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1、学案学案1 不等关系与不等式不等关系与不等式 名师伴你行名师伴你行知识网络构建知识网络构建知识网络构建知识网络构建填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 不等关不等关系与不系与不等式等式（1）了解现实世界和日常生活中的不等关）了解现实世界和日常生活中的不等关系系.（2）了解实数大小的比较方法及实数运算）了解实数大小的比较方法及实数运算的基本性质，并能
2、运用不等式的性质判断不的基本性质，并能运用不等式的性质判断不等式是否成立或数（式）的大小等式是否成立或数（式）的大小.返回目录返回目录 名师伴你行 考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 纵观近三年新课标区高考可以发现，由于新课程纵观近三年新课标区高考可以发现，由于新课程标准对不等式的性质要求不高，高考也几乎没有单独标准对不等式的性质要求不高，高考也几乎没有单独命题，作差法比较两实数大小也仅是解决问题的工具，命题，作差法比较两实数大小也仅是解决问题的工具，一般不单独命题，高考对本学案知识的考查往往结合一般不单独命题，高考对本学案知识的考查往往结合函数的性质，利用函数中的不等关系比较实数的大小函
3、数的性质，利用函数中的不等关系比较实数的大小.1.实数大小的比较实数大小的比较(1)设设a,bR,则则ab ;a=b ;ab .返回目录返回目录 a-b0 a-b=0 a-b0 名师伴你行返回目录返回目录 2.不等式的性质不等式的性质性质性质1 ab .性质性质2 ab,bc .性质性质3 ab ;性质性质4 ab,c0 ; ab,c0 ;性质性质5 ab ,cd ; ba ac a+cb+c a+cb+d acbc acbc 名师伴你行性质性质6 ab0,cd0 .性质性质7 ab0 (nN，n0).性质性质8 ab0= (nN ，n0).anbn acbd 返回目录返回目录 考点考点考点考
4、点1 1 不等式的概念与性质不等式的概念与性质不等式的概念与性质不等式的概念与性质名师伴你行2010年高考江西卷对于实数年高考江西卷对于实数a,b,c,“ab”是是“ac2bc2”的的 条件条件返回目录返回目录 名师伴你行【分析分析】本题利用不等式的性质及充要条件的判定直本题利用不等式的性质及充要条件的判定直接作出判断接作出判断.【解析解析】ab/ ac2bc2，原因是，原因是c可能为可能为0，而若，而若ac2bc2,则可推出则可推出ab.故故“ab”是是“ac2bc2”的必要不充分条件的必要不充分条件. （1）准确记忆各性质成立的条件，）准确记忆各性质成立的条件， 是正确应用性是正确应用性质
5、的前提质的前提. （2）在不等关系的判断中，特殊值法也是非常有）在不等关系的判断中，特殊值法也是非常有效的方法效的方法.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行2010年高考广东卷改编年高考广东卷改编“x0”是是“ ”成立的成立的 条件条件返回目录返回目录 名师伴你行【答案答案】充分非必要条件充分非必要条件【解析解析】因为当因为当x0时，一定有时，一定有 ，但当，但当 时，时，x0是是 成立的充分不成立的充分不必要条件必要条件.返回目录返回目录 考点考点考点考点2 2 应用不等式表示不等关系应用不等式表示不等关系应用不等式表示不等关系应用不等式表示不等关系 名师伴你行某汽车公司
6、由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过过1 000万元的资金购买单价分别为万元的资金购买单价分别为40万元，万元，90万元的万元的A型型汽车和汽车和B型汽车型汽车.根据需要，根据需要，A型汽车至少买型汽车至少买5辆，辆，B型汽车型汽车至少买至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.【分析分析】把握关键点，不超过把握关键点，不超过1 000万元，且万元，且A,B两种车型两种车型分别至少分别至少5辆，辆，6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范辆，则不等关系不难表示，要注意取值范围围.返回目录返回目录
7、名师伴你行【解析解析】设购买设购买A型汽车和型汽车和B型汽车分别为型汽车分别为x辆，辆，y辆，则辆，则 40x+90y1 000x5y6x,yN+,4x+9y100x5y6x,yN+.即即返回目录返回目录 名师伴你行 注意区分注意区分“不等关系不等关系”和和“不等式不等式”的异同，不等关的异同，不等关系强调的是关系，可用系强调的是关系，可用“”“”“”“”“”表表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等式关系可以从不等式关系可以从“不超过不超过”“至少至少”“至多至多”等关键词等关键词上去把握，并考虑到实际意义上去把握，并考虑到实
8、际意义.返回目录返回目录 名师伴你行某矿山车队有某矿山车队有4辆载重为辆载重为10 t的甲型卡车和的甲型卡车和7辆载重为辆载重为6 t的乙的乙型卡车，有型卡车，有9名驾驶员名驾驶员.该车队每天至少要运该车队每天至少要运360 t矿石至冶矿石至冶炼厂炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每次，乙型卡车每辆每天可往返天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式次，写出满足上述所有不等关系的不等式.返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析】设每天派出甲型卡车设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车辆，乙型卡车y辆，根据题辆，根据题意，应有如下的不等关系：意，应有如下的不
9、等关系：（1）甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；）甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；（2）车队每天至少要运）车队每天至少要运360 t矿石；矿石；（3）甲型卡车不能超过）甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过辆，乙型卡车不能超过7辆辆.用关于用关于x,y的不等式表示上述不等关系即可的不等式表示上述不等关系即可.返回目录返回目录 名师伴你行5x+4y300x40y7x,yN.即即x+y9106x+68y3600x40y7x,yN, x+y9返回目录返回目录 考点考点考点考点3 3 大小比较大小比较大小比较大小比较 名师伴你行(1)设设x+y0,b0,且且ab,试比较试比较aa
