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1、算法案例之算法案例之秦九韶算法秦九韶算法选自数书九章学习目标:1.理解秦九韶算法的原理;(难点)2.了解该算法提高计算效率的实质;3.会用秦九韶算法计算高次多项式的值.(重点)问题问题1: 设计求多项式设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值的算法时的值的算法,并写出程序并写出程序.x=5f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7PRINT fEND程序程序点评点评:上述算法一共做了上述算法一共做了15次乘法运算次乘法运算,5次次加法运算加法运算.优点是简单优点是简单,易懂易懂;缺点是不通用缺点是不通用,不能不能解决任意多项式求值问题解决任意多项式求值问
2、题,而且计算效率不高而且计算效率不高. 分析计算上述多项式的值分析计算上述多项式的值,一共需要一共需要9次次乘法运算乘法运算,5次加法运算次加法运算.问题问题2: 有没有更高效的算法有没有更高效的算法?分析分析:计算计算x的幂时的幂时,可以利用前面的计算结可以利用前面的计算结果果,以减少计算量以减少计算量,即先计算即先计算x2,然后依次计算然后依次计算的值的值.第二种做法与第一种做法相比第二种做法与第一种做法相比,乘法的运乘法的运算次数减少了算次数减少了,因而能提高运算效率因而能提高运算效率.而且对于而且对于计算机来说计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做做一次乘法所需的运算时间比做一次加法
3、要长得多一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地因此第二种做法能更快地得到结果得到结果.问题问题3能否探索更好的算法能否探索更好的算法,来解决任意多来解决任意多项式的求值问题项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677
4、所以所以,当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就叫这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法秦九韶算法.例例1:用秦九韶算法求多项式用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值时的值.解法一解法一:首先将原多项式改写成如下形式首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2 v1=v0x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以,当当x=5时时,多多项
5、式的值是项式的值是2677.然后由内向外逐层计算一次多项式的值然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即即2 -5 -4 3 -6 7x=5105252110510854053426702677所以所以,当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是2677.原多项式原多项式的系数的系数多项式多项式的值的值.例例1:用秦九韶算法求多项式用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值时的值.解法二解法二:列表列表22 -5 0 -4 3 -6 0x=5105252512512160560830403034所以所以,当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是15170
6、.练一练练一练:用秦九韶算法求多项式用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当当x=5时的值时的值.解解:原多项式先化为原多项式先化为: f(x)=2x6-5x5 +0x4-4x3+3x2-6x+0列表列表21517015170 注意注意:n次多项式有次多项式有n+1项项,因此缺少哪一项因此缺少哪一项应将其系数补应将其系数补0.f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0.我们可以改写成如下形式我们可以改写成如下形式:f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.求多项式的值时求多项式的值时,首先计算最内层括号内一首先计算最
7、内层括号内一次多项式的值次多项式的值,即即 v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即即一般地一般地,对于一个对于一个n次多项式次多项式v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.这样这样,求求n次多项式次多项式f(x)的值就转化为求的值就转化为求n个个一次多项式的值一次多项式的值.这种算法称为这种算法称为秦九韶算法秦九韶算法.点评点评: :秦九韶算法有哪些优点？秦九韶算法有哪些优点？ （1 1）大大减少了乘法的次数，使计）大大减少了乘法的次数，使计算量减小，可以提高计算的效率；算量减小，可以提高计算的效率
8、； （2 2）规律性强，便于利用循环语句来实）规律性强，便于利用循环语句来实现算法；现算法； (3)(3)避免了对自变量避免了对自变量X X单独做幂的计算，每单独做幂的计算，每次都是计算一个一次因式的值，从而可以提次都是计算一个一次因式的值，从而可以提高计算的精度。高计算的精度。v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.观察上述秦九韶算法中的观察上述秦九韶算法中的n个一次式个一次式,可可见见vk的计算要用到的计算要用到vk-1的值的值. 若令若令v0=an,得得v0=an,vK=vK-1x+an-k(k=1,2,n这是一个在秦九韶算法中
9、反复执行的步这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤骤,因此可用循环结构来实现因此可用循环结构来实现.问题问题画出程序框图画出程序框图,表示用秦九韶算法求表示用秦九韶算法求5次多次多项式项式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当当x=x0 (x0是任意实数是任意实数)时的值的过程时的值的过程,然后写出程序然后写出程序.否否程序框图程序框图开始开始输入输入a(0),a(1),a(2),a(3),a(4),a(5)输入输入xn5?n=1v=a(5)v=vx+a(5-n)n=n+1输出输出v结束结束是是INPUT a(0),a(1),a(2),a(3),a(4),a(5)INPUT xn=1v=a(5)WHILE n=5 v=vx+a(5-n) n=n+1WENDPRINT vEND程序程序演示程序随堂应用练习随堂应用练习课堂小结：课堂小结： 用秦九韶算法可大大降低乘法的运算次数,提高了运算速度.用此方法求值,关键是正确地将所给多项式改写,然后由内向外计算,由于后项计算需要用到前项结果,故应认真、细心、确保结果的准确性. 作业作业:课本P48页习题1.3A组T2.
