《2019版高考数学 4.3 平面向量的数量积课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学 4.3 平面向量的数量积课件.ppt（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节平面向量的数量积定义定义图示图示范围范围共线与垂直共线与垂直已知两个非零已知两个非零向量向量a和和b, ,作作 = =a， = =b, ,则则_就就是是a与与b的夹角的夹角 设设是是a与与b的的夹角夹角, ,则则的的取值范围是取值范围是_=0=0或或=180180_,_,_ab【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)向量的夹角向量的夹角: :AOBAOB00180180ab=90=90(2)(2)平面向量的数量积平面向量的数量积: :定义定义设两个非零向量设两个非零向量a, ,b的夹角为的夹角为,则数量则数量_叫做叫做a与与b的数量积的数
2、量积, ,记作记作ab投影投影_叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影, ,_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影几何几何意义意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a的方向的方向上的投影上的投影_的乘积的乘积| |a|b|cos|cos| |a|cos|cos| |b|cos|cos| |b|cos|cos(3)(3)数量积的性质数量积的性质: :设设a, ,b都是非零向量都是非零向量, ,e是单位向量是单位向量,为为a与与b( (或或e) )的夹角的夹角. .则则ea= =ae= _.= _.cos=_.cos=_.ab_._.| |a|co
3、s|cos| |a|b| |(4)(4)数量积的运算律数量积的运算律: :交换律交换律: :ab= =ba. .数乘结合律数乘结合律:(:(a)b= _= _.= _= _.分配律分配律: :a(b+ +c)=_.)=_.(ab) )a(b) )ab+ +ac(5)(5)平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示: :设向量设向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),向量向量a与与b的夹角为的夹角为,则则数量积数量积ab=_=_模模 | |a| |_夹角夹角cos cos _向量垂直的向量垂直的充要条件充要条件abab=0=0_x x1 1x
4、 x2 2+y+y1 1y y2 2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=02.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)a与与b为两非零向量为两非零向量, ,则则ab_._.(2)(2)当当a与与b同向时同向时, ,ab=|=|a|b|.|.当当a与与b反向时反向时, ,ab=-|=-|a|b|,|,特别地特别地, ,aa= _= _或者或者| |a|=_,|=_,0a=_.=_.ab=0=0| |a| |2 20 0(3)(3)平面向量数量积运算的常用公式平面向量数量积运算的常用公式(a+ +b)()(a- -b)=)=a2 2- -b2 2. .(a
5、+ +b) )2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2. .(a- -b) )2 2=_.=_.a2 2-2-2ab+ +b2 23.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :基底法基底法; ;坐标法坐标法. .(2)(2)常用思想常用思想: :方程思想方程思想, ,数形结合思想数形结合思想, ,转化与化归思想转化与化归思想. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :乘积结果为数量乘积结果为数量, ,坐标运算是良方坐标运算是良方. . 横纵坐标分别乘横纵坐标分别乘, ,相加求和积充当相加求和积充当. .【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析
