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1、13.5.2 13.5.2 线段的垂直平分线线段的垂直平分线回忆与思考回忆与思考1 1、什么叫线段垂直平分线？、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2 2、线段是不是轴对称图形？线段是不是轴对称图形？O为为AB中点中点3线段线段MA和和MB会重合吗？会重合吗？4分析：由于分析：由于A点和点和B点重合，点重合，M点是同一点（公共点是同一点（公共点），所以线段点），所以线段MA和和MB会重合。会重合。线段的线段的垂直平分线上的点垂直平分线上的点到这条到这条线段
2、线段两个端点的距离相等两个端点的距离相等。结论：结论：这是线段垂直平分线的重要性质这是线段垂直平分线的重要性质。直线直线MN AB，垂足是，垂足是C，且且AC=CB.点点P在在MN上上.已知：已知：PA=PB求证：求证：ABCNMP证明证明:MNMN ABAB（已知）（已知） PCA=PCA= PCB(PCB(垂直的定义垂直的定义) )在在 PCAPCA和和 PCBPCB中中, ,AC=CB(AC=CB(已知已知),), PCA=PCA= PCB(PCB(已证已证) )PC=PC=PCPC( (公共边公共边) ) PCA PCA PCB(SAS)PCB(SAS)PA=PB(PA=PB(全等三角
3、形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )ABCMNPABCMNP当点当点P与点与点C重合时重合时,上述证上述证明有什么缺陷明有什么缺陷? PCAPCA与与 PCBPCB将不存在将不存在. .PA与与PB还相等吗还相等吗?相等相等! !此时此时,PA=CA,PB=CB已知已知AC=CB PA=PBPA=PBABC MN 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的到这条线段两个端点的距离相等距离相等.性质定理性质定理例例2.ABC2.ABC中，中，BCBC1010，边，边BCBC的的垂直平分线分别交垂直平分线分别交ABAB、BCBC于点于点E E、D D；BEBE6 6，求，求
4、BCEBCE的周长。的周长。解：解：EDED是是BCBC的垂直平分线（已知）的垂直平分线（已知） ECECEB=6EB=6（线段的垂直平分线上的点到这条线段两（线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）个端点的距离相等）BCEBCE的周长的周长=BC=BCCECEEBEB 10106 66=226=22 例例2.ABC中，中，BC10，边，边BC的的垂直平分线分别交垂直平分线分别交AB、BC于点于点E、D；BE6，求，求BCE的周长的周长。那么那么到线段两端点距离相等的点到线段两端点距离相等的点是否一定在线段的是否一定在线段的中垂线中垂线上？上？ABPC已知已知:线段线段AB,且且P
5、A=PB求证求证:点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线平分线MN上上. 过点过点P作作PC AB垂足为垂足为C. PA=PB(已知已知) PABPAB是等腰三角形是等腰三角形( (等腰三角等腰三角 形的定义形的定义) )AC=BC(AC=BC(等腰三角形底边上等腰三角形底边上的高是底边上的中线的高是底边上的中线) )PCPC是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .即即点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线平分线MN上上.证明证明:到线段两个端点距离相等的点到线段两个端点距离相等的点,在这在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上.判定定理判定定理该定理只能判定一个该定理只能判
6、定一个点点在线段的中垂在线段的中垂线上，那么如何判定一条线上，那么如何判定一条直线直线是线段是线段的中垂线呢？的中垂线呢？要证明几个点在线段的中垂线上呢？要证明几个点在线段的中垂线上呢？因为两点确定一条直线，我们只需证因为两点确定一条直线，我们只需证明这条直线上有明这条直线上有两个点两个点到线段两端点到线段两端点的距离相等，即的距离相等，即有两个点在线段的中有两个点在线段的中垂线上垂线上。小结小结:1.性质定理性质定理：线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上的点的点,到这条线段两个端点的距离到这条线段两个端点的距离相等相等.2.判定定理：到线段两个端点距离相等判定定理：到线段两个端点距离相等的点
7、的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.互互逆逆定定理理能否根据线段的垂直平分线的性质定能否根据线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，来证明三角形三边的理和判定定理，来证明三角形三边的垂直平分线交于一点？垂直平分线交于一点？ACBMPNM/N/思路：思路：证证其中两条其中两条中垂线的中垂线的交点，也在交点，也在第三条第三条中中垂线上。垂线上。ACBMPN证明：证明： PM、PN分别是分别是AB 、BC的垂直平分线的垂直平分线( ) PA=PB,PB=PC( )PA=PC( ) 点点P在在AC的垂直平分线的垂直平分线( )作图题作图题:如图如图,在直线在直线 l 上求一点上求一点
