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1、第一部分 线性系统理论经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入输 出关系的传递函数； 电机现代控制理论描述系统数学模型的方法： 内部描述：一阶微分方程（时域） 从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。电机内部工作原理点击观看 利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来设计状态反馈和输出反馈。线性系统理论的主要内容：状态空间分析法 线性系统内部特性线性系统状态空间 的综合设计经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处：系统模型为单输入单输出系统；忽略初始条件的影响；不包含系统的所有信息；无法
2、利用系统的内部信息来改变系统的性能。第二章 状态空间分析法 复杂的时变、非线性、多输入多输出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。本章主要内容本章主要内容 2.1 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念 2.2 线性定常连续系统动态方程的建立线性定常连续系统动态方程的建立 2.3 线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解 2.4 动态方程与传递函数矩阵动态方程与传递函数矩阵 2.5 线性离散系统的动态方程及其解线性离散系统的动态方程及其解2.1 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念一一 状态变量状态变量 状态变量指描述系统运动的一组独立（数目
3、最少的）变量。当系统能用最少的n个变量 完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量状态变量。状态变量选取的特点： 状态变量的选取具有非唯一性：即可用某一组， 也可用另一组数目最少的变量。状态变量个数的选取具有唯一性：二二 状态向量状态向量 把描述系统状态的n个状态变量 看作向量X(t)的分量，则X(t)称为状态向量，记以 , 上标T为矩阵转置记号。 若状态向量由n个分量组成，则称n维状态向量。一旦给定 时的初始状态向量 及 的输入向量 ，则 的状态由状态向量 唯一确定。三 状态空间 以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称状态空间。系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如二阶系统
4、的状态可由 轴、 轴组成的状态平面（即相平面）中一点表示；三阶系统的状态可由 轴、 轴、 轴组成的三维状态空间中一点来表示；n阶系统的状态则由轴 ， 轴组成的n维状态空间中一点来表示。 初始时刻 的状态 在状态空间中为一初始点；随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，称状态轨迹。四四 状态方程状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。状态方程一阶微分方程或差分方程。状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。故系统的状态方程具有非唯一性。 一般形式的状态方程：式中常系数 与系统特性有关。 (2-1) 称系统矩阵（系数矩阵，状态阵），称输入矩阵
5、（在此为列矩阵）。式中 方程（21）可写成向量矩阵形式： (2-2)多输入（含p个输入变量）线性定常连续系统的状态方程一般表达式为： (2-3)方程(2-3)的向量矩阵形式为 (2-4)式中u为p维列向量，B为 输入矩阵，或称控制系数矩阵，有五五 输出方程输出方程 系统输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式称输出方程，它是一个代数方程。单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：式中常系数 与系统特性有关。可写成向量矩阵形式： (2-6)(2-5)式中 为输出矩阵（在此为行矩阵），d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。 多输入多输出（含q个输出变量）线性定常连续系统的
6、输出方程一般表达形式为：(2-7)其向量矩阵形式为(2-8)式中C为 输出矩阵，D为 前馈矩阵。六六 状态空间表达式状态空间表达式 状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态方程。状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入输出关系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。单输入单输出系统动态方程一般形式为式中 为 维状态向量，u与y为标量，A为n阶方阵，b为 向量，c为 向量，d为标量。（2-9）多输入多输出系统动态方程一般形式为（2-10）式中x为 向量，u为 向量，y为 向量，A为n阶方阵，B为 矩阵，C为 矩阵，D为 矩阵。由于 完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的系统简称为