6、 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量一个向量在另一个向量方向上的投影为数量, ,且有正有负且有正有负.(.() )(2)(2)若若ab=0,=0,则必有则必有ab.(.() )(3)(3)两个向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个实数, ,向量的加、减、数乘运算的运算结向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量果是向量.(.() )(4)(4)若若ab0,0,则向量则向量a, ,b的夹角为钝角的夹角为钝角.(.() )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .由向量投影的定义可知由向量投影的定义可知, ,当两向量夹角为锐角时结当两向量夹角为锐角时结
7、果为正果为正, ,为钝角时结果为负为钝角时结果为负. .(2)(2)错误错误. .当当a与与b至少有一个为至少有一个为0时得不到时得不到ab. .(3)(3)正确正确. .由数量积与向量线性运算的意义可知由数量积与向量线性运算的意义可知, ,正确正确. .(4)(4)错误错误. .当当ab=-|=-|a|b| |时时, ,a与与b的夹角为的夹角为.答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(必修必修4P1044P104例例1 1改编改编) )已知已知| |a|=2,|=2,|b|=4,|=4,ab=4 ,=4
8、 ,则则a与与b的夹的夹角角=. .【解析】【解析】因为因为ab=|=|a|b|cos,|cos,所以所以cos=cos=又因为又因为0180,0180,故故=30.=30.答案答案: :3030(2)(2)(必修必修4P1054P105例例4 4改编改编) )已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(3,4),=(3,4),若若a+k+kb与与a-k-kb互相垂直互相垂直, ,则实数则实数k=k=. .【解析】【解析】由已知由已知a=(1,2),=(1,2),b=(3,4),=(3,4),若互相垂直若互相垂直, ,则则( (a+k+kb) )( (a-k-kb)=0,)=0,即即a2 2-
9、k-k2 2b2 2=0,=0,即即5-25k5-25k2 2=0,=0,即即k k2 2= ,= ,所以所以k= .k= .答案答案: :3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014新课标全国卷新课标全国卷)设向量设向量a, ,b满足满足| |a+ +b|= ,|= ,|a- -b|= ,|= ,则则ab=(=() )A.1 B.2 C.3 D.5A.1 B.2 C.3 D.5【解题提示】【解题提示】将将| |a+ +b|,|,|a- -b| |两边平方两边平方, ,联立方程求解联立方程求解ab. .【解析】【解析】选选A.A.因为因为| |a+ +
10、b|= ,|= ,|a- -b|= |= , ,所以所以a2 2+ +b2 2+2+2ab=10,=10,a2 2+ +b2 2-2-2ab=6,=6,联立方程解得联立方程解得ab=1,=1,故选故选A.A.(2)(2014(2)(2014四川高考四川高考) )平面向量平面向量a=(1,2),=(1,2),b=(4,2),=(4,2),c=m=ma+ +b(mR),(mR),且且c与与a的夹角等于的夹角等于c与与b的夹角的夹角, ,则则m=m=. .【解题提示】【解题提示】先求出先求出c的坐标的坐标, ,再代入向量夹角公式再代入向量夹角公式, ,解方程即可求出解方程即可求出m m的值的值. .
11、【解析】【解析】由于由于a=(1,2),=(1,2),b=(4,2),=(4,2),所以所以c=m=ma+ +b=(m+4,2m+2),=(m+4,2m+2),又由于又由于c与与a的夹角等于的夹角等于c与与b的夹角的夹角, ,即即coscos=cos=cos,也就是也就是即得即得解得解得m=2.m=2.答案答案: :2 2(3)(2015(3)(2015青岛模拟青岛模拟) )已知已知| |a|=2,|=2,向量向量a与与b的夹角是的夹角是 , ,则则a在在b上上的投影是的投影是. .【解析】【解析】a在在b上的投影是上的投影是| |a|cos =|cos =答案答案: :- -考点考点1 1
12、平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015湛江模拟湛江模拟) )已知等边三角形已知等边三角形ABCABC的边长为的边长为1,1,设设 = =a, =, =b, =, =c, ,则则ab+ +bc+ +ca= =. .(2)(2015(2)(2015大庆模拟大庆模拟) )已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为1,1,点点E E是是ABAB边上的动边上的动点点. .则则 的值为的值为, , 的最大值为的最大值为. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用数量积的定义求解利用数量积的定义求解. .要注意夹角的大小要注意夹角的大小. .
