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1、第六章第六章 几种离散型变量的几种离散型变量的分布及其应用分布及其应用讲授内容：讲授内容：第一节第一节二项分布二项分布第二节第二节Poisson分布分布第三节第三节负负二项分布（不讲）二项分布（不讲）第一节第一节 二项分布二项分布分类资料：分类个体数。最简单分类资料：分类个体数。最简单分两类分两类总体：总体：总个体数总个体数 某类个体数某类个体数 非某类个体数非某类个体数 总体率（构成比）总体率（构成比）统计推断：统计推断：由样本信息推断由样本信息推断样本：样本：含量：含量： 某类个体数某类个体数 非某类个体数非某类个体数 样本率（构成比）样本率（构成比）规律：规律：二项分布二项分布 二项式二
2、项式 展开的通项展开的通项 式中式中 且且总有总有二项分布有两个参数：二项分布有两个参数：总体率总体率样本含量样本含量记作：记作：XB(n，)例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为0.70。今用该药治疗该疾病患者10人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有效的概率。本例n=10，=0.70，X=6，7，8。按公式（6-1）计算相应的概率为0.20012一、二项分布的适用条件和性质一、二项分布的适用条件和性质n( (一一) ) 二项分布的适用条件二项分布的适用条件n1. 1. 每次试验只会发生两种对立的可能结果每次试验只会发生两种对立的可能结果 之一，即分别发生两种结果的概率之和之
3、一，即分别发生两种结果的概率之和 恒等于恒等于1 1；n2. 2. 每次试验产生某种结果（如每次试验产生某种结果（如“阳性阳性”）的的 概率概率固定不变；固定不变；n3. 3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。现的概率。 在上面的例在上面的例6-16-1中，对这中，对这1010名非传名非传染性疾病患者的治疗，可看作染性疾病患者的治疗，可看作1010次独次独立的重复试验，其疗效分为有效与无立的重复试验，其疗效分为有效与无效，且每一名患者治疗有效的概率效，且每一名患者治疗有效的概率
4、（=0.70=0.70）是恒定的。这样，）是恒定的。这样，1010人中人中发生有效的人数发生有效的人数X XB B(10(10，0.70)0.70)。n( (二二) ) 二项分布的性质二项分布的性质n1. 1. 二二项项分分布布的的均均数数与与标标准准差差 在在n n次次独独立立重复试验中，出现重复试验中，出现“阳性阳性”次数次数X X的的n总体均数为总体均数为n总体方差为总体方差为n总体标准差为总体标准差为n n若以率表示，则样本率p的n总体均数为n总体方差为n总体标准差为n样样本本率率的的标标准准差差也也称称为为率率的的标标准准误误，可可用用来来描描述述样样本本率率的的抽抽样样误误差差，率
5、率的的标标准准误误越越小，则率的抽样误差就越小。小，则率的抽样误差就越小。n在在一一般般情情形形下下，总总体体率率往往往往并并不不知知道道。此此时时若若用用样样本本资资料料计计算算样样本本率率p=X/n作作为为的的估计值，则估计值，则 的估计为的估计为:n2.二项分布的图形 对于二项分布而言，当=0.5时，分布是对称的，见图6-1； n当0.5时，分布是偏态的，但随着n的增大，分布趋于对称。当n 时，只要不太靠近0或1，二项分布则接近正态分布，见图6-2。二、二项分布的应用二、二项分布的应用n( (一一) )总体率的区间估计总体率的区间估计n1. 1. 查表法查表法 n2. 2. 正态近似法正
6、态近似法 n1. 查表法 对于n 50的小样本资料，直接查附表6百分率的95%或99%可信区间表，即可得到其总体率的可信区间。n例6-2在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇女受孕率的95%可信区间。本 例 n=13， X=6。 查 附 表 6， 取 0.05时 ， 在n=13（横行）与X=6（纵列）的交叉处数值为1975，即该吻合术妇女受孕率的95%可信区间为（19%，75%）。附表6只列出 的部分。当时，可先按“阴性”数n-X查得总体阴性率的可信区间QLQU，再用下面的公式转换成所需的阳性率的可信区间。 PL=1-QU