7、系统 。动态方程的结构图表示见图21，各方块的输入输出关系规定为: 输出向量（方块所示矩阵）（输入向量）注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。图21 动态方程的结构图表示七七 状态空间分析法状态空间分析法 以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。它具有下列优越之处：便于在数字计算机上求解；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；适于描述多输入多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。倒立摆控制系统航天器控制系统机器人控制系统导弹控制系统2.2 线性定常连续系统动态方
8、程的建立线性定常连续系统的动态方程的形式： 一般形式 典型形式一 物理系统动态方程的建立实际物理系统动态方程的建立的原则：根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程；选择可以量测的物理量作为状态变量。例2-1 设机械位移系统如图2-2所示。力F及阻尼器汽缸速度v为两种外作用，给定输出量为质量块的位移x及其速度 、加速度 。图中m、k、f分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。 图22 双输入-三输出机 械位移系统点击观看解解 据牛顿力学，故有显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 和 作为状态变量。设 ，三
9、个输出量为 ，可由微分方程导出下列动态方程： 其向量-矩阵形式为式中例2-2 设空间飞行器如图2-3所示。利用本体坐标系和飞行器本地垂线参考坐标系，试求空间飞行器的动态方程。 图23 空间飞行器点击观看解：空间飞行器相对于参考坐标系进行姿态定向，用一组旋转Euler角即俯仰角、偏航角和滚动角可以唯一的确定飞行器的定向。 利用动力矩定理和动量定理，同时考虑姿态偏移小、速度低、动量小及忽略惯量直积的情况下，可得俯仰轴方向的线性化方程为 ：而滚动轴和偏航轴方向的线性化方程为 ：其中状态变量图状态变量图 将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示，即每个一阶微分方程的右端诸项之和，构成了状态变量的导数
10、，经积分可得该状态变量，最终按照系统中各状态变量的关系连接成封闭的图形，便是状态变量图。 它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。 状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方程在状态变量图中形成和引出。例1-1的状态变量图见图1-3，图中 为拉普拉斯算子。 图2-4 例2-1状态变量图二二 由微分非常或传递函数建立动态方程由微分非常或传递函数建立动态方程 1 实现： 对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一个状态
11、空间实现。 由于状态变量的选择不唯一，所以状态空间实现也不唯一，最小实现也不唯一。设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：(2-11)式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为(2-12) 2 典型实现：1. 能观测标准形实现 设(2-13)其展开式为考虑式(2-11)可得故有状态方程：(2-14)输出方程为(2-15)其向量-矩阵形式为(2-16)式中 式(2-16)所示动态方程，称能观测标准形实现。 2能控标准形式实现将式(2-12)所示传递函数 分解为两部分相串联，并引入中间变量 ，见下图所示图所示 ：由第一个方块可导出以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项
12、的微分方程，由第二个方块可导出系统输出量y可表为z及其导数的线性组合，即 (2-17)定义如下一组状态变量(2-18)可得状态方程(2-19)输出方程为(2-20)其向量-矩阵形式为(2-21)式中式(2-21)所示动态方程，称能控标准形实现。注意到能控、能观测两种准形实现动态方程中诸矩阵存在下列关系： (2-22)式中下标表示能控标准形， 表示能观测标准形，T为转置记号。式(2-22)所示关系称为对偶关系。对偶关系：3G(s)的对角形实现设D(s)的因式分解为 (2-23)式中为系统的相异实极点，则G(s)可展开成部分分式之和，即(2-24) 其拉氏反变换结果有(2-28) 若令状态变量为(