13、(2)(2)结合已知条件建系结合已知条件建系, ,利用坐标求解利用坐标求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)如图如图, ,得得a与与b, ,b与与c, ,c与与a的夹角都是的夹角都是120,120,又又| |a|=|=|b|=|=|c|=1,|=1,所以原式所以原式=11cos120+11=11cos120+11cos120+11cos120cos120+11cos120答案答案: :- -(2)(2)如图所示如图所示, ,以以AB,ADAB,AD所在的直线分别为所在的直线分别为x,yx,y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系, ,设设E(t,0),0t1,E(t,0),0t1,则则D(0
14、,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1),-1),所以所以 =1. =1.又因为又因为 =(1,0), =(1,0),所以所以 =t1. =t1.答案答案: :1 11 1【一题多解】【一题多解】解答本题解答本题, ,你知道还有几种解法你知道还有几种解法? ?方法一方法一: :选取选取 作为基底作为基底, ,设设 0t1, 0t1,则则= =0+1=1.= =0+1=1. =t1. =t1.答案答案: :1 11 1方法二方法二: :利用几何意义可知利用几何意义可知= = =1.= =1.设设则
15、则= =|t|1.= =|t|1.答案答案: :1 11 1【易错警示】【易错警示】解答本例题解答本例题(1)(1)易出现如下错误易出现如下错误在解题过程中在解题过程中, ,只看到只看到ABCABC是等边三角形是等边三角形, ,就误认为就误认为a与与b, ,b与与c, ,a与与c的的夹角均为夹角均为6060从而错解从而错解. .【互动探究】【互动探究】本例本例(2)(2)中中, ,当当E E是是ABAB的中点时的中点时, ,试求试求 上的投影上的投影. .【解析】【解析】方法一方法一: :如图如图, ,过点过点E E作作EFDC,EFDC,垂足为垂足为F,F,由投影的定义知由投影的定义知, ,
16、 上的投影是上的投影是 . .方法二方法二: :如图如图, ,向量向量 的夹角是的夹角是EDC,EDC,所以所以 上的投影是上的投影是| |cosEDC=| |cosEDC=【规律方法】【规律方法】向量数量积的两种计算方法向量数量积的两种计算方法(1)(1)当已知向量的模和夹角当已知向量的模和夹角时时, ,可利用定义法求解可利用定义法求解, ,即即ab= =| |a|b|cos.|cos.(2)(2)当已知向量的坐标时当已知向量的坐标时, ,可利用坐标法求解可利用坐标法求解, ,即若即若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab=x=x1 1x
17、 x2 2+y+y1 1y y2 2. .【变式训练】【变式训练】已知已知a=(1,2),2=(1,2),2a- -b=(3,1),=(3,1),则则ab=(=() )A.2 B.3 C.4 D.5A.2 B.3 C.4 D.5【解析】【解析】选选D.D.由已知得由已知得a(2(2a- -b)=2)=2a2 2- -ab= =2|2|a| |2 2- -ab=25-=25-ab=3+2,=3+2,故故ab=10-5=5.=10-5=5.【加固训练】【加固训练】1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知两个单位向量已知两个单位向量a, ,b的夹的夹角为角为60,60,c=t=ta
18、+(1-t)+(1-t)b, ,若若bc=0,=0,则则t=t=. .【解析】【解析】由由c=t=ta+(1-t)+(1-t)b得得, ,bc=t=tab+(1-t)+(1-t)b2 2=0,=0,整理得整理得t|t|a|b|cos60+(1-t)|cos60+(1-t)|b| |2 2=0,=0,化简得化简得 t+1-t=0, t+1-t=0,所以所以t=2.t=2.答案答案: :2 22.(20132.(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为2,E2,E为为CDCD的中点的中点, ,则则 = =. .【解析】【解析】以以A A为原点为原点,
19、,以以AB,ADAB,AD为为x,yx,y轴建系轴建系, ,则则A(0,0),B(2,0),D(0,2),A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2)E(1,2)故故 =(1,2), =(-2,2). =(1,2), =(-2,2).故故 =1(-2)+22=2. =1(-2)+22=2.答案答案: :2 2考点考点2 2 平面向量的垂直与夹角问题平面向量的垂直与夹角问题【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014山东高考山东高考) )在在ABCABC中中, ,已知已知 =tanA, =tanA,当当A=A= 时时,ABC,ABC的面积为的面积为. .(2)(2)已知向量已知