7、， PU=1-QL n2. 正态近似法 根据数理统计学的中心极限定理可得，当n较大、不接近0也不接近1时，二项分布B(n，)近似正态分布n，而相应的样本率p的分布也近似正态分布。为此，当n较大、p和1-p均不太小如np和n(1-p)均大于5时，可利用样本率p的分布近似正态分布来估计总体率的可信区间。 的的 可信区间为：可信区间为：如：如： 的的95%可信区间可信区间为为 的的99%可信区间为可信区间为例例6-3 6-3 在观测一种药物对某种非传染性疾病在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者疾病患者100100人，发现
8、人，发现5555人有效，试据此估人有效，试据此估计该药物治疗有效率的计该药物治疗有效率的95%95%可信区间。可信区间。n(二)样本率与总体率的比较n1.直接法 在诸如疗效评价中，利用二项分布直接计算有关概率，对样本率与总体率的差异进行有无统计学意义的比较。比较时，经常遇到单侧检验，即“优”或“劣”的问题。那么，在总体阳性率为的n次独立重复试验中，下面两种情形的概率计算是不可少的。（1）出现“阳性”的次数至多为k次的概率为:（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为n例6-4 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女实施壶腹部-壶腹部吻合术后，受孕率为0.55。今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部
9、-峡部吻合术，结果有9人受孕。问实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率是否高于壶腹部-壶腹部吻合术？n显然，这是单侧检验的问题，其假设检验为nH0：=0.55nH1：0.55n =0.05n对这10名实施峡部-峡部吻合术的妇女，按0.55的受孕率，若出现至少9人受孕的概率大于0.05，则不拒绝H0；否则，拒绝H0，接受H1。n本例n=10，=0.55，k=9。按公式（6-12）有:n按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，即认为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率要高于壶腹部-壶腹部吻合术。n2.正态近似法 当n较大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5时，利用样本率的分布近似正态分布的原理，
10、可作样本率p与已知总体率0的比较。检验统计量u值的计算公式为: n例例6-6对对某某疾疾病病采采用用常常规规治治疗疗，其其治治愈愈率率为为45%。现现改改用用新新的的治治疗疗方方法法，并并随随机机抽抽取取180名名该该疾疾病病患患者者进进行行了了新新疗疗法法的的治治疗疗，治治愈愈117人人。问问新新治治疗疗方方法法是是否否比比常常规规疗疗法的效果好？法的效果好？n本本例例是是单单侧侧检检验验，记记新新治治疗疗方方法法的的治治愈愈率率为为，而，而0=0.45。其假设检验为其假设检验为nH0：=0.45nH1：0.45n=0.05n本例n=180，p=117/180=0.65n查u界值表（t界值表
11、中为的一行）得单侧。按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。n(三)两样本率的比较n两样本率的比较，目的在于对相应的两总体率进行统计推断。n设两样本率分别为p1和p2，当n1与n2均较大，且p1、1-p1及p2、1-p2均不太小，如n1p1、n1(1-p1)及n2p2、n2(1-p2)均大于5时，可利用样本率的分布近似正态分布，以及独立的两个正态变量之差也服从正态分布的性质，采用正态近似法对两总体率作统计推断。 n检验统计量u的计算公式为： n例例6-7为为研研究究某某职职业业人人群群颈颈椎椎病病发发病病的的性性别别差差异异，今今随随机机抽抽查查了了该该职职业业
12、人人群群男男性性120人人和和女女性性110人人，发发现现男男性性中中有有36人人患患有有颈颈椎椎病病，女女性性中中有有22人人患患有有颈颈椎椎病病。试试作作统统计计推断。推断。n记记该该职职业业人人群群颈颈椎椎病病的的患患病病率率男男性性为为1，女女性为性为2，其检验假设为其检验假设为nH0：1=2nH1：12n=0.05本例n1=120， X1=36， p1=X1/n1=36/120=0.30；n2=110，X2=22，p2=X2/n2=22/110=0.20 查u界值表得0.05P0.10。按=0.05水准，不拒绝H0，即尚不能认为该职业人群颈椎病的发病有性别差异。n(四)研究非遗传性疾
