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1、介绍反证法介绍反证法及举例及举例练习练习1,2故事引入故事引入思维体会思维体会本课小结本课小结 当我们直接从正面考虑不易解决问题时当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要于是就要改变思维方向改变思维方向,从结论入手从结论入手,反面思考。这种从反面思考。这种从“正面正面难解决就从反面思考难解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的思维方式就是我们通常所说的间接解法中的一种的间接解法中的一种反证法反证法. (又比如课本的思考又比如课本的思考)举例举例(课本例课本例4)推理过程中一定要用到才行推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾显而易见的矛盾( (如和已知条件矛盾如和已知条件矛盾).).反
2、设反设归谬归谬结论结论( 课本例课本例5)例例1:1:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。不能互相平分。已知：已知：如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB、CDCD交于点交于点P P，且，且ABAB、CDCD不是直径不是直径. .求证：求证：弦弦ABAB、CDCD不被不被P P平分平分. .POBADC由于由于P P点点一定不是圆心一定不是圆心O O，连结连结OPOP，根据垂径，根据垂径定理的推论，有定理的推论，有OPABOPAB，OPCDOPCD，所以，弦所以，弦ABAB、CDCD不被不被P P平分。平分。证明：证明： 假设弦假设弦A
3、BAB、CDCD被被P P平分，平分，即过点即过点P P有两条直线与有两条直线与OPOP都垂直，这与垂线性质矛盾。都垂直，这与垂线性质矛盾。( 课本例课本例5)( (自学课本例自学课本例5)5)例例2.2.求证求证： 是无理数是无理数. .练习练习1,2练习练习2练习练习1.设设0 a, b, c 又又0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a 证：设证：设a 0, bc 0, 则则b + c a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾，矛盾， 必有必有a 0 同理可证：同理可证：b 0, c 0练习练习2.已知已知a + b + c 0，ab + b
4、c + ca 0， abc 0， 求证：求证：a, b, c 0 幻灯片切换(1)(1)用反证法证明命题的用反证法证明命题的一般步骤是什么一般步骤是什么? ? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾, ,与与假设矛盾假设矛盾, ,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等反设反设归谬归谬结论结论(2)(2)用反证法证题用反证法证题, ,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些? ?方法小结方法小结: : 1 1直接证明直接证明: :直接从原命题的条件逐步推得结论成立直接从原命题的条件逐步推得结论成立. .2.2
5、.反证法反证法是一种常用的间接证明方法是一种常用的间接证明方法. .(3)(3)适宜使用反证法的情况适宜使用反证法的情况: : (1)(1)结论以否定形式出现；结论以否定形式出现；(2)(2)结论以结论以“至多至多-,” ,“-,” ,“至少至少-” -” 形式出现；形式出现；(3)(3)唯一性、存在性问题唯一性、存在性问题;(4);(4)结论结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。的反面比原结论更具体更容易研究的命题。正难则反正难则反! ! A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是
6、在撒谎，为必定是在撒谎，为什么？什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则C C真真. . - - - - 那么那么A A假且假且B B假假; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. .那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立, ,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .说谎者悖论说谎者悖论 M M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。它的最简单的形式。甲：这句话是错的。甲：这句话是错的。M M：上面这个句子对吗：上面这个句子对吗? ?如果是对的，这句话就是如果是对的，
7、这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。唐唐吉诃德悖论吉诃德悖论 M M：小说：小说唐唐吉诃德吉诃德里描写过一个国家它有一里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？你来这里做什么？M M：如果旅游者回答对了。一切都：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M M：一天，有个旅游者回答：一天，有个旅游者回答旅游者：我来这里是要被绞死。旅游者：我来这里是要被绞死。M M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。就说对了，就不应该绞死他。 M M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说了好久，国王才说国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