20、向量 与与 的夹角为的夹角为120,120,且且| |=3,| |=2.| |=3,| |=2.若若 = = + , + ,且且 试求实数试求实数的值的值. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)由向量数量积的定义得出两边之积后再利用面积公由向量数量积的定义得出两边之积后再利用面积公式求面积式求面积. .(2)(2)利用利用 作基底作基底, ,利用已知垂直关系得到的方程求解利用已知垂直关系得到的方程求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由已知及平面向量数量积的定义可得由已知及平面向量数量积的定义可得所以所以所以所以S SABCABC= = 答案答案: :(2)(2)因为因为所以所以 =
21、0, =0,即即= =故故(-1)32(- )+4-9=0,(-1)32(- )+4-9=0,解得解得= .= .【规律方法】【规律方法】平面向量数量积的两个应用平面向量数量积的两个应用(1)(1)求夹角大小求夹角大小: :若若a, ,b为非零向量为非零向量, ,则由平面向量的数量积公式得则由平面向量的数量积公式得cos= (cos= (夹角公式夹角公式),),所以平面向量的数量积可以用来解决有关所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题角度的问题. .(2)(2)确定夹角的范围确定夹角的范围: :数量积大于数量积大于0 0说明不共线的两向量的夹角为锐角说明不共线的两向量的夹角为锐角, ,
22、数量积等于数量积等于0 0说明不共线的两向量的夹角为直角说明不共线的两向量的夹角为直角, ,数量积小于数量积小于0 0且两向且两向量不共线时两向量的夹角为钝角量不共线时两向量的夹角为钝角. .【变式训练】【变式训练】若若| |a|=2,|=2,|b|=4|=4且且( (a+ +b)a, ,则则a与与b的夹角是的夹角是( () )【解析】【解析】选选A.A.根据题意根据题意, ,由于由于| |a|=2,|=2,|b|=4|=4且且( (a+ +b)a, ,则有则有( (a+ +b)a=0=0a2 2+ +ba=0=04+4+ba=0,=0,所以所以ba=-4,=-4,那么可知那么可知a与与b的夹
23、角的余的夹角的余弦值为弦值为 则则a与与b的夹角是的夹角是 . .【加固训练】【加固训练】1.(20131.(2013安徽高考安徽高考) )若非零向量若非零向量a, ,b满足满足| |a|=3|=3|b|=|=| |a+2+2b|,|,则则a与与b夹角的余弦值为夹角的余弦值为. .【解析】【解析】由由| |a|=|=|a+2+2b|,|,设设a与与b的夹角为的夹角为,等式两边平方得等式两边平方得a2 2+4+4ab+4+4b2 2= =a2 2ab=-=-b2 2, ,所以所以cos=cos=答案答案: :- -2.2.设向量设向量a=(x-1,1),=(x-1,1),b=(-x+1,3),=
24、(-x+1,3),若若a(a- -b),),则则x=x=. .【解析】【解析】由题知由题知a- -b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),又因为又因为a(a- -b),),所以所以a(a- -b)=0,)=0,所以所以(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,即即x x2 2-2x=0,-2x=0,所以所以x=0x=0或或x=2.x=2.答案答案: :0 0或或2 2考点考点3 3 平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用知知考情考情 利用平面向量数量积求模及范围、求参数的范围或值利用平面向量数
25、量积求模及范围、求参数的范围或值, ,是高考考是高考考查数量积的一个重要考向查数量积的一个重要考向, ,常与三角、平面几何、解析几何等知识相常与三角、平面几何、解析几何等知识相联系联系. .以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主, ,是中低档题是中低档题. . 明明角度角度命题角度命题角度1:1:根据向量数量积求模或模的范围根据向量数量积求模或模的范围【典例【典例3 3】(2014(2014湖南高考湖南高考) )在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,O,O为原点为原点,A(-1,0),A(-1,0),B(0, ),C(3,0),B(0, ),C(3,0),动点动点D D满足满足| |=1,|