13、病的家族集聚性n非遗传性疾病的家族集聚性(clustering in families)，系指该种疾病的发生在家族成员间是否有传染性？如果没有传染性，即该种疾病无家族集聚性，家族成员患病应是独立的。此时以家族为样本，在n个成员中，出现X个成员患病的概率分布呈二项分布；否则，便不服从二项分布。n例6-8 某研究者为研究某种非遗传性疾病的家族集聚性，对一社区82户3口人的家庭进行了该种疾病患病情况调查，所得数据资料见表6-1中的第（1）、（2）栏。试分析其家族集聚性。n 表6-1患病数据资料与二项分布拟合优度的2c检验X （1）实际户数A（2）概率P(X)（3）理论户数T=82P(X)（4）AT
14、-（5）2)(AT -（6）TAT2)(-（7）0260.1326510.8774-15.1226228.6936 21.02471100.3823531.352521.3 525455.9273 14.54202280.3673530.12292.1229 4.50690.149 63180.117659.6472 -8.352869.7690 7.2320 合计8282.000042.9483n如如果果该该社社区区的的此此种种疾疾病病存存在在家家族族集集聚聚性性，则则以以每每户户3口口人人的的家家庭庭为为样样本本，在在3个个家家庭庭成成员员中中，出出现现X（=0，1，2，3）个个成成员员患
15、患病病的的概概率率分分布布即即不不服服从从二二项项分分布布。为为此此，可可作作如如下假设检验。下假设检验。nH0：该该疾病的发生无家族集聚性疾病的发生无家族集聚性nH1：该该疾病的发生有家族集聚性疾病的发生有家族集聚性n=0.10n本例调查的总人数为：N=823=246（人）n其中患病人数为：nD=026+110+228+318=120（人）n以这246人的患病率估计总体的患病率，即=D/N=120/246=0.49。n在n=3、=0.49时，利用二项分布，求得X=0，1，2，3的概率P(X)，并以此得到相应的理论户数。对理论户数与实际户数进行拟合优度（goodness of fit）的检验。
16、此时，自由度为=组数2=42=2。计算结果列于表6-1中的第（3）至（7）栏。n(五) 群检验n在工作中有时会遇到需对收集的一大批标本进行实验室检验，以了解其阳性率的问题。但要在实验室对所有标本一一作阳性认定往往需要大量的人力和物力，也不切实际，使用所谓的群检验技术即可解决这一问题。n群检验的具体做法是，将N个标本分成n群，每群m个标本，即N=mn。每个群都送试验室检验是否为阳性群。对于某群，一旦检验出阳性标本就停止此群中剩余标本的检验，该群即为阳性群。显然，只有对阴性群，才需检验群中所有的m个标本，这样可大大地减少检验标本的个数。 n若记每个标本为阳性的概率为，则1-=Q是每个标本为阴性的概
17、率，Qm便是某群m个标本均为阴性的概率，即一个群为阴性群的概率，而1- Qm就是一个群为阳性群的概率。假定受检的n个群中有X个群是阳性群，用X/n作为一个群为阳性群概率的估计值，于是便有n这样，阳性概率的估计值为：第二节 Poisson分布nPoissonPoisson分布（分布（Poisson Poisson distributiondistribution）作为二项分布的一种）作为二项分布的一种极限情况，已发展成为描述小概率事极限情况，已发展成为描述小概率事件发生规律性的一种重要分布。件发生规律性的一种重要分布。nPoissonPoisson分布是描述单位面积、体积、分布是描述单位面积、体
18、积、时间、人群等内稀有事件（或罕见事时间、人群等内稀有事件（或罕见事件）发生数的分布。件）发生数的分布。 所所谓谓随随机机变变量量X X服服从从PoissonPoisson分分布布，是是指指在在足足够够多多的的n n次次独独立立BernoulliBernoulli试试验验中中，取取值值X X的概率为的概率为一、一、PoissonPoisson分布的适用条件和性质分布的适用条件和性质n( (二二) Poisson) Poisson分布的性质分布的性质n1. 1. 总总体体均均数数 与与总总体体方方差差 相相等等是是PoissonPoisson分布的重要特征。分布的重要特征。n2. 2. 当当n
