5.25.2 异面直线所成的角与点、线、 异面直线所成的角与点、线、 面位置关系判断面位置关系判断 高考命题规律高考命题规律1.高考常考考题,属于立体几何“两小”常见的一个考点.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表. 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分两条异面直线所成的角 答案 答案 C解析 解析 以DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,3 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分答案 答案 C解析 解析 方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.4 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分5 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D.6 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分答案 答案 A 解析 解析 (方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为 .7 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移, 补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为 .8 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分4.(2017全国Ⅲ·16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 答案 答案 ②③9 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分10 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分1.(2018百校联盟全国联考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=60°,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,F,F分别为PD,CD的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )答案 答案 B 11 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 如图,取AD的中点O,连接OP,OB,由题意可得PO⊥平面ABCD.12 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分答案 答案 D 13 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 如图,设等边三角形的边长为4.∵等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,∴取BC中点O,则AO⊥BC⊥OD,以O为原点,建立如图空间直角坐标系O-xyz.14 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分3.(2018贵州凯里模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,若其外接球的表面积为16π,则异面直线BD1与CC1所成的角的余弦值为 . 15 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分答案 答案 60°解析 解析 由三角形中位线的性质可知EF∥BC,GF∥AD,则∠EFG或其补角即为所求,所以异面直线AD与BC所成的角的大小为180°-120°=60°.16 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分17 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 如图所示,建立空间直角坐标系A-xyz, 18 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分6.(2018安徽、山西等五省六校联考)如图1,在矩形ABCD中,AB=2, BC=1,E是DC的中点;如图2,将△DAE沿AE折起,使折后平面DAE⊥平面ABCE,则异面直线AE和DB所成角的余弦值为 . 19 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 取AE的中点为O,连接DO,BO,延长EC到F使EC=CF,连接BF,DF,OF,则BF∥AE,所以∠DBF或它的补角为异面直线AE和DB所成角.20 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分21 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分空间位置关系的综合判断1.(2018全国Ⅰ·12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )答案 答案 A 22 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 满足题设的平面α可以是与平面A1BC1平行的平面,如图(1)所示.23 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分2.(2015安徽·5)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答案 答案 D解析 解析 A选项α,β可能相交;B选项m,n可能相交,也可能异面;C选项若α与β相交,则在α内平行于它们交线的直线一定平行于β;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知D选项正确.24 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分3.(2016全国Ⅱ·14)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 答案 答案 ②③④解析 解析 对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有②③④.25 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分1.(2018福建厦门期末)若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若α⊥β,m⊥β,则m∥αB.若m∥α,n⊥m,则n⊥αC.若m∥α,n∥α,m⊂β,n⊂β,则α∥βD.若m∥β,m⊂α,α∩β=n,则m∥n答案 答案 D解析 解析 选项A中,m与α的关系是m∥α或m⊂α,故A不正确;选项B中,n与α的关系是n⊥α或n与α相交但不垂直或n∥α,故B不正确;选项C中,α与β之间的关系是α∥β或相交,故C不正确;选项D中,由线面平行的性质可得正确.故选D.26 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分2.(2018湖北重点高中协作体期中)已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,下列命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β,其中正确的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.③④答案 答案 B解析 解析 l⊥α,α∥β⇒l⊥β,而m⊂β,所以l⊥m,①对;l⊥α,m⊂β,α⊥β时,l,m位置关系不定;l⊥α,l∥m⇒m⊥α,而m⊂β,所以α⊥β,③对;l⊥α,m⊂β,l⊥m时,α,β位置关系不定.故选B.27 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分3.(2018广西南宁期末)设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.则错误的命题个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 答案 B28 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 ①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行时,也可能满足前边的条件;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ,不对,垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α能相交.故答案为B.29 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分4.(2018广东汕头期末)如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥AB,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD.①AC⊥BD;②AD⊥BC;③平面ABC⊥平面ABD;④平面ACD⊥平面ABD.以上结论中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.4答案 答案 C30 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 ∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD, ∴BD⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,∴BD⊥AC,故①正确.∵BD⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC,故③正确.∵AC⊥AB,BD⊥AC,AB∩BD=B,∴AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABD,故④正确.综上①③④正确,故选C.31 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分5.(2018东北三省三校二模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若α⊥β,m⊥α,则m∥βB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若α∩β=m,n∥α,n∥β,则m∥nD.若α⊥β,且α∩β=m,点A∈α,直线AB⊥m,则AB⊥β答案 答案 C解析 解析 若α⊥β,m⊥α,则m∥β或m⊂β,故A错误;若m∥α,n⊂α,则m,n无交点,即平行或异面,故B错误;若α∩β=m,n∥α,n∥β,过n作平面与α,β分别交于直线s,t,则s∥n,t∥n,所以s∥t,再根据线面平行判定定理得s∥β,因为α∩β=m,s⊂α,所以s∥m,即m∥n,故C正确;若α⊥β,且α∩β =m,点A∈α,直线AB⊥m,当B在平面α内时才有AB⊥β,故选C.32 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分6.(2018辽宁抚顺一模)给出下列四个命题:①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行,那么a∥α;②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直;③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直;④若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 答案 C33 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 对于①,根据线面平行的判定定理,如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行,那么a∥α,故正确;对于②,因为垂直同一平面的两直线平行,所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直,故正确;对于③,平面内无数条直线均为平行线时,不能得出直线与这个平面垂直,故不正确;对于④,因为两个相交平面都垂直于第三个平面,所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面,可得这两条直线平行,则其中一条直线平行于另一条直线所在的面,可得这条直线平行这两个相交平面的交线,从而交线垂直于第三个平面,故正确.故选C.34 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分7.(2018广东茂名第一次综合测试)如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:①AF⊥GC;②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4答案 答案 B35 高考真题体验·对方向新题演练提能·刷高分解析 解析 将平面展开图还原成正方体(如图所示).对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确;对于②,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BM∥GC,所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边△BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确;对于③,BD与MN为异面垂直,故③错误;对于④,由题意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误.综上可得①②正确.故选B.36 。