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1、1.3 拉格朗日方程拉格朗日方程 为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程拉格朗日方程，需要先导出达朗伯拉格朗日方程。拉格朗日方程，需要先导出达朗伯拉格朗日方程。一、一、达朗伯拉格朗日方程达朗伯拉格朗日方程 设受完整约束的力学体系有设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都个质点，体系中每一个质点都服从如下形式的牛顿运动定律，设第服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束个质点受主动力，受约束反力，则反力，则：称为达朗伯惯性力或称有效力称为达朗伯惯性力或称有效力注意：注意：这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念
2、，这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念，那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。以以 点乘上式后，再对点乘上式后，再对 i 取和，得取和，得理想约束条件下：理想约束条件下：则则 这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为达朗伯达朗伯拉格朗日方程拉格朗日方程，由于存在约束，各，由于存在约束，各 并不彼此独立，因此并不彼此独立，因此不能令上式中不能令上式中 前面的所有乘式都等于零，否则就成为自由前面的
3、所有乘式都等于零，否则就成为自由质点的运动微分方程了。质点的运动微分方程了。二、基本形式的拉格朗日方程二、基本形式的拉格朗日方程 现在我们从现在我们从达朗伯拉格朗日方程达朗伯拉格朗日方程出发，把各并不彼此出发，把各并不彼此独立的坐标独立的坐标 用各彼此独立的广义坐标用各彼此独立的广义坐标 重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的动力学方程动力学方程拉格朗日方程拉格朗日方程。 设设n个质点受个质点受k个约束，因是完整约束，体系的自由度数个约束，因是完整约束，体系的自由度数应为应为 s3nk。以广义坐标以广义坐标 表出表出则则代入
4、代入达朗伯拉格朗日方程达朗伯拉格朗日方程上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则令令则则因各因各 q 互相独立，所以互相独立，所以 P Q 改写改写由由令令显然显然 T 是体系的动能，则有是体系的动能，则有即即 这就是著名的这就是著名的拉格朗日方程拉格朗日方程，也称基本形式的拉格朗日，也称基本形式的拉格朗日方程（或称第二类拉格朗日方程）。其中广义坐标方程（或称第二类拉格朗日方程）。其中广义坐标 q q (t)，所以上式是以所以上式是以 t 为自变量的广义坐标为自变量的广义坐标 q 的的s 个二阶常微分方程个二阶常微分方程组。只要我们能写出以为变量时体
5、系的动能组。只要我们能写出以为变量时体系的动能T和广义力和广义力Q1，Q2，Qs，就可以代入上式，从而得到体系的动力学就可以代入上式，从而得到体系的动力学方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。三、广义动量与广义力的计算三、广义动量与广义力的计算对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量与此类比，可以定义与此类比，可以定义广义动量广义动量 p 为为 注意注意：广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等，：广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等，视广义坐标的选择而定。视广义坐标的选择而定
6、。而而广义力广义力： 广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而定。计算广义力的方法可以有两种：定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法一种方法是从上定义式直是从上定义式直接计算，接计算，另一种方法另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。是从主动力所作的虚功来计算。1、从主动力所作的虚功来计算、从主动力所作的虚功来计算如求如求Q1，令令 q2 q3 q s0，则，则2、从定义式直接计算从定义式直接计算求任一广义力求任一广义力Q 时时例例3 计算一自由质点取计算一自由质点取平面极坐标的广义力。平面极坐标的广义力。设质点设质点P受力，广义坐标
7、受力，广义坐标q1r，q2 。与此两与此两广义坐标对应的广义力为广义坐标对应的广义力为 Q r 和和Q 。求求 Q r与与Q ,用两种方法。用两种方法。解解 方法一：方法一：从定义式计算。从定义式计算。将定义式用于极坐标，因将定义式用于极坐标，因 粒子数粒子数 n1，则，则又因又因 x r cos ，yr sin 则则可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。是一个力。另外另外上式括号中的第一项为上式括号中的第一项为 Fx在在 方向的投影，第二项方向的投影，第二项是是 Fy在在 方向的投影。方向的投影。所以两者之和就是所以两者之和就是 在