8、P,使使PA=PB l BAP点点P为所求作的点为所求作的点问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址. ABCP 点点P为校址为校址填空：填空：1.已知已知:如图如图,AD是是 ABC的高的高,E为为AD上一点上一点,且且BE=CE,则则 ABC为为 三角形三角形.2.已知已知: 等腰等腰 ABC,AB=AC,AD为为BC边上的高边上的高,E为为AD上一点上一点,则则BE EC.(填填、或或=号号)ABCEDABCED1题图题图2题图题图等腰等腰=3.已知已知:如图如图,
9、AB=AC, A=30o,AB的垂的垂直平分线直平分线MN交交AC于于D,则则 BDC= , DBC= .ABCDMN30o1275o30o60o45o填空：填空：4.已知已知:如图如图,在在 ABC中中,DE是是AC的垂直平分线的垂直平分线,AE=3cm, ABD的周长为的周长为13cm,则则 ABC 的周长的周长为为 cmABDCE3cm3cm1913cm证明题证明题:1.已知已知: ABC中中, C=90 , A=30o,BD平分平分 ABC交交AC于于D.求证求证:D点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.ABCD证明证明:30o C=90o, A=30o(已知已知) ABC=60o
10、(三角形内角和定理三角形内角和定理) A= ABD (等量代换等量代换) D点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上BD平分平分 A BC(已知已知) ABD=30o(角平分线的定义角平分线的定义)30o AD=BD(等角对等边等角对等边)证明题证明题:2.已知已知:如图如图,线段线段CD垂直平分垂直平分AB,AB平分平分 CAD. 求证求证:ADBC.ABCDO123证明证明: 线段线段CD垂直平分垂直平分AB CA=CB 1= 3又又 AB平分平分 CAD 1= 2 2= 3 AD BC4.已知已知:如图如图,AD平分平分 BAC,EF垂直平分垂直平分AD交交BC的延长线于的延长线于F,连
11、结连结AF.求证求证: CAF= B.ABCDEFABCDEF123 1+ CAF= 3又又 3= B+ 2 1+ CAF= B+ 2 AD平分平分 BAC 2= 1 CAF= B.证明证明: EF垂直平分垂直平分AD AF=DF DAF= 3变式变式1如图如图,在在ABC中中c=90,DE垂直平分垂直平分AB,分别交分别交AB,BC于点于点D,E,若若EAC:EAB=7:4,求求B的度数的度数解：解：DE垂直平分垂直平分ABEA=EBEAB=BEAC：EAB=4：7 EAC：EAB ： B =4：7 ：7C=90 EAC+EAB + B = 90 B =907/18= 35变式变式2如图所示
12、，如图所示，BAC=ABD，AC=BD，点，点P是是AD、BC的的交点，点交点，点E是是AB的中点的中点 ，求证：，求证：PE为为AB的垂直平分线的垂直平分线证明：在证明：在BAC和和ABD中中 AC=BD BAC=ABD AB=BA BACABD PBA=PAB， PA=PB 点点P在在AB的垂直平分线的垂直平分线 又又点点E是是AB的中点的中点 点点E在在AB的垂直平分线的垂直平分线 PE为为AB的垂直平分线的垂直平分线 如何判定一条直线是线段的中垂线呢？因为两点确定一条直线，我们只需证明这条直线上有两个点到线段两端点的距离相等，即有两个点在线段的中垂线上已知：如图，如图已知：如图，如图,
13、D为线段为线段BC的中点的中点,过点过点D作作ADBC,点点E在在AD上上,连接连接AB,AC,EB,EC，求证：，求证：ABE=ACE证明：证明： D为线段为线段BC的中点的中点, ADBC 即即AD垂直平分垂直平分BCAB=AC 点点E在在AD上上EB=EC，在在ABE和和ACE中中 ABAC, EBEC, AEAEABEACE，ABE=ACE 如图在如图在ABC中，中，AB=AC，点，点P、Q 、 R分别在分别在AB 、 BC 、 AC上，且上，且BP=CQ,BQ=CR,求证，点求证，点Q在在PR的垂直的垂直平分线上平分线上证明：证明：AB=AC B=C在在BPQ和和CQR中中BP=CQ
14、 B=C BQ=CRBPQCQR (SAS)PQ=QR点点Q在在PR的垂直平分线上的垂直平分线上如图，如图，AB=AC,BCDE,AFDE,AF垂直平分垂直平分DEDE，求证：，求证：BD=CEBD=CE证明：连结AD,AED 如图，如图，AD是是BACBAC的平分线，的平分线，DEDEABAB交交ACAC于于点点E E， DFAC交交AB于点于点F,延长延长FE交交BC的延长线于点的延长线于点G,求证求证（1）AG=DG （2）GAE = B 证明：（1）AD平分ABCFAD=EADDE/AB , DF/ACFAD=ADE， EAD=FDAFAD=FDA, EAD= EDA AF = DF, EA=ED E,F在AD的垂直平分线上FE垂直平分ADFG是AD的垂直平分线AG=DG（2）AG=DGGAD = GDA GAD = GAE+ DAC AD G= B+ BAD 又 DAE = BADGAE = B