10、bb与（与（ab） 的大小的大小.返回目录返回目录 名师伴你行【分析分析】比较两数（或两式）的大小，一般用比较法，具比较两数（或两式）的大小，一般用比较法，具体用作差比较还是用作商比较应由数（或式）特点而定体用作差比较还是用作商比较应由数（或式）特点而定.【解析解析】 (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)(x2+y2)-(x+y)2=-2xy(x-y).xy0,x-y0,-2xy0,(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).返回目录返回目录 名师伴你行(2)若若ab0,则则 1,a-b0.由指数函数的性质由指数函数的性质 1.若若ba0,则则0 1，a-
11、b0.由指数函数的性质由指数函数的性质 1. 1, .返回目录返回目录 名师伴你行（1）比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进）比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负负.（2）作商比较通常适用于两代数式同号的情形）作商比较通常适用于两代数式同号的情形.返回目录返回目录 名师伴你行比
12、较下列各组中两个代数式的大小比较下列各组中两个代数式的大小:(1)(x-3)2与与(x-2)(x-4);(2)当当x1时时,x3与与x2-x+1;(3) + 与与2+ .返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析】 (1)(x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6x+9-(x2-6x+8)=10,(x-3)2(x-2)(x-4).(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),x1,x3-(x2-x+1)0,当当x1时时,x3x2-x+1.(3) , =返回目录返回目录 名师伴你行考点考点4 范围问题范围问题 已知已知-1a+b3且且2a-b
13、4,求求2a+3b的取值范围的取值范围.【分析分析】将将2a+3b用用a+b和和a-b表示出来，再利用不等式表示出来，再利用不等式的性质求解的性质求解2a+3b的范围的范围.返回目录返回目录 名师伴你行【解析解析】设设2a+3b=m（a+b）+n（a-b），）， m+n m-n=3，m= ，n= .2a+3b= （a+b） （a-b）.-1a+b3,2a-b4, (a+b) ,-2 (a-b)-1, (a+b) (a-b) ,即即 2a+3b .返回目录返回目录 名师伴你行 由由af1(x1,y1)b,cf2(x1,y1)d,求求g（x1，y1）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设的取值范围
14、，可利用待定系数法解决，即设g（x1，y1）=pf1（x1，y1）+qf2（x1，y1），用恒等变形求得），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得，再利用不等式的性质求得g（x1，y1）的范围）的范围.此外，此外，本题也可用线性规划的方法来求解本题也可用线性规划的方法来求解.返回目录返回目录 名师伴你行设设f（x）=ax2+bx且且1f(-1)2,2f(1)4,求求f（-2）的取值范）的取值范围围.【解析解析】解法一解法一:设设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数为待定系数),则则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. m+
15、n=4 n-m=-2,m=3n=1,解得解得于是得于是得返回目录返回目录 名师伴你行f(-2)=3f(-1)+f(1).又又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故故5f(-2)10.解法二解法二:由由 f(-1)=a-b f(1)=a+b, a= f(-1)+f(1) b= f(1)-f(-1),f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又又1f(-1)2,2f(1)4,得得返回目录返回目录 名师伴你行53f(-1)+f(1)10,故故5f(-2)10.解法三解法三：由：由 1a-b2 2a+b4 确定的平面区域如图确定的平面区域如图.当当f(-2)=4a-2b过
16、点过点A ( ) 时时,取得最小值取得最小值4 -2 =5,当当f(-2)=4a-2b过点过点B(3,1)时，时，取得最大值取得最大值43-21=10,5f(-2)10.返回目录返回目录 1.1.要注意不等式性质成立的条件要注意不等式性质成立的条件要注意不等式性质成立的条件要注意不等式性质成立的条件. .例如，重要结论：例如，重要结论：例如，重要结论：例如，重要结论：a ab,abb,ab0 0 , ,不能弱化条件得不能弱化条件得不能弱化条件得不能弱化条件得a ab ,b ,也不能强化条件得也不能强化条件得也不能强化条件得也不能强化条件得a ab b0 0 . . 2. 2.要正确处理带等号的
17、情况要正确处理带等号的情况要正确处理带等号的情况要正确处理带等号的情况. .如由如由如由如由a ab,bcb,bc或或或或ab,bab,bc c均可得出均可得出均可得出均可得出a ac;c;而由而由而由而由ab,bcab,bc可能有可能有可能有可能有a ac,c,也可也可也可也可能有能有能有能有a=ca=c，当且仅当，当且仅当，当且仅当，当且仅当a=ba=b且且且且b=cb=c时，才会有时，才会有时，才会有时，才会有a=c.a=c. 3. 3.两不等式相加的前提是两不等式必须同向，如两不等式相加的前提是两不等式必须同向，如两不等式相加的前提是两不等式必须同向，如两不等式相加的前提是两不等式必须同向，如“ “” ”与与与与“ “” ”,“,“” ”与与与与“”“”均可理解成同向；两不均可理解成同向；两不均可理解成同向；两不均可理解成同向；两不等式相乘除了要同向外，还必须满足各数均是非负的等式相乘除了要同向外，还必须满足各数均是非负的等式相乘除了要同向外，还必须满足各数均是非负的等式相乘除了要同向外，还必须满足各数均是非负的. .原则上不等式不能相减或相除原则上不等式不能相减或相除原则上不等式不能相减或相除原则上不等式不能相减或相除. .名师伴你行名师伴你行
