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1、二二次次函函数数综综合合题题二二次次函函数数综综合合题题微专题微专题问题：问题：已知点已知点A，B和直线和直线l，在，在l上求点上求点P，使，使PAB为等腰三角形为等腰三角形找点：找点：若若AB为底，分别以点为底，分别以点A，B为圆心，为圆心，大于大于 AB长为半径画弧，过两弧交点长为半径画弧，过两弧交点作直线，与直线作直线，与直线l的交点的交点P即为所求；即为所求；满满 分分 技技 法法类型三等腰三角形存在性问题类型三等腰三角形存在性问题(8年年2考考)一阶一阶 设问突破设问突破若若AB为腰，分别以点为腰，分别以点A，B为圆心，为圆心，AB长为半径长为半径画圆，与直线画圆，与直线l的交点的交
2、点P1，P2，P3，P4即为所求即为所求求解方法：求解方法：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间距离公式，分别表示出三况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间距离公式，分别表示出三条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也可根据动点在定线段的垂直平分线上求解；若已知角相等也可通过全等可根据动点在定线段的垂直平分线上求解；若已知角相等也可通过全等或相似三角形求解或相似三角形求解例例 如图，
3、抛物线如图，抛物线yx24x12与与x轴交于点轴交于点A，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接BC，P是抛物线上的动点是抛物线上的动点(1)如图如图，D是抛物线对称轴上一点，若点是抛物线对称轴上一点，若点D的纵坐标为的纵坐标为4 ，判断，判断ABD的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；例例题图题图解：解：(1)ABD为等边三角形，理由如下：如解图为等边三角形，理由如下：如解图，设抛物线对称轴与，设抛物线对称轴与x轴交于点轴交于点E.令令yx24x120，解得解得x2或或x6，A(2，0)，B(6，0)，AB8，AE4.点点D的纵坐标为的纵坐标为4 ，即，即DE4 ，在在RtAE
4、D中，中，tan DAE ，DAE60.ADBD，ABD为等边三角形；为等边三角形；例例题解图题解图(2)如图如图，连接，连接PC，PO，当，当PCO是以是以OC为底的等腰三角形时为底的等腰三角形时，求点，求点P的坐标；的坐标；例例题图题图(2)如解图如解图，作，作CO的垂直平的垂直平分线交抛分线交抛物线于点物线于点P和点和点P，交，交CO于点于点D，则，则POC和和POC是以是以OC为底的等腰三角为底的等腰三角形形令令x0，则，则y12，C(0，12)，OC12，CDOD6，点点P的纵坐标为的纵坐标为6，例例题解图题解图当当y6时，时，即即x24x126，解得解得x2 或或x2 ，点点P的坐
5、标为的坐标为(2 ，6)或或(2 ，6)；例例题解图题解图(3)如图如图，D是抛物线对称轴上一点，连接是抛物线对称轴上一点，连接BD，CD，当，当CDB是等腰三是等腰三角形时，求点角形时，求点D的坐标；的坐标；例例题图题图(3)抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x2，设点，设点D的坐标为的坐标为(2，n).由由(1)，(2)知知C(0，12)，B(6，0)，BC262122180，CD222(12n)2，BD242n2，当当CDB是等腰是等腰三角形时，分以下三种情况：三角形时，分以下三种情况：当当CDCB时，时，CD2CB2，即，即22(n12)2180，解得，解得n1124 ，n212