8、在 方向的投影方向的投影 F ，因此因此Q r F （是力矩）是力矩）可见广义力的横向分量可见广义力的横向分量 Q 是力矩。是力矩。方法二：方法二：从主动力从主动力所作的虚功来计算所作的虚功来计算则则则则两种方法的结果一致两种方法的结果一致四、四、保守力学系的拉格朗日方程保守力学系的拉格朗日方程实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。对于保守力学系，存在势能对于保守力学系，存在势能则对任一个质点有则对任一个质点有分量式为分量式为现在把广义力与势能函数连系起来现在把广义力与势能函数连系起来代入基本形式的拉格朗日方程，则代入基本形式的拉格朗日方程，则注意
9、：注意：一般势能函数不显含时间和速度变量，即一般势能函数不显含时间和速度变量，即VV（x1，y1，z1，x n，y n，z n）V（q1，q2，q s）则则令令 LTV ，则，则与与代入最顶上一式：代入最顶上一式： LTV 叫叫拉格朗日函数。拉格朗日函数。一般一般 L 是广义坐标，广义速度是广义坐标，广义速度和时间的函数。和时间的函数。即即简记为简记为而而仍是广义动量。仍是广义动量。 这就是这就是受理想约束受理想约束的的完整系完整系在在保守力作用下保守力作用下的的拉格朗日拉格朗日方程方程。因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。当取广。因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。当取广义坐标和广义
10、速度为独立变量时，只要知道了义坐标和广义速度为独立变量时，只要知道了 L ，就可以求就可以求出出 q 所满足的动力学方程，从而可求出体系的全部力学性质。所满足的动力学方程，从而可求出体系的全部力学性质。因此，我们说：取广义坐标和广义速度为变量时，拉格朗日因此，我们说：取广义坐标和广义速度为变量时，拉格朗日函数函数L是力学体系的一个特性函数。是力学体系的一个特性函数。五、五、循环积分与能量积分循环积分与能量积分 拉格朗日方程是拉格朗日方程是 s 个个二阶二阶常微分方程组，我们希望也像牛顿常微分方程组，我们希望也像牛顿力学一样力学一样 ，若能首先对微分方程组积分一次，若能首先对微分方程组积分一次
11、，找出某些初积分，找出某些初积分（ 或叫第一积分或叫第一积分 ），使我们对某些问题的求解能简便些），使我们对某些问题的求解能简便些 。在某。在某些情况下，部分的第一积分容易得到。些情况下，部分的第一积分容易得到。1、循环积分、循环积分 一般保守力学系的拉格朗日函数是全部广义坐标和一般保守力学系的拉格朗日函数是全部广义坐标和广义速度（广义动量）及时间广义速度（广义动量）及时间 t 的函数，即的函数，即 若若L中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标 q j ，则称则称 q j 为为循环坐标循环坐标（也叫（也叫可遗坐标可遗坐标）。这时有）。这时有代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程则则 可见，当可见，
12、当L函数中不含某函数中不含某广义坐标广义坐标 q j 时，这个时，这个 q j 即循环坐标即循环坐标所对应的所对应的广义动量广义动量 就是守恒量就是守恒量，称为循环积分。，称为循环积分。这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。解解 ： 设质点的质量为设质点的质量为m，因为只有一个质点，故因为只有一个质点，故n1， 自由质点只受有心力作用时，作平面曲线运动，自由质点只受有心力作用时，作平面曲线运动， 所以所以 s2，取极坐标（取极坐标（r， ）为广义坐标，则有为广义坐标，则有可见可见 L 函数中不含函数中不含 ，所以，所以 是循环坐标，则是循环
13、坐标，则例例4 求一自由质点在有心力场中的循环积分。求一自由质点在有心力场中的循环积分。2、能量积分能量积分 体系是否能量守恒的问题。由拉格朗日方程得到能量积分体系是否能量守恒的问题。由拉格朗日方程得到能量积分需要一定的条件。需要一定的条件。（1）若若 n 个质点组成的受理想约束的完整系只受保守力作用，个质点组成的受理想约束的完整系只受保守力作用， 称为完整的保守的力学体系。设其自由度数为称为完整的保守的力学体系。设其自由度数为 s ，先求先求 体系以体系以 q 、 表示的动能式。因表示的动能式。因所以所以则体系的动能则体系的动能则则 上式中的上式中的T2、T1和和T0分别是广义速度的二次、一
14、次、零次函数。分别是广义速度的二次、一次、零次函数。其中其中a、a 、a都仍是广义坐标都仍是广义坐标q （ 1，2，s）及及 t 的的函数，有时不显含函数，有时不显含t，但仍是但仍是t的隐函数，不然就不会出现的隐函数，不然就不会出现 了。了。其中第一项中代入上式，得两边乘 ，再对 求和，得 对保守系的拉格朗日方程拉格朗日方程（2）对于稳定约束，而且）对于稳定约束，而且T、V 不显含不显含t 的完整保守力学系的完整保守力学系 的分析。的分析。对稳定约束 先应用一个结论 （后面证明）：因T、V中不显含tTVE恒量 这就是力学体系的能量积分。 可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定的理想约束的完整系，只受保守力而且的理想约束的完整系，只受保守力而且T、V中不显含中不显含t，这时体系的能量守恒。这时体系的能量守恒。（3）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且T、V 中不显含中不显含t情况的分析。情况的分析。这时 T2T0Vh恒量 下面证明 也可用此方法得到