13、2-27) 称为极点 的留数。且有(2-26) 式中(2-25) 其向量-矩阵形式为(2-31) (2-30) 展开可得(2-29) 式中 4 的约当形实现式中 为 重实极点， 为相异实极点，则 可展成下列部分分式之和，即 当 不仅含有相异实极点，还含有相同实极点时，除了可化为能控、能观测标准形实现以外，还可化为约当形实现，其A阵是一个含约当块的矩阵。设 的因式分解为(2-32) (2-33) 式中(2-34) 且 (2-35) 取状态变量 为则(2-37) (2-36) 由式(2-36)有(2-38) 故有状态方程输出方程为(2-40) 其向量-矩阵形式为(2-41) (2-39) 式中当系
14、统传递函数为应用综合除法有(2-42) (2-43) 式中 是直接联系输入、输出量的前馈系数， 是严格有理真分式，其系数同综合除法得(2-44) 其动态方程为(2-45) 试确定可控标准形、可观测标准形动态方程；分别确定状态变量与系统输入量 、系统输出量 的关系；画出状态变量图。解 该系统传递函数 为可控标准形动态方程各矩阵为例2-3 设二阶系统微分方程为 与 的关系可如下导出：将 串联分解并引入中间变量 ，有则 令 ，可得所选状态变量为可观测标准形动态方程各矩阵为所选状态变量由式(2-13)可得图2-5(a)、(b)分别示出可控及可观测标准形实现的状态变量图。(a) 可控标准形实现的状态变量
15、图图2-5(b) 可观测标准形实现的状态变量图三三 动态方程的线性变换动态方程的线性变换 设系统的动态方程为式中P为非奇异线性变换矩阵。令 (2-47) (2-46) 式中 (2-48) 可得变换后系统动态方程为四四 线性化动态方程的建立线性化动态方程的建立实际的物理系统通常含有非线性因素，其一阶微分方程组的一般形式为输出方程的一般形式为(2-49) (2-50) 其向量-矩阵形式为(2-51) 式中、g的诸元是 和 的某类非线性函数。当 和 限制在工作点或平衡点附近的小偏差范围内工作时，系统非线性方程能足够精确的用线性化方程来描述。(2-52) 故有按理想弹道飞行的导弹 即为平衡点。将式(2
16、-51)在 附近展开成台劳级数并略去二次及其以上各项有可解得(2-53) 式(2-54)和式(2-55)即为线性化动态方程，式中(2-55) 故 (2-54) 2.3 线性定常连续系统状态方程的解 一 齐次状态方程的解 称为齐次状态方程，其解描述的是无控情况下在初始状态作用下系统的自由运动。 无控情况下倒立摆的齐次状态方程的解是不稳定的。1. 幂级数法设的解是的向量幂级数式中都是维向量，则由对应项系数相等条件，有 齐次状态方程的解法是将标量齐次微分方程的解法推广到向量微分方程中去。常见如下两种解法。且 时， 故定义 (2-56) (2-57)则众所周知，标量微分方程 的解为 称为指数函数；而式
17、(2-57)所示向量微分方程的解，在形式上是相似的，故把 称为知指数函数；简称矩阵指数。由于 系 同转移而来， 又有状态转移矩阵之称，并记以 ，即 (2-58)2. 拉普拉斯变换法将 取拉氏变换有故 取拉氏反变换有 (2-59) (2-60) 不论不论A是否非奇异是否非奇异， 总是非奇异的。由于可验证故 一定存在，即 总是非奇异的。系统自由运动的性质完全由状态转移矩 阵确定，故有必要研究 的运算性质 由逆矩阵定义，有(2-61) 二二 状态转移矩阵的运算性质状态转移矩阵的运算性质 意为时刻零的状态即为初始状态。意为时刻零的状态即为初始状态。重写 的幂级数表达式 (2-62) 具有下列性质 1(
18、2-63) 且有 (2-65)3 (2-66) 2 (2-64) 4 (2-67)5(2-68) 式(2-68)意为 转移至 的状态转移矩阵为 。由于则6 (2-69)由于 又 故式(2-69)成立，意为 至 的状态转移过程可分解为 至 及 至 的分段转移过程。 故式(2-70)成立。 以上七条运算性质与标量指数运算性质相同。7 (2-70)由于8 (2-71)9. 设 的状态转移矩阵为 ，则引入非奇异线性变 换 后的状态转移矩阵 为(2-72) 10两种常见的状态转移矩阵设 ，即A为对角阵且具有互异元素时，有 设A为 约当阵，即 则有 (2-73)三三 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解
19、称为非齐次状态方程，其解描述控制作用下系统的强迫运动。 有控情况下倒立摆的齐次状态方程的解就会稳定的。非齐次状态方程常见如下两种解法。1 积分法,且有设由于式中第一项是对初始状态的响应分量，第二项是对控制输入的响应分量，适当地选择控制作用，可使系统响应过程按预定性能指标变化。 故积分可得故或 (2-75) (2-74) 当取 作为初始时刻，则积分可得故或(2-77) (2-76) 2拉普拉斯变换法 将取拉氏变换有 则 故取拉氏反变换有取拉氏变换卷积定理可见与积分法得出相同结果。在此 视为 视为 ，故(2-78) 故(2-79) 例24 试求下列状态方程在 及 作用下的解。解解 已知 及 ，为简
20、化计算，可引入变量置换，即令 ，故计算 故 一组状态曲线（点击观看）2.4 动态方程与传递函数矩阵一 由动态方程求传递函数矩阵设系统动态方程为 令初始条件为零，取拉氏变换有 (2-80) 称为系统传递函数矩阵，它表示初始条件为零时，输出向量与输入向量拉氏变换式之间的传递关系， 为 矩阵。式(2-81)的展开式为故 (2-81) 式中 (2-82) (2-83) 对于单输入单输出系统，传递函数矩阵蜕变为传递函数。传递函数矩阵是系统的外部描述（即输入输出描述），与状态变量无关。当 时， 是方阵。若 是对角方阵， 表示该系统是解耦系统，整个系统同 个独立的子系统组成。则 (2-85) 式中 (2-8
