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1、18.1 勾股定理勾股定理勾勾股弦 千古第一定理千古第一定理祝祝同同学学们们学学习习快快乐乐这就是本届大会这就是本届大会会徽的图案会徽的图案问题问题1 1你见过这个图案吗？你见过这个图案吗？你听说过勾股定理吗？你听说过勾股定理吗？ 这个图案是我国汉代数学这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为的，被称为“赵爽弦图赵爽弦图”19551955年希腊发行的一枚纪念一位年希腊发行的一枚纪念一位数学家的邮票数学家的邮票问题问题2 2问题问题3 3 相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺在朋友家里做客时，发
2、现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系种数量关系 我们也来观察右我们也来观察右图中的地面，看看有图中的地面，看看有什么发现？什么发现？毕达哥拉斯（公元前毕达哥拉斯（公元前572-前前492年），古希腊著名的年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家哲学家、数学家、天文学家.数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方ABCABCABC（图中（图中每个小方格代表一个单位面
3、积）每个小方格代表一个单位面积）图图1图2分分“割割”成若干个直角边为整数的三角成若干个直角边为整数的三角形形（单位面积）单位面积）问题问题4 4让我们一起探究让我们一起探究1：等腰直角三角形三边关系：等腰直角三角形三边关系ABCABC（图中（图中每个小方格代表一个单位面积）每个小方格代表一个单位面积）图图1图2（单位面积）（单位面积）把把C“补补” 成边长为成边长为6的正方形面积的一的正方形面积的一半半ABCABC（图中（图中每个小方格代表一个单位面积）每个小方格代表一个单位面积）图图1图2 SA+SB=SCA的面的面积积(单位单位长度长度)B的面积的面积(单位长单位长度度)C的面的面积积(
4、单位单位长度长度)图图19918图图2A、B、C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系448两直角边的平方和等于斜边的平方ABC图图3-1ABC图图3-2把把C分割成若干个直角分割成若干个直角边为整数的三角形边为整数的三角形（面积单位）（面积单位）让我们再探究让我们再探究2：任意整数边的直角任意整数边的直角三角形三边为边关三角形三边为边关系系把把C“补补” 成边长为成边长为7的正方形的正方形cAB图图3ABC图图4让我们再探究让我们再探究2：任意整数边的直角任意整数边的直角三角形三边为边关三角形三边为边关系系（面积单位）（面积单位）ABC图图3ABC图图4A的面的面积积(单单位长
5、度位长度)B的面的面积积(单单位长度位长度)C的面的面积积(单单位长度位长度)图图3图图4A、B、C面面积关系积关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系议议 一一 议议169254913SA+SB=SC两直角边的平方和等于斜边的平方（图中（图中每个小方格代表一个单位面积）每个小方格代表一个单位面积）“割割”“补补”“拼拼”总结方法总结方法问题问题5：利用拼图来验证勾股定理：利用拼图来验证勾股定理：cab1、准备四个全等的直角三角形（设直角三、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为角形的两条直角边分别为a，b，斜边斜边c）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正你能用这四个直角三
6、角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看方形吗？拼一拼试试看3、你拼的正方形中是否含有以斜边、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边为边的正方形？的正方形？4、你能否就你拼出的图说明、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2a2+b2=c2大大正方形的面积可以表示为正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c24 +(b- a)2 c2= 4 +(b-a)2 拼图拼图1(1(弦图的另一种证法）弦图的另一种证法）cacaccabbaabbcabcabcabcab (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2大
7、大正方形的面积可以表示为正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2 +4ab/2拼图拼图2 2=baabcca拼图拼图3 3拼图拼图4：（传说中的毕达哥拉斯证法）：（传说中的毕达哥拉斯证法）而而所以所以即即，.因为因为，证明：证明：美国总统的证明茄菲尔德 （James A. Garfield； 1831 1881）1881 年成为美国第 20 任总统1876 年提出有关证明伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年年4月月1日，伽菲尔德在日，伽菲尔德在
8、新英格兰教育日志新英格兰教育日志上发表了他上发表了他对勾股定理的这一证法。对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统总统”证法证法。拼图拼图5：aabbcc茄菲尔德证法茄菲尔德证法-总统证总统证法法 a2 + b2 = c2 勾股定理勾股定理( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) ) 问题问题6 6 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .a a2
9、 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b勾勾股股弦弦c2=a2 + b2b2=c2 - a2a2=c2 - b2结论变形结论变形问题问题7巩固练习：巩固练习：1、如图，、如图，a=3,b=4, 则则c=_.2、在、在 ABC中，中， C=90 度度 ，BC=3，AC=4，,则则AB=_.3、在直角三角形中，两边长分别为、在直角三角形中，两边长分别为3、4，,则第三边长为则第三边长为_. abC4 4、如图、如图, ,一个高一个高6 6米米, ,宽宽8 8米的特大大门米的特大大门, ,需在需在相对角的顶点间加一个加固木条相对角的顶点间加一个加固木条, ,则木条的则木条的长为长为( )(
10、 )A.6A.6米米 B.8 B.8 米米 C.10C.10米米 D.12D.12米米C68 在中国古代大约是战国时期西汉的数学在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作著作周髀算经周髀算经中记录着中记录着商高商高同周公的一同周公的一段对话。商高说：段对话。商高说：“故折矩，勾广三，股故折矩，勾广三，股修四，经隅五。修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条即：当直角三角形的两条直角边分别为直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，径（长边）时，径隅（弦）则为隅（弦）则为5 5。以后人们就简单地把这个事。以后人们就简单地把这个事实说成实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。故称之为。故称之为
11、“勾股勾股定理定理”或或“商高定理商高定理” 在西方，希腊数学家欧几里德（在西方，希腊数学家欧几里德（EuclidEuclid，公元前三百年左右）在编著公元前三百年左右）在编著几何原本几何原本时，时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以，以后就流传开了。后就流传开了。 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数学是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。百多年。 相传，毕达哥拉斯学派找到了
12、勾股定理的相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有又有“百牛定理百牛定理”之称。之称。1、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？通过本节课的学习我们不但知道了著名的通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理勾股定理，还，还知道从知道从特殊到一般特殊到一般的探索方法及借助于图形的的探索方法及借助于图形的面积面积来探索、来探索、验证数学结论的验证数学结论的数形结合数形结合思想。思想。2、学了本节课后我们有什么感想？、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学很多的数学结
13、论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。辉煌历史的教育。 小结小结必做题：必做题：P69-70 1、2选做题：查阅勾股定理的名选做题：查阅勾股定理的名称及其他证明方法称及其他证明方法 作业：作业：a证明六 印度婆什迦羅的證明c c2 = b2 + a2b证明七证明七证明七证明七证明七a2b2证明八证明八证明八证明八证明八c2 a2 + b2 = c2证明九证明九拼图游戏证明九拼图游戏无字证明无字证明青出青出朱方朱方青方青方朱入朱入朱朱出出青入青入青青入入青出青出青青出出 abc无
14、字证明无字证明青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青出出华罗庚华罗庚青青朱朱出入图出入图朱入朱入朱朱出出证明十IIIIII注意：面积 I :面积II :面积III= a2 : b2 : c2 IIIIII注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十IIIIII注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 证明十注意：面积 I : 面积 II : 面积 III= a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III因此，a2 + b2 = c2 。 证明十
