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1、第八章第八章 相量法相量法8.1 8.1 复数复数8.2 8.2 正弦量正弦量8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础8.4 8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式第08章 相量法8.1 8.1 复数复数 一、复数的形式一、复数的形式1、代数形式、代数形式 F = a + jb为虚单位为虚单位复数复数F 的实部的实部ReF = a复数复数F 的虚部的虚部ImF = b复数复数 F 在复平面上可以用一条从在复平面上可以用一条从原点原点O 指向指向F 对应坐标点的对应坐标点的有向线有向线段段表示。表示。+1+jOFab第08章 相量法2、三角形式、三角形式模模辐角辐角+1+jOFab第08章
2、 相量法5 /-53.1 3、指数形式、指数形式根据欧拉公式根据欧拉公式4、极坐标形式、极坐标形式F =|F| /3+j4= 5 /53.1-3+j4=5 /126.9 10 /30 =10(cos30 + jsin30 ) =8.66+j5第08章 相量法计算器上的复数运算操作计算器上的复数运算操作- 3 + j 4 = 5 / 1 2 6 . 9 3r+/-a4b2ndb5126.869897a5注意选择角度注意选择角度DEG辐角辐角模模代数式代数式极坐标形式极坐标形式第08章 相量法计算器上的复数运算操作计算器上的复数运算操作10 /60 = 5 + j8.6610a6b2ndb58.6
3、602540a5注意选择角度注意选择角度DEG0xy虚部虚部实部实部极坐标形式极坐标形式代数式代数式第08章 相量法二、复数的运算二、复数的运算1、加法、加法用用代数形式代数形式进行进行,设设+1+jO几何意义几何意义第08章 相量法2、减法、减法用用代数形式代数形式进行，进行，设设+1+jO几何意义几何意义第08章 相量法3、乘法、乘法用用指数形式指数形式比较方便比较方便设设4、除法、除法第08章 相量法三、旋转因子三、旋转因子是一个模等于是一个模等于1，辐角为，辐角为的复数。的复数。等于把复数等于把复数A逆时针逆时针旋转一个角度旋转一个角度，而而A的模值不变。的模值不变。j-j-1因此，因
4、此，“j”和和“-1”都可以看成都可以看成旋转因子旋转因子。任意复数任意复数A乘以乘以e j？第08章 相量法故故 +j, j, - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子ejq q ReIm0第08章 相量法一个复数一个复数乘以乘以j，等于把该复数逆时针旋转等于把该复数逆时针旋转/2，一个复数一个复数除以除以j， 等于把该复数乘以等于把该复数乘以-j，等于把它顺时针旋转等于把它顺时针旋转/2 。虚轴等于把实轴虚轴等于把实轴+1乘以乘以j而得到的。而得到的。例如例如j,-j,-1第08章 相量法例：设例：设F1=3-j4，F2=10 /13
5、5求求 : F1+ F2 和和 F1/ F2 。解：求复数的代数和用代数形式：解：求复数的代数和用代数形式：F2 = 10 /135=10（cos135+jsin135)= -7.07 + j7.07F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 ) = - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143第08章 相量法F1F2=3-j410 /135=5 /-53.1 10 /135= 0.5 /-188.1 = 0.5 /171.9 辐角应在辐角应在主值主值范围内范围内求两复数的比求两复数的比,用指数形式或极坐标形式：用指数形式或极坐标形式：第08章 相量
6、法8.2 8.2 正弦量正弦量一、正弦量一、正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的描述，可以用对正弦量的描述，可以用sine，也可以，也可以cosine。用用相量法分析时相量法分析时，不要两者同时，不要两者同时混用混用。 本书采用本书采用cosine。二、正弦量的三要素二、正弦量的三要素:i+- -u瞬时值表达式：瞬时值表达式：振幅振幅Im,角频率角频率,初相位初相位(角角)i第08章 相量法1、振幅、振幅ImIm2tiO2正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。2、角频率、角频率反映正弦
7、量变化的快慢反映正弦量变化的快慢单位单位 rad/sT=2,=2ff=1/T频率频率f 的单位为的单位为赫兹赫兹（Hz）周期周期T的单位为的单位为秒秒（s）f =50Hz,T = 0.02s =314 rad/s第08章 相量法3、初相位（角）、初相位（角）主值主值范围内取值范围内取值Im2tiO2称为正弦量的相位，或称相角。称为正弦量的相位，或称相角。第08章 相量法 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。平均效果工程上采用有效值来表示。l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective va
8、lue)定义定义R直流直流IR交流交流i电流有效电流有效值定义为值定义为有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-meen-square)物物理理意意义义三、正弦量的有效值三、正弦量的有效值第08章 相量法同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos( t+ ),第08章 相量法同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V， Um 537V。（1 1）工工程程上上说说的
9、的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐压压值值指指的的是是最最大大值值。因因此此，在在考考虑虑电电器器设设备备的的耐耐压压水水平平时时应应按按最最大大值考虑。值考虑。（2 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。般为有效值。（3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注注第08章 相量法例：例：i = 10 sin(314t+30) A u= 5 cos(314t
10、-150) V求电压和电流的相位差。求电压和电流的相位差。i = 10 sin(314t+30) = 10 cos(314t+30-90) = 10 cos(314t-60)i = 10 sin(314t+30)第08章 相量法例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。解解不能比较相位差不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。号，且在主值范围比较。 第08章 相量法8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础一、正弦稳态电路一、正弦稳态电路在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中在线性电路
