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1、向量与坐标向量与坐标vector and coordinate Chapter 1Contents向量的概念向量的概念 1向量的加减法向量的加减法 2数量乘向量数量乘向量 3向量的线性关系与分解向量的线性关系与分解 4标架与坐标标架与坐标 5向量在轴上的射影向量在轴上的射影 6向量的数量积向量的数量积 7向量的向量积向量的向量积 8三向量的混合积三向量的混合积 9三向量双重向量积三向量双重向量积 101 1向量的概念向量的概念解析几何解析几何 Chapter 1一、向量的概念一、向量的概念二、几种特殊的向量二、几种特殊的向量Contents定义定义定义定义1.1.11.1.1 既有大小又有方向
2、的量叫做既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量向量向量，或称或称或称或称矢量，矢量，矢量，矢量，简称简称简称简称矢矢矢矢. . . . 数量数量数量数量( ( ( (标量标量标量标量) ) ) )是在规定单位下是在规定单位下是在规定单位下是在规定单位下, , , ,可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量. . . .2.2.2.2.数量数量数量数量( ( ( (标量标量标量标量) ) ) )1.1.1.1.向量向量向量向量一一、向量的概念向量的概念3.3.3.3.向量的几何表示向量的几何表示向量的几何表
3、示向量的几何表示4.4.4.4.向量的模向量的模向量的模向量的模有向线段的长度表示向量的有向线段的长度表示向量的有向线段的长度表示向量的有向线段的长度表示向量的大小大小大小大小，有向线段的方向表示向量的有向线段的方向表示向量的有向线段的方向表示向量的有向线段的方向表示向量的方向方向方向方向. . . . 用用用用有向线段有向线段有向线段有向线段表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 的的的的 始点与终点始点与终点始点与终点始点与终点. . . .向量的大小叫做向量的
4、向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的模模模模，也称向量的，也称向量的，也称向量的，也称向量的长度长度长度长度. . . .记做记做记做记做 . . . .注：注：注：注：向量之间不可比较大小向量之间不可比较大小向量之间不可比较大小向量之间不可比较大小, ,但是它们的模可以比较大小但是它们的模可以比较大小但是它们的模可以比较大小但是它们的模可以比较大小. .一一、向量的概念向量的概念单位向量就是模为单位向量就是模为单位向量就是模为单位向量就是模为1 1 1 1的向量的向量的向量的向量. . . .2.2.2.2.零向量零向量零向量零向量1.1.1.1.单位向量单位向量单位
5、向量单位向量（单位向量不惟一）（单位向量不惟一）（单位向量不惟一）（单位向量不惟一）3.3.3.3.相等向量相等向量相等向量相等向量模为模为模为模为0 0 0 0的向量叫做零向量的向量叫做零向量的向量叫做零向量的向量叫做零向量. . . .记做记做记做记做 . . . .它是起点和终点重合的向量它是起点和终点重合的向量它是起点和终点重合的向量它是起点和终点重合的向量. . . . 定义定义定义定义1.1.21.1.21.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫
6、做相等向量相等向量相等向量相等向量, , , ,所有的零向量都相等所有的零向量都相等所有的零向量都相等所有的零向量都相等. . . .向量向量向量向量 与与与与 相等，记为相等，记为相等，记为相等，记为 . . . .二二、几种特殊的、几种特殊的向量向量4.4.4.4.自由向量自由向量自由向量自由向量 两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方向决定，向决定，向决定，向决定， 自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来自由向量可以
7、任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来的向量的向量的向量的向量. . . .定义定义定义定义1.1.31.1.31.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为两个模相等，方向相反的向量叫做互为两个模相等，方向相反的向量叫做互为两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量反向量反向量反向量. . . .5.5.5.5.相反向量相反向量相反向量相反向量的反向量记为的反向量记为的反向量记为的反向量记为与与与与 互为反向量互为反向量互为反向量互为反向量我们以后讨论的向量均为自由向量我们以后讨论的向
8、量均为自由向量我们以后讨论的向量均为自由向量我们以后讨论的向量均为自由向量. . . . 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量，这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量，这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量，这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量，称为称为称为称为自由向量自由向量自由向量自由向量. . . .二二、几种特殊的、几种特殊的向量向量 定义定义定义定义1.1.41.1.41.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做共线向量共线向量共线向量共线向量. . . .零向量与任
9、何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线. . . . 定义定义定义定义1.1.51.1.51.1.51.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做平行于同一平面的一组向量叫做平行于同一平面的一组向量叫做平行于同一平面的一组向量叫做共面向量共面向量共面向量共面向量. . . .零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面. . . .6.6.6.6.共线向量共线向量共线向量共线向量7.7.7.7.共面向量共面向量共面向量共面向量注：注：注：注：1.1.1.1.一组共线向量
10、未必在一条直线上；一组共线向量未必在一条直线上；一组共线向量未必在一条直线上；一组共线向量未必在一条直线上； 一组共面向量也未必在一个平面上一组共面向量也未必在一个平面上一组共面向量也未必在一个平面上一组共面向量也未必在一个平面上. . . .2.2.2.2.一组共线向量一定是共面向量一组共线向量一定是共面向量一组共线向量一定是共面向量一组共线向量一定是共面向量. . . .3.3.3.3.两个向量一定是共面向量两个向量一定是共面向量两个向量一定是共面向量两个向量一定是共面向量. . . .二二、几种特殊的、几种特殊的向量向量4.4.4.4.三个向量中若有两个共线，则此三向量一定是共面三个向量
11、中若有两个共线，则此三向量一定是共面三个向量中若有两个共线，则此三向量一定是共面三个向量中若有两个共线，则此三向量一定是共面. . . .思考与练习1、下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. （1 1）单位球面；）单位球面； （2 2）单位圆）单位圆（3 3）直线；）直线； （4 4）相距为）相距为2 2的两点的两点解：解：思考与练习2、如图，找出平行四边形ABCD中所有相等矢量和互为相反矢
12、量。3、1.1.1.1.向量向量向量向量4.4.4.4.自由向量自由向量自由向量自由向量6.6.6.6.共线向量共线向量共线向量共线向量7.7.7.7.共面向量共面向量共面向量共面向量1.1.1.1.单位向量单位向量单位向量单位向量5.5.5.5.相反向量相反向量相反向量相反向量2.2.2.2.零向量零向量零向量零向量3.3.3.3.相等向量相等向量相等向量相等向量4.4.4.4.向量的模向量的模向量的模向量的模2.2.2.2.数量数量数量数量3.3.3.3.向量的大小向量的大小向量的大小向量的大小 向量的方向向量的方向向量的方向向量的方向一、向量的概念一、向量的概念一、向量的概念一、向量的概念二、几种特殊的向量二、几种特殊的向量二、几种特殊的向量二、几种特殊的向量1.11.1向量的概念向量的概念( (小结小结) )作业：作业：pp.3-4 4, 5
