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1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 1 人口预测和控制人口预测和控制2 交通流模型交通流模型3 传染病模型（续）传染病模型（续）11 人口预测和控制人口预测和控制指数增长模型指数增长模型马尔萨斯马尔萨斯阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )tx0xmx02 年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口发展方程3人口发展方程人口发展方程死亡人数内),(dttt+一阶偏微分方程一阶偏微分方程4已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）人口发展
2、方程人口发展方程0tr一阶偏微分方程的一阶偏微分方程的半无界问题半无界问题-相容性条件相容性条件5人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr6生育率的分解生育率的分解 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式0人口发展方程人口发展方程7人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大人口发展方程人口发展方程8人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平
3、均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高人口发展方程人口发展方程92 交通流模型交通流模型考察高速公路上行驶的车辆的流动问题。考察高速公路上行驶的车辆的流动问题。X轴轴-公路公路X轴正向轴正向-公路上车辆前进的方向公路上车辆前进的方向车辆分布的车辆分布的密度函数密度函数车辆通过车辆通过x处的处的流通速率流通速率车辆通过车辆通过x处的处的流通速率流通速率10交通流模型交通流模型车辆数守恒车辆数守恒流通速率与车辆的密度有关！流通速率与
4、车辆的密度有关！密度较小时，随密度的增加，流通率增加；密度较小时，随密度的增加，流通率增加；密度较大时，随密度的增加，流通率减小；密度较大时，随密度的增加，流通率减小；密度大到一定程度时，出现交通阻塞！密度大到一定程度时，出现交通阻塞！阻滞增长？阻滞增长？11交通流模型交通流模型Greenshield模型模型初始值初始值12交通流模型交通流模型特征方程组特征方程组特征线特征线沿特征线，沿特征线，v(x,t) 为常数为常数13交通流模型交通流模型 t稀疏波稀疏波 t压缩波压缩波一定时间后，特征线相交一定时间后，特征线相交交点处，交点处，v取不同值？取不同值？出现间断解！出现间断解！-激波激波14
5、传染病模型（续）传染病模型（续）人群分为：未患病者（人群分为：未患病者（S）、患者（）、患者（I）、）、 病愈具免疫力者（病愈具免疫力者（R）时刻时刻t、年龄为、年龄为x 的三类人的的三类人的分布密度函数分别为：分布密度函数分别为：1。自然死亡率与年龄有关为：。自然死亡率与年龄有关为：模模型型假假设设2。患者在患病期间传染性相同；死亡率。患者在患病期间传染性相同；死亡率c(x);3。人的最大寿命为。人的最大寿命为A；4。出生率只与年龄有关。出生率只与年龄有关,与时间无关，为与时间无关，为b(x);5。健康者患病率。健康者患病率 ，患病者治愈率为，患病者治愈率为 ；15传染病模型（续）传染病模型
6、（续）模型建立模型建立第第I类人类人第第II类人类人第第III类人类人16传染病模型（续）传染病模型（续）模型建立模型建立初始条件初始条件边界条件边界条件假定新生儿是健康的、无免疫力假定新生儿是健康的、无免疫力17传染病模型（续）传染病模型（续）一阶偏微分方程组一阶偏微分方程组李大潜（李大潜（1986）、姚勇（）、姚勇（1991）等）等18练习：练习：讨论如下的追赶问题：不同身高的人沿一直线同讨论如下的追赶问题：不同身高的人沿一直线同向前进；向前进；h(t,x) 表示时刻表示时刻t、坐标、坐标x处的人的身高；处的人的身高；并假定他们前进的速度与身高有关。试建立微分并假定他们前进的速度与身高有关。试建立微分方程描述该变化过程，并试讨论如下初始情况下方程描述该变化过程，并试讨论如下初始情况下可能发生的现象。可能发生的现象。（1）队列由高往矮排列；）队列由高往矮排列；（2）队列由矮往高排列；）队列由矮往高排列；（3）高个在中间，由高至低往两头排列。）高个在中间，由高至低往两头排列。19
