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1、2024河南中考数学二轮重难题型精讲练微专题 与线段有关的最值问题 类型一利用垂线段最短求最值一、一定一动(点到直线的所有线段中,垂线段最短)模型分析如图,点P在直线l外,过点P作直线l的垂线PH,则点P到直线l的最短距离为PH,即“垂线段最短”模型应用1. 如图,在RtABC中,C90,AD是BAC的平分线,点E是AB上任意一点若AD5,AC4,则DE的最小值为()第1题图A. 3 B. 4 C. 5 D. 62.如图,在RtAOB中,OB2,A30,O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作O的一条切线PQ(其中点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为_第2题图二、一定两动(利用垂线段最短
2、求两条线段和的最小值)模型分析问题:点P是AOB的内部或边上一定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得PNMN的值最小解决:模型应用3. 如图,在RtABC中,ACB90,AC6,BC8,AD是BAC的平分线若P、Q分别是AD、AC上的动点,则PCPQ的最小值是_第3题图三、两定一动(“胡不归”问题)模型分析问题:如图,点A为直线l上一定点,点B为直线l外一定点,点P为直线l上一动点,要使kAPBP(0kn)(1)连接AC、BC.在ABC中,根据三边关系,有ABBCACABBC,即mnACmn;(2)当点A,B,C三点共线时,点C在线段AB上,AC有最小值为ABBC,即mn;点C在线段A
3、B的延长线上,AC有最大值为ABBC,即mn;点C在线段BA的延长线上,AC有最小值BCAB,即nm.模型应用15. 如图,矩形ABCD,AB1,BC2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上当点A在x轴上运动时,点D也随之在y轴上运动,在这个运动过程中,点C到原点O的最大距离为_第15题图参考答案1. A【解析】在RtACD 中,AD5,AC4,CD3,当DEAB时,DE的值最小,AD是BAC的平分线,C90,DE的最小值为3.2. 2【解析】如解图,连接OP、OQ,PQ是O的切线,OQPQ,PQ,OQ为O的半径,为定值,故当OP最小时,PQ可取得最小值,又OPAB时,OP取得最小值,此时O
4、PABOBAO,OB2,A30,AO6,AB4,OPAO3,PQ的最小值为2.第2题解图3. 【解析】如解图,过点C作CMAB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQAC于点Q,AD是BAC的平分线PQPM,此时PCPQ有最小值,即为CM,AC6,BC8,ACB90,AB10,SABCABCMACBC,CM.第3题解图4. 【解析】如解图,过点P作PQBC于点Q,过点M作MNBC于点N.四边形ABCD是菱形,ABBC.ABAC10,ABC是等边三角形,ABCACB60,OBC30,PQBP,MPBPMPPQ.由两点之间线段最短可知,当M、P、Q三点共线,即点Q与点N重合时,MPPQ取得最小值,
5、最小值为MN的长AM3,CMACAM7.MNCM,MPBP的最小值为.第4题解图5. A【解析】如解图,过点P作PJBC于点J,过点D作DHBC于点H.二次函数yx23xc的图象与y轴交于点B(0,4),c4,二次函数的解析式为yx23x4,令y0,解得x1或x4,A(1,0),C(4,0),OBOC4,BOC90,OBCOCB45,D(0,1),OD1,BD5,DHBC,DHB90,DHBDsin455,PJCB,PJC90,PJPC,PDPC(PDPC)(DPPJ),DPPJDH,DPPJ,DPPJ的最小值为,PDPC的最小值为5.第5题解图6. 2【解析】如解图,连接CE交AD于点F,E
6、FCFEFCFCE,当点F与点F重合时,EFCF有最小值,且最小值为线段CE的长,AB4,AE2,由等边三角形性质可知CEAB,CE2.第6题解图7. 12【解析】如解图,连接AP,AH,MN是线段AB的垂直平分线,点B关于直线MN的对称点为点A,APBP,BPPHAPPHAH,AH的长为BPPH的最小值,ABAC13,ABC的周长为36,BC3621310,H是BC中点,BHBC5,ABC是等腰三角形,点H是BC中点,AHBC,AH12,BPPH的最小值为12.第7题解图8. 【解析】如解图,作点A关于y轴的对称点A,连接AB与y轴交于点P,则此时PAB的周长最小,根据题意,联立,解得或,点
7、A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),AB3,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),设直线AB的解析式为ykxb,将点A、点B的坐标代入得,解得,直线AB的解析式为yx,当x0时,y,点P的坐标为(0,),将x0代入直线yx1中,得y1,直线yx1与y轴的夹角是45,PAB的高为(1)sin45,SPAB3.第8题解图9. 2【解析】如解图,延长EF与BC交于点P,过点P作PMAD于点M,过点F作FGAD于点G,延长GF交BC于点H,PEPF的最大值即为EF的值四边形ABCD为正方形,ADBC,ABBCCDAD8,PFBEFD,点F是对角线BD上靠边点B的三等分点,DE2,BP1,ADBC,PFHEFG,FG4,AMBP1,DE2,ME3,GE2,EF2.第9题解图10. 2【解析】如解图,作点N关于直线BD的对称点G,连接MG并延长交BD于点P,此时PMPN有最大值,最大值为线段GM的长,点N为OA的中点,点G为OC的中点,过点O作OHBC交BC于点H,由正方形的性质可知,OHHCBC4,BM6,CM2,点M为CH的中点,GM为COH的中位线,GMOH2.第10题解图11. (1,12)【解析】如解图,连接PA,则