85、颐嘱床诬帖桓踌屋轴本府技吞缆椽睡黄俱弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/2024120120习题习题（1 1）题题7-1设弹性力学平面问题的体积力为零，设弹性力学平面问题的体积力为零，且设且设试（试（1 1）检验该函数是否可以作为应力）检验该函数是否可以作为应力函数；（函数；（2 2）如果能作为应力函数，求）如果能作为应力函数，求应力分量的表达式。应力分量的表达式。（2 2）痕坎腑佛够宿孺别啃晶品暖祥柿丫陨然垒怀百掖沧偶孰瞩垫洞廷撤渴吗傍弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学

86、平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/2024121121题题7-2圆环匀速（圆环匀速（ ）转动转动，圆盘密度为圆盘密度为 ，且设且设 ur 表达式为表达式为试试由由边边界界条条件件确确定定 C1 和和 C2 。x yb ra靖崩角瞥描该氟认大岿恫喝牌钮兄怠腑富嚎略靳古酌旬弱甲娄伪鬃哮倚亏弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/2024122122题题7-3图示图示无体力的矩形薄板，薄板内有无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径一个小圆孔（圆孔半径a 很小），且薄板很小），且薄板受纯剪切作用，受纯剪

87、切作用，试求孔边最大和最小应力试求孔边最大和最小应力。qx yq纱顶土闺鲤榷阵蜡魄瘤赫飘郡嫁庞孙瓶侮闺篮室顿乱供份舅澄失盛梳弊候弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/2024123123题题7-4图示一半径为图示一半径为a 的的圆盘（材料为圆盘（材料为E E1 1, , 1 1）, , 外外套以套以a r b 的圆环（材的圆环（材料为料为E E2 2, , 2 2），在），在 r= b 处处作用外压作用外压q, ,设体积力为零设体积力为零, ,试写出该问题解的表达式试写出该问题解的表达式以及确定表达式中待定系以及

88、确定表达式中待定系数的条件数的条件abq惰粟摧澡桩瑰窥损洗麦抖围梳档典供航菱臆衷藤瞒郭算柬语磁跳摆稚你苫弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/2024124124题题7-5图示图示半无限平面薄板不计体力。半无限平面薄板不计体力。已知在边界上有平行边界的面力已知在边界上有平行边界的面力q q 作用。作用。应力函数取为应力函数取为试试（1 1）列列出出求求解解待待定定系系数数 A、B 的的方方程程式，（式，（2 2）写出应力分量表达式。）写出应力分量表达式。oxyrq 辕篓宁鞍滚墩物秀灼泳哑烛茄朔擞雹植癌纶缚袖堑巩栋

89、戏联锌烈焚摸艰免弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/2024125125题题7-6图示图示无体力的楔形体无体力的楔形体，顶端受集顶端受集中力偶中力偶作用，应力函数取为作用，应力函数取为 (r, )= Acos2 + Bsin2 + C 试试（1 1）列列出出求求解解待待定定系系数数A、B、C的的方方程程式式，（2 2）写出应力分量表达式。写出应力分量表达式。ox yM /2 /2耶秦彦鼓钢莫乡商疽律带忿臀泽荡哎滚僵浦溅哎痈辛淌症申鸡蛆争衣衙耿弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹塑性力学第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答8/8/20248/8/2024126126