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1、asdf Sun Jining 2008 BUAA11 有限体积法p从万有引力定律开始1 有限体积法p从万有引力定律开始1 有限体积法p从万有引力定律开始asdf Sun Jining 2008 BUAA4该式描述了两个可以看作质点的物体之间的万有引力。如果质点的前提不存在，即物体自身尺寸和物体之间的距离相当，如何计算它们之间的万有引力呢？1 有限体积法p从万有引力定律开始切土豆土豆块（质点）A土豆质点与B土豆质点间的力A土豆及B土豆受力分布A土豆受到的合力（即A、B土豆间的万有引力）数值计算的基本思想：复杂的研究对象若干个子对象将基本物理定律应用到子对象获得物理现象细节总的参数有限体积法有限
2、体积法(FVM)Finite Volume Method计算传热学1 有限体积法p能量守恒方程p有限体积方法的基本思想p小结与讨论1 有限体积法p能量守恒方程TLxzyIUTR，c，1 有限体积法p能量守恒方程xzy，c，TLIUTR，c，1 有限体积法p能量守恒方程xzy，c，IU1 有限体积法p能量守恒方程z，c，IUxzy内能增加的原因：1.各个表面传热2.内部热源在一定时间内，立方体内的内能增加量(UP)各表面传热量(QT)热源产生的热量(ST)xy1 有限体积法p能量守恒方程xyz，c，IUxzy内能增加量(UP)U UP Pt1t1=(cT)Pt1 ，t1时刻，立方体内的立方体内的
3、体平均体平均内内能密度能密度U UP Pt2t2=(cT)Pt2 ，t2时刻，立方体内的立方体内的体平均体平均内内能密度能密度UP =UPt2xyz-UPt1xyz =(UPt2-UPt1)xyz =(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz1 有限体积法p能量守恒方程xyz，c，IUxzy各表面传热量(QT)傅立叶定律：q=-(T/n)q qw w=(-(T/x)w，从t1时刻到t2时刻时间段内，在yz左侧面(西面w)流向立方体内部的面时平均热流密度q qe e=(T/x)e，从t1时刻到t2时刻时间段内，在yz右侧面(东面e)流向立方体内部的面时平均热流密度假设其余4面绝热QT=qwyzt+q
4、eyzt =(qw+qe)yzt =(-(T/x)w+(T/x)e)yzt =(T/x)e-(T/x)w)yzt 1 有限体积法p能量守恒方程xyz，c，IUxzy热源产生的热量(ST)SP，从t1时刻到t2时刻时间段内，立方体空间内发热电阻的体时平均发热功率ST=SPxyzt 1 有限体积法p能量守恒方程xyz，c，IUxzy在一定时间内，立方体内的内能增加量(UP)各表面传热量(QT)热源产生的热量(ST)即UP=QT+STUP=(cT)Pt2-(cT)Pt1xyzQT=(T/x)e-(T/x)w)yztST= SP xyzt 即(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/
5、x)w)yzt+ SPxyzt 1 有限体积法p能量守恒方程xyz，c，IUxzy(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz =(T/x)e-(T/x)w)yzt + SP xyzt非稳态项扩散项源项1 有限体积法p能量守恒方程p有限体积方法的基本思想p小结与讨论将整个求解域划分为n个立方体区域1 有限体积法p有限体积方法的基本思想xzyt2时刻t1时刻将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想xzyt2时刻t1时刻体平均量 每时间步n个未知
6、数面时平均量 体时平均量 asdf Sun Jining 2008 BUAA19将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 xzyt2时刻t1时刻将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未
7、知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数xzyt2时刻t1时刻将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数每时间步未知数总数：n+(n-1)+n=3n-1独立方程总数：nxzyt2时刻t1时刻将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T
8、/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数xzy每时间步未知数总数：n+(n-1)+n=3n-1独立方程总数：nt2时刻t1时刻现在到了决定有限体积法成败关键时刻！该如何解决未知数个数大于独立方程总数的难题？将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量
9、每时间步n个未知数xzy每时间步未知数总数：n+(n-1)+n=3n-1独立方程总数：n以几何中心点的值为核心量：每时间步立方体几何中心点的温度值Tp，密度p，导热系数p，源项SPn个未知数n个体平均量、n-1个面时平均量、n个体时平均量均通过中心点的量Tp，p，p，SP插值获得t2时刻t1时刻asdf Sun Jining 2008 BUAA24将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n
10、-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数xzy每时间步未知数总数：n+(n-1)+n=3n-1独立方程总数：n以几何中心点的值为核心量：每时间步立方体几何中心点的温度值Tp，密度p，导热系数p，源项SPn个未知数n个体平均量、n-1个面时平均量、n个体时平均量均通过中心点的量Tp，p，p，SP插值获得t2时刻t1时刻这种插值处理方法解决了独立方程数目不够的问题！asdf Sun Jining 2008 BUAA25将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有