6、4 ；当当CDBD时，时，CD2BD2，即，即22(n12)242n2，解得解得n3 ；当当BDCB时，时，BD2CB2，即，即42n2180，解得解得n42 ，n52 .综上所述，当综上所述，当CDB是等腰三角形时，是等腰三角形时，点点D的坐标为的坐标为(2，124 )，(2，124 )，(2，)，(2，2 )或或(2，2 )；例例题图题图(4)如图如图，若点，若点P在直线在直线BC上方，过点上方，过点P作作PQy轴交轴交BC于点于点Q，连接，连接OP交交BC于点于点M，若，若PQM是等腰三角形，求点是等腰三角形，求点M的坐标的坐标例例题图题图(4)PQy轴，轴，COMQPM.CMOQMP，
7、PQMOCM.PQM是等腰三角形，是等腰三角形，OCM也是等也是等腰三角形腰三角形设设yBCkxb(k0)，将，将B(6，0)，C(0，12)代代入入得得 解得解得 即即yBC2x12.点点M在在BC上，上，设点设点M坐标为坐标为(a，2a12).P在在BC上方，上方，0a6.如解图如解图，当，当MPMQ时，时，MOMC，点点M在在OC的垂直平分线上，的垂直平分线上，点点M的纵坐标为的纵坐标为6.当当2a126时，解得时，解得a3，M点坐标为点坐标为(3，6)；如解图如解图当当MQQP时，时，CMCO12，作作MHy轴于点轴于点H，HM2HC2CM2，a212(2a12)2122，解得，解得a
8、 (负值已舍去负值已舍去)，M点的坐标为点的坐标为(，12 )；例例题解图题解图例例题解图题解图当当MPPQ时，则时，则OMCO12.C(0，12)，a2(2a12)2122，解得解得a 或或a0(均不符合条件，舍去均不符合条件，舍去).综上所述，综上所述，PQM是等腰三角是等腰三角形，点形，点M的坐标为的坐标为(3，6)或或(，12 ).例例题图题图解题关键点由于等腰由于等腰PQM的腰或底边都不确定，则需分三种情的腰或底边都不确定，则需分三种情况讨论况讨论问题：已知点问题：已知点A，B，直线，直线l，在，在l上求点上求点P，使，使PAB为为直角三角形直角三角形找点：找点：若点若点A为直角顶点
9、，过点为直角顶点，过点A作作AB的垂线，的垂线，与直线与直线l的交点的交点P1即为所求；即为所求；满满 分分 技技 法法类型四直角三角形存在性问题类型四直角三角形存在性问题一阶一阶 设问突破设问突破若点若点B为直角顶点，过点为直角顶点，过点B作作AB的垂线，与直线的垂线，与直线l的交点的交点P2即为所求；即为所求；若点若点P为直角顶点，以为直角顶点，以AB为直径画圆为直径画圆,与直线与直线l的交点的交点P3，P4即为所求即为所求求解方法：求解方法：方法一：设出点方法一：设出点P的坐标，表示出三边的长，的坐标，表示出三边的长，分三个角分别为直角讨论，在每种情况下利用勾股定理列方程求解；分三个角分
10、别为直角讨论，在每种情况下利用勾股定理列方程求解；方法二：找相似，利用相似三角形的性质求解，通过构造一线三垂直利方法二：找相似，利用相似三角形的性质求解，通过构造一线三垂直利用相似求解用相似求解(见微专题一线三等角模型解决全等、相似问题见微专题一线三等角模型解决全等、相似问题)；方法三：方法三：特殊地，若有特殊地，若有30，45或或60角，考虑用锐角三角函数求解；角，考虑用锐角三角函数求解；方法四：利方法四：利用两直线垂直表示表达式中用两直线垂直表示表达式中k的关系求解的关系求解例例 如图，抛物线如图，抛物线yx23x4与与x轴交于轴交于A，B两点，两点，与与y轴交于点轴交于点C，连接，连接A
11、C，BC.(1)若点若点P是是y轴上的点，且轴上的点，且PAC90，求，求点点P的坐标；的坐标；例例题图题图解：解：(1)当当x0时，时，y4，当当y0时，时，x11，x24，A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)，OA1，OC4.如解图如解图，PAC90，PAOOAC90，AOC90，OACACO90，PAOACO，tan PAOtan ACO ，OP ，点点P的坐标为的坐标为(0，)；例例题解图题解图(2)点点P是抛物线上一动点，当是抛物线上一动点，当PBC是以是以BC为直角边的直角三角形为直角边的直角三角形时，求时，求点点P的坐标；的坐标；例例题图题图(2)由由(1)知点知点B(4，0