11、中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是各支路的电压和电流的稳态响应将是同频同频正弦量。正弦量。如果电路有如果电路有多个激励多个激励且都是且都是同一频率同一频率的正弦量，的正弦量，则根据线性电路的叠加性质，电路全部稳态响应都则根据线性电路的叠加性质，电路全部稳态响应都将是将是同一频率同一频率的正弦量。的正弦量。处于这种稳定状态的电路称为处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态正弦稳态电路，电路，又可称又可称正弦电流电路正弦电流电路。第08章 相量法根据欧拉公式可展开为根据欧拉公式可展开为显然有显然有所以正弦量可以用上述形式的所以正弦量可以用上述形式的复指数函数复指数函数描述，描
12、述，使正弦量与其实部一一对应起来。使正弦量与其实部一一对应起来。如以正弦电流如以正弦电流为例为例则则F 就是一个就是一个复指数函数复指数函数。二、正弦量的相量二、正弦量的相量对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数第08章 相量法1、定义：、定义：正弦量的正弦量的有效值相量有效值相量称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：第08章 相量
13、法已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u .解解可直接写出正弦量的相量可直接写出正弦量的相量第08章 相量法相量是一个复数相量是一个复数其在复平面上其在复平面上用向量用向量表示相量的图表示相量的图例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解l 相量图相量图 第08章 相量法正弦量的正弦量的振幅相量振幅相量相量图相量图+1+jO第08章 相量法三、正弦波与旋转相量三、正弦波与旋转相量+1+jOtO正弦电流正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相的瞬时值等于其对应的旋转相量在量在实轴实轴上的上的投影投影。第08章 相量法1、同频正弦量的代数和、同频正弦量的代数和如设如
14、设.这些正弦量的和设为正弦量这些正弦量的和设为正弦量 i四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算第08章 相量法而而有有上式对于任何时刻上式对于任何时刻 t 都成立，故有都成立，故有故同频正弦量相加减运算变故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。成对应相量的相加减运算。i1 i2 = i3第08章 相量法2、正弦量的微分、正弦量的微分设正弦电流设正弦电流对对 i 求导，有求导，有即表示即表示 di/dt 的相量为的相量为第08章 相量法3、正弦量的积分、正弦量的积分则则即表示即表示 idt 的相量为的相量为第08章 相量法例：例：已知已知求：求：解：
15、设解：设其相量为其相量为=10 /60+ 22 /-150 =(5 + j8.66) + ( -19.05 - j11)= -14.05 - j2.34= 14.24 /-170.54 Ai = 14.24 cos(314t - 170.54 )A第08章 相量法正弦量相应符号的正确表示正弦量相应符号的正确表示瞬时值表达式瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30)A变量，变量，小写小写字母字母有效值有效值I = 常数，大写字母常数，大写字母最大值最大值常数，大写字母常数，大写字母最大值相量最大值相量有效值相量有效值相量常数，大写字母加点常数，大写字母加点常数，大写字母加点常数，
16、大写字母加点Im=10A第08章 相量法相量法的优点：相量法的优点：（1 1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；第08章 相量法注注 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性 1 2非非线性线性 不适用不适用正弦波形图正弦波形图相
17、量图相量图第08章 相量法8.4 8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式一、基尔霍夫定律一、基尔霍夫定律正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频正弦量，所以可以用相量法将是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和和KVL转换为相量形式。转换为相量形式。第08章 相量法1 1、基尔霍夫电流定律、基尔霍夫电流定律 对电路中任一点，根据对电路中任一点，根据KCLKCL有有 i = 0其相量形式为其相量形式为2、基尔霍夫电压定律、基尔霍夫电压定律 对电路任一回路，根据对电路任一回路，根据KVL有有 u = 0其相量形式为其相量形式为第08章 相量法1、电阻
18、元件、电阻元件 瞬时值表达式瞬时值表达式+- -R+- -R相量形式相量形式+1+jO相量图相量图二、电阻、电感和电容元件的二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式相量形式第08章 相量法2、电感元件、电感元件L+- -相量形式相量形式L+- -+1+jO相量图相量图瞬时值表达式瞬时值表达式第08章 相量法3、电容元件、电容元件瞬时值表达式瞬时值表达式C+- -相量形式相量形式C+- -+1+jO相量图相量图第08章 相量法如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量，如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
19、4、受控源、受控源第08章 相量法例：例：正弦电流源的电流，其有效值正弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率，角频率=103rad/s， R=3，L=1H，C=1F。求电压。求电压uad和和ubd。abcdi+- - - -解：画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图解：画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图abc+- - - -dRjL第08章 相量法设电路的电流相量为参考相量设电路的电流相量为参考相量abc+- - - -dRjL= 15 /0 V= 5000 / 90V= 5000 / - 90 V= 0A有效值有效值IS=5A，角频率，角频率=103rad/s， R=3，L=1H
20、，C=1F。第08章 相量法相量法的三个基本公式相量法的三个基本公式以上公式是在电压、电流以上公式是在电压、电流关联关联参考方向的条件下参考方向的条件下得到的；得到的；如果为如果为非关联非关联参考方向，则以上各式要变号。参考方向，则以上各式要变号。以上公式以上公式 既包含电压和电流的既包含电压和电流的大小大小关系，关系，又又包含电压和电流的包含电压和电流的相位相位关系。关系。第08章 相量法第第8章结束章结束第08章 相量法正误判断正误判断？瞬时值瞬时值复数复数第08章 相量法正误判断正误判断？瞬时值瞬时值复数复数第08章 相量法已知：已知：正误判断正误判断？有效值有效值j45第08章 相量法 则：则：已知：已知：正误判断正误判断？第08章 相量法 则：则：已知：已知：？正误判断正误判断最大值最大值第08章 相量法