26、 |=1,则则| + + | + + |的最大值的最大值是是. .【解题提示】【解题提示】把把 拆分为拆分为 + , + ,再利用再利用| |a+ +b|a|+|+|b| |求解求解. .【解析】【解析】答案答案: :命题角度命题角度2:2:利用平面向量数量积求参数的值利用平面向量数量积求参数的值【典例【典例4 4】(2014(2014天津高考天津高考) )已知菱形已知菱形ABCDABCD的边长为的边长为2,BAD=120,2,BAD=120,点点E,FE,F分别在边分别在边BC,DCBC,DC上上,BE=BC,DF=DC.,BE=BC,DF=DC.若若 则则+=(+=() )【规范解答】【规
27、范解答】选选C.C.方法一方法一: :因为因为BAD=120,BAD=120,所以所以因为因为BE=BC,DF=DC,BE=BC,DF=DC,所以所以因为因为 =1, =1,所以所以 =1, =1,即即2+2-= 2+2-= 同理可得同理可得-=-=- ,+ ,+得得+= .+= .方法二方法二: :建系如图建系如图: :易知易知A(0,-1),B(- ,0),C(0,1),A(0,-1),B(- ,0),C(0,1),D( ,0),D( ,0),由由 得得E( - ,).E( - ,). 得得F( - ,).F( - ,).故故 =(-1) ,+1), =(-1) ,+1), =(1-) ,
28、+1), =(1-) ,+1), =(-1) ,-1), =(-1) ,-1), =(1-) ,-1), =(1-) ,-1),所以所以 =3(-+-1)+1=1, =3(-+-1)+1=1,即即-2+4+4=3.-2+4+4=3.所以所以2(+)-= .2(+)-= . =3(-u-1+)+-+1 =3(-u-1+)+-+1=2(+)-2-2=- ,=2(+)-2-2=- ,即即+-u= .+-u= . -得得+=+=悟悟技法技法根据数量积求模或参数的值根据数量积求模或参数的值( (范围范围) )的一般思路的一般思路(1)(1)利用数量积求模利用数量积求模: :通常利用已知找准基底或坐标通常
29、利用已知找准基底或坐标, ,利用基底或坐标利用基底或坐标运算运算, ,有时需用化归思想有时需用化归思想, ,转化为其他问题求解转化为其他问题求解. .(2)(2)利用数量积求参数的值利用数量积求参数的值( (范围范围):):通常有两种运算法通常有两种运算法, ,一是基底法一是基底法, ,二二是坐标法是坐标法, ,找准解题目标找准解题目标, ,利用已知条件列出方程或方程组求解即可利用已知条件列出方程或方程组求解即可. . 通通一类一类1.(20151.(2015昆明模拟昆明模拟) )已知已知ABCABC为等边三角形为等边三角形,AB=2,AB=2,设点设点P,QP,Q满足满足 R, R,若若 则
30、则=(=() )【解析】【解析】选选A.A.由题意得由题意得又因为又因为 且且| |=| |=2,| |=| |=2, =60, =60, =2, =2,所以所以即即所以所以4+2(4+2(2 2-1)+4(1-)= ,-1)+4(1-)= ,解得解得= .= .2.(20132.(2013湖南高考湖南高考) )已知已知a, ,b是单位向量是单位向量, ,ab=0.=0.若向量若向量c满足满足| |c- -a- -b|=1,|=1,则则| |c| |的最大值为的最大值为( () )【解析】【解析】方法一方法一: :选选C.C.条件条件| |c- -a- -b|=1|=1可以理解成如图的情况可以
31、理解成如图的情况而而| |a+ +b|= ,|= ,向量向量c的终点在单位圆上的终点在单位圆上, ,故故| |c| |的最大值为的最大值为 +1. +1.方法二方法二: :选选C.C.由题意由题意, ,得得| |a|=|=|b|=1,|=1,ab=0,=0,所以所以| |a+ +b|= ,|= ,因为因为| |c- -a- -b|=1,|=1,所以所以| |c- -a- -b| |2 2= =c2 2-2-2c(a+ +b)+()+(a+ +b) )2 2=1.=1.设设c与与a+ +b的夹角为的夹角为,则则| |c| |2 2-2|-2|c| cos+2=1,| cos+2=1,即即| |c
32、| |2 2+1=2 |+1=2 |c|cos2 |cos2 |c|,|,|c| |2 2-2 |-2 |c|+10,|+10,解得解得 -1| -1|c| +1.| +1.故故| |c| |的最大值为的最大值为 +1. +1.3.(20133.(2013浙江高考浙江高考) )设设e1 1, ,e2 2为单位向量为单位向量, ,非零向量非零向量b=x=xe1 1+y+ye2 2,x,yR.,x,yR.若若e1 1, ,e2 2的夹角为的夹角为 , ,则则 的最大值等于的最大值等于. .【解析】【解析】当当x=0x=0时时, =0;, =0;当当x0x0时时, ,令令 =t, =t,则则 4,