21、4) 二 闭环系统中的传递矩阵 定义为开环传递矩阵，它确定偏差向量反馈向量间的传递关系。由于设多输入多输出系统结构图如图如图26所示。图中 分别为系统的输入、偏差、输出、反馈向量， 分别为前向通路、反馈通路传递矩阵。由图可见 图26 系统结构图 定义 为偏差传递矩阵，它确定输入向量至偏差向量间的传递关系。故式中(2-87) (2-86) 定义 为闭环传递矩阵。由于故式中(2-88) (2-89) 三 由传递函数矩阵求动态方程给定一传递函数矩阵 ，求系统的 诸矩阵使下式成立，即 (2-90)并称系统( )是 的一个实现。 第二节中研究了单输入单输出系统的传递函数的实现，鉴于多输入多输出系统传递函
22、数矩阵的实现问题比较复杂，这里只研究单输入多输出、多输入单输出系统、前者的传递函数矩阵是列向量，后者的传递函数矩阵是行向量。 1单输入多输出系统传递矩阵的实现单输入多输出系统传递矩阵的实现 系统由q个独立的子系统组成，传递矩阵 为(2-91) 设最小公分母为(2-92) 则 的一般形式为(2-93) 将 进行串联分解，并引入中间变量 ，令(2-94) 式中 是 个子传递函数的公共部分。由于单输入，其输入矩阵为一列；由于多输出，其输出矩阵 行，故可导出可控标准形实现的状态方程：(2-95) 其向量矩阵形式为(2-97) 各子系统的输出方程均为 及其各阶导数的线性组合， 有 (2-96) 3.多输
23、入单输出系统传递矩阵的实现多输入单输出系统传递矩阵的实现 系统由p个独立子系统组成，传递矩阵为 (2-98) 同理设 的最小公分母为式(2-92)，则(2-99) 由于多输入，其输入矩阵为 列；由于单输出矩阵为一行，故可导出可观测标准形实现的动态方程，即(2-100) (2-101) 例2-5 试求下列单输入-双输出系统传递函数矩阵的可控标准 形实现及对角形实现。解解 由于单输入，其输入矩阵为一列；由于双输出，其输出矩阵 为二行。将 化为严格有理真分布：求 各元的最小公分母 ：故 则可控标准形动态方程为由 确定系统的极点为-1、-2，它们是对角形状态阵的元素。由于输入矩阵只有一列， 式中所示
24、阵是元素全为1的列向量，故对角形实现的状态方程为其输出矩阵有二行，式(1-31)示出 阵由对应极点的留数确定。 在极点-1的留数 为 在极点-2的留数 为故对角形实现的输出方为 2.5 线性离散系统的动态方程及其解 有些系统是完全离散的，基输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息；有些系统是局部离散的，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。 计算机传送处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分离散化，为研究方便，不论完全的或局部的离散系统，均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。导弹传输系统 经典控制理论中，线性离散系统的动力学方
25、程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的。而对于离散系统或离散化系统的状态模型，它们的解法则是一样的。一 由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为 (2-102) 式中 表示 时刻， 为采样周期； 为 时刻的输出量， 为时刻 的输入量； 是与系统特性有关的常系数。初始条件为零时，离散函数的 变换关系为 (2-103) 对式(1-102)进行 变换，整理为(2-104) 在 的串联分解实现中，引入中间变量 ，则有(2-105) 而连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的。定义如下一组状态变量：(2-106) 于是 (2-107) (2-10
26、8) 由式(2-106)式(2-108)可得动态方程(2-110) 利用 反变换关系(2-109) (2-113) 其向量-矩阵形式为(2-112) (2-111) 与连续系统的情况相类似，单输入-单输出线性定常离散系统的动态方程的形式可推广到多输入-多输出系统，有简记为(2-114) (2-115) 二 定常连续动态方程的离散化已知定常连续系统状态方程在 及 作用下的解为 (2-116) 令 ，有 ；令 ，有 在 有 常数，于是其解为 (2-117) 记 (2-118) 为便于计算 ，引入下列变量置换，即令(2-119) 则 故离散化系统状态方程为 (2-120) 式中 由连续系统的状态转移矩阵 导出，有 (2-121) 离散化系统输出方程为 (2-122) 令式(2-120)中 ，可得到 时刻的状态，即三 定常离散动态方程的解(2-123)式(2-123)为离散化状态方程的解，又称为离散状态转移方程。当 时，有 (2-124) 式中 称为离散化系统状态转移矩阵。离散化系统输出方程为(2-125) 对于离散动态方程式(2-125)，其解为(2-126) 式中 表示 个 自乘。例2-7 求下列连续状态方程的离散化状态方程。设采样周期 秒。解解 先求该连续系统的状态转移矩阵 :由例2-4已知 为故 计算 ：故 得离散化状态方程为