19、n很很大大，而而很很小小，且且nn= = 为为常常数数时，二项分布近似时，二项分布近似PoissonPoisson分布。分布。n3. 3. 当当 增增大大时时，PoissonPoisson分分布布渐渐近近正正态态分分布布。一一般般而而言言，2020时时，PoissonPoisson分分布布资资料可作为正态分布处理。料可作为正态分布处理。n4. Poisson分布具备可加性。即对于服从Poisson分布的m个互相独立的随机变量X1，X2，Xm，它们之和也服从Poisson分布，且其均数为这m个随机变量的均数之和。n(三三)Poisson分布的图形分布的图形n不不同同的的参参数数 对对应应不不同同
20、的的Poisson分分布布，即即 的的大小决定了大小决定了Poisson分布的图形特征，见图分布的图形特征，见图6-3。n 当当 越小，分布就越偏态；越小，分布就越偏态；n当当 越越大大时时，Poisson分分布布则则越越渐渐近近正正态态分分布布。当当 1时时，随随X取取值值的的变变大大，P(X)值值反反而而变变小小；当当 50时时，可可采采用用正正态态近近似似法法估估计计总总体体均均数数的的 可可信信区区间间，计计算公式为算公式为:n如：如：的的95%可信区间为可信区间为n例6-11 某研究者对某社区12000名居民进行了健康检查，发现其中有68名胃癌患者。估计该社区胃癌患病数的95%和99
21、%可信区间。n(二) 样本均数与总体均数的比较n对于Poisson分布资料而言，进行样本均数与总体均数的比较有两种方法。n1. 直接法 当总体均数20时，可采用直接计算概率的方式对样本均数与已知总体均数间的差别进行有无统计学意义的比较，这实质上是对以样本计数X为代表的总体率与已知的总体率0是否有差别进行推断。n例6-12 一般人群先天性心脏病的发病率为8，某研究者为探讨母亲吸烟是否会增大其小孩的先天性心脏病的发病危险，对一群2025岁有吸烟嗜好的孕妇进行了生育观察，在她们生育的120名小孩中，经筛查有4人患了先天性心脏病。试作统计推断。 n对于这样一种低发病率的样本计数资料可看作服从Poiss
22、on分布。在120名被调查的小孩中，按0=0.008的发病水平，若有4名及以上的小孩患先天性心脏病的概率大于0.05，则尚不能认为母亲吸烟会增大其小孩的先天性心脏病的发病危险；否则，即说明母亲吸烟会增大其小孩的先天性心脏病的发病危险。为此，本例可作如下的假设检验。2.正态近似法 根据 Poisson 分布的性质，当l20 时，可用正态分布来近似。样本计数X 与已知总体均数l的比较，采用下式计算标准正态检验统计量n例6-13 有研究表明，一般人群精神发育不全的发生率为3，今调查了有亲缘血统婚配关系的后代25000人，发现123人精神发育不全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育不全的发生率是否要
23、高于一般人群？n可以认为人群中精神发育不全的发生数服从Poisson分布。本例n=25000，X=123，0=0.003，=n0=250000.003=75。n(三) 两个样本均数的比较n对服从Poisson分布的样本，其样本计数可看作是样本均数。两个样本均数的比较，目的在于推断两样本所代表的两总体均数是否有差别。n设两个样本计数分别为X1和X2，可利用正态近似法进行比较。n1. 两个样本的观察单位数相等，即n1=n2 。n2. 两个样本的观察单位数不相等，即n1 n2 。n例6-14 某卫生检疫机构对两种纯净水各抽验了1ml水样，分别培养出大肠杆菌4个和7个，试比较这两种纯净水中平均每毫升所
24、含大肠杆菌数有无差别？n本例水样中的大肠杆菌数服从Poisson分布，两种水样的观察单位数相等，即均为1ml。两样本计数分别记为X1=4和X2=7，X1+X2=7+4=11。选择公式（6-21）来计算检验统计量。n例6-15 某研究者为了分析一种罕见的非传染性疾病发病的地域差异，对甲地区连续观察了四年，发现有32人发病；对乙地区连续观察了三年，发现有12人发病。假定甲、乙两地区在观察期内的人口构成相同，人口基数相近且基本不变，试作统计推断。n本例中疾病的发病人数服从Poisson分布，但对甲地区连续观察了四年（n1=4），而对乙地区只连续观察了三年（n2=3），即两个样本的观察时间单位数不相等。甲、乙两地区在观察期内的发病人数分别记为X1=32和X2=12，X1+X2=32+12=44。选择公式（6-22）来计算检验统计量。 练习题练习题 P134 P134 一、最佳选择题一、最佳选择题全做全做 三、计算分析题三、计算分析题 1 1、2 2、3 3、4 4