33、4,所以所以 的最大值为的最大值为2.2.答案答案: :2 2创新体验创新体验4 4 平面向量数量积中的创新问题平面向量数量积中的创新问题【创新点拨】【创新点拨】1.1.以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点, ,此类问题此类问题通常以数量积运算为核心通常以数量积运算为核心, ,通过数形结合通过数形结合, ,转化化归等途径转化化归等途径, ,解决与几解决与几何有关的问题何有关的问题, ,或以向量自身为背景或以向量自身为背景, ,解决有关模、夹角等问题解决有关模、夹角等问题. .2.2.命题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算
34、等命题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算等. .【新题快递】【新题快递】1.(20141.(2014安徽高考安徽高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,已知向量已知向量a, ,b,|,|a|=|=|b| |=1,=1,ab=0,=0,点点Q Q满足满足 = ( = (a+ +b).).曲线曲线C=P| =C=P| =acos+cos+bsin,sin,02,02,区域区域=P|0r| |R,rR.=P|0r| |R,rR.若若CC为两段分离为两段分离的曲线的曲线, ,则则( () )A.1rR3 B.1r3RA.1rR3 B.1r3RC.r1R3 D.1r
35、3RC.r1R3 D.1r3R【解题提示】【解题提示】设向量设向量a=(1,0),=(1,0),b=(0,1),=(0,1),利用数形结合判断利用数形结合判断. .【解析】【解析】选选A.A.设设a=(1,0),=(1,0),b=(0,1),=(0,1),则则画出图象如图所示画出图象如图所示, ,因为因为C C为单位圆为单位圆, ,区域区域为圆环为圆环,|OQ|=2,|OQ|=2,所以所以1rR3.1rR0,|0,a与与b的夹角的夹角(0, ),(0, ),且且 都都在集合在集合 |nZ |nZ中中, ,则则 =( =() )【解析】【解析】选选C.C.根据题中的向量的新运算及向量的数量积根据
36、题中的向量的新运算及向量的数量积, ,可知可知因为因为(0, ),(0, ),所以所以 cos1. cos0,|0,所以所以0 1,0 1,所以所以0 cos1,0 cos1,即即 (0,1). (0,1).又又 所以所以 = , = ,由由得得, =cos, =cos2 2( ,1),( ,1),所以所以 ( )1, ( )1,所以所以1 2,1 2,所以所以 = . = .3.(20153.(2015潍坊模拟潍坊模拟) )定义平面向量之间的一种运算定义平面向量之间的一种运算“”“”如下如下: :对任对任意的意的a=(m,n),=(m,n),b=(p,q),=(p,q),令令ab=mq-np
37、,=mq-np,下面说法错误的是下面说法错误的是( () )A.A.若若a与与b共线共线, ,则则ab=0=0B.B.ab= =baC.C.对任意的对任意的R,R,有有(a)b=(=(ab) )D.(D.(ab) )2 2+(+(ab) )2 2= =a2 2b2 2【解析】【解析】选选B.B.对于对于A,A,由由a与与b共线共线, ,得得mq-np=0,mq-np=0,即即ab=0,=0,故故A A正确正确; ;对于对于B,B,由新定义知由新定义知, ,ab=mq-np,=mq-np,而而ba=np-mq,=np-mq,所以所以abba, ,故故B B错误错误; ;对于对于C,(C,(a)b
38、=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)=(=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)=(ab),),故故C C正确正确; ;对于对于D,(D,(ab) )2 2+(+(ab) )2 2=(mq-np)=(mq-np)2 2+(mp+nq)+(mp+nq)2 2=m=m2 2q q2 2+n+n2 2p p2 2+m+m2 2p p2 2+n+n2 2q q2 2= =(m(m2 2+n+n2 2)(p)(p2 2+q+q2 2)=|)=|a| |2 2| |b| |2 2, ,故故D D正确正确. .【备考指导】【备考指导】1.1.准确转化准确转化: :解决数量积中创新问题时解决数量积中创新问题时, ,一定要读懂题目的本质含义一定要读懂题目的本质含义. .紧扣题目所给条件紧扣题目所给条件, ,结合题目要求恰当转化结合题目要求恰当转化, ,切忌同已有的概念或定义切忌同已有的概念或定义混淆混淆. .2.2.方法选取方法选取: :对于创新问题对于创新问题, ,要恰当选取解题方法要恰当选取解题方法, ,如数形结合如数形结合, ,等价转等价转化化, ,特殊值特殊值, ,逐一排除等方法逐一排除等方法, ,并结合数量积性质求解并结合数量积性质求解. .