12、)，C(0，4)易得直线易得直线BC的表达的表达式为式为yx4.BC是是RtPBC的直角边，的直角边，分两种分两种情况讨论：情况讨论：当点当点B是直角顶点时是直角顶点时，如解图，如解图，设设直线直线P1B的表达式为的表达式为y1xn，将点，将点B(4，0)代入，解得代入，解得n4，例例题解图题解图直线直线P1B的表达式为的表达式为y1x4，联立，联立解得解得x4(舍去舍去)或或x2，当，当x2时，时，x46，P1(2，6)；如解图如解图，当点，当点C是直角顶点时，设直线是直角顶点时，设直线P2C的表达式为的表达式为y2xm，将点将点C(0，4)代入，解得代入，解得m4，直线直线P2C的表达式为
13、的表达式为y2x4，联立，联立解得解得x0(舍去舍去)或或x2，当，当x2时，时，x46，P2(2，6).例例题解图题解图综上所述，综上所述，PBC是以是以BC为直角边的直角三角形时，点为直角边的直角三角形时，点P的坐标为的坐标为(2，6)或或(2，6)；(3)若点若点N是对称轴上一点，当是对称轴上一点，当NBC是直角三角形时，求点是直角三角形时，求点N的坐标；的坐标；例例题图题图(3)A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)抛物线的对称抛物线的对称轴为轴为x .点点N在对称轴上，在对称轴上，设点设点N的坐标为的坐标为(，t)，CN2()2(t4)2，NB2(4)2t2，BC2424232，分
14、三种情况讨论：分三种情况讨论：分三种情况讨论：分三种情况讨论：当当NCB90时，时，NC2BC2NB2，()2(t4)232(4)2t2，解得解得t1 ；当当NBC90时，时，NB2BC2NC2，(4)2t232()2(t4)2，解得解得t2 ；例例题图题图当当BNC90时，时，NB2NC2BC2，(4)2t2()2(t4)232，解得解得t32 ，t42 .综上所述，点综上所述，点N的坐标为的坐标为(，)或或(，)或或(，2 )或或(，2 ).例例题图题图(4)若点若点N是对称轴上一点，在对称轴右侧的抛物线上存在点是对称轴上一点，在对称轴右侧的抛物线上存在点D，使得，使得BDN是以是以N为直
15、角顶点的等腰直角三角形，求点为直角顶点的等腰直角三角形，求点D的坐标的坐标例例题图题图(4)记抛物线的对称轴与记抛物线的对称轴与x轴轴的交点为的交点为E，则则E(，0).如解图如解图，当点，当点D在在x轴下方时，轴下方时，点点N，D分别在点分别在点N1，D1的位置，的位置，过点过点D1作作D1G对称轴于点对称轴于点G.BN1D190，BN1ED1N1G90.例例题解图题解图D1N1GN1D1G90，BN1EN1D1G.BN1N1D1，BEN1N1GD190，BEN1N1GD1，BEN1G，N1ED1G.B(4，0)，E(，0)，BEN1G .设设N1(，m)，则，则D1(m ，m )，D是对称
16、轴右是对称轴右侧抛物线上的点，侧抛物线上的点，m 0，m0，将将D1(m ，m )代入代入yx23x4，解得解得m1 ，m2 (舍去舍去)，D1(3，4)；例例题解图题解图如解图如解图，当点，当点D在在x轴上方时，点轴上方时，点N，D分别在点分别在点N2，D2的位置，过点的位置，过点D2作作D2H对称轴于点对称轴于点H，BN2D290，BN2EHN2D290.HN2D2HD2N290，BN2EHD2N2.N2D2BN2，BEN2N2HD290，BEN2N2HD2，BEN2H，N2ED2H.例例题解图题解图B(4，0)，E(，0)，N2HBE .设设N2(，n)，则，则D2(n ，n ).同理同理n ，n0.把把D2(n ，n )代入代入yx23x4，解解得得n1 ，n2 (舍舍)，D2(5，6).综上所述，综上所述，D的坐标为的坐标为(3，4)或或(5，6).解题关键点点点N在对称轴上的位置不固定，在对称轴上的位置不固定，则需分点则需分点N在在x轴上方和下方轴上方和下方两种情况讨论两种情况讨论请请完完成成精精练练本本习习题题