11、限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数xzyt2时刻t1时刻体平均量假设、c、T在空间上阶梯型分布，立方体内的各处值相等，则密度、比热、温度的体平均量等于中心点密度、比热、温度UP=(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz PcP(TPt2-TPt1)xyzPEWxPewTxPEWewasdf Sun Jining 2008 BUAA26将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方
12、法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数xzyt2时刻t1时刻面时平均量假设在空间上分段线性分布，在时间上阶梯分布，则温度梯度的面时平均量等于上一时间步两侧中心点的温度差分QT=(T/x)e-(T/x)w)yzt(T/x)et1-(T/x)wt1)yzt(e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw) yztxePEWxwewTxPEWewxPTtt2t1t3asdf Sun Jining 2008 BUAA27将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt
13、1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数xzyt2时刻t1时刻体时平均量在空间上一般为已知函数，假设在时间上阶梯分布，则发热功率的体时平均量等于上一时间步的发热功率体平均量ST=SPxyzt SPt1xyztPEWxexwewxPasdf Sun Jining 2008 BUAA28将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1
14、有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数每个立方体的有限体积方程：UPPcP(TPt2-TPt1)xyzQT(e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yztSTSPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)xyz (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yzt+ SPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)/t (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)x+ SPt1asdf Sun Jining 2008 BUAA29将整个求解域划分为
15、n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数每个立方体的有限体积方程：UPPcP(TPt2-TPt1)xyzQT(e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yztSTSPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)xyz (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yzt+ SPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)/t (e
16、(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)x+ SPt1这种插值处理方法虽然解决了独立方程数目不够的问题，但同时也带来了数值误差！asdf Sun Jining 2008 BUAA30将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限体积法p有限体积方法的基本思想体平均量 每时间步n个未知数面时平均量 每时间步n-1个未知数体时平均量 每时间步n个未知数每个立方体的有限体积方程：UPPcP(TPt2-TPt1)xyzQT(e(TEt1-TPt1)/xe-w
17、(TPt1-TWt1)/xw)yztSTSPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)xyz (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yzt+ SPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)/t (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)x+ SPt1这种插值处理方法虽然解决了独立方程数目不够的问题，但同时也带来了数值误差！当t、x趋于无限小时，1）能量守恒方程将从宏观形式变成微分形式1）TP插值获得的各个平均量近似值将趋于各个平均量真实值2）插值误差将趋于03）有限体积方程将等价于能量守恒方程4）有限体积方程的解将等价于能量守恒方程的解asdf
18、Sun Jining 2008 BUAA311 有限体积法p有限差分法asdf Sun Jining 2008 BUAA321 有限体积法p能量守恒方程xyz，c，IUxzy在一定时间内，立方体内的内能增加量(UP)各表面传热量(QT)热源产生的热量(ST)即UP=QT+STUP=(cT)Pt2-(cT)Pt1xyzQT=(T/x)e-(T/x)w)yztST= SP xyzt 即(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+ SPxyzt (cT)Pt2-(cT)Pt1 )/t=(T/x)e-(T/x)w)/x + SP (cT)/t=(T/x)/x + S有限
19、差分法的理论方程有限体积法的理论方程asdf Sun Jining 2008 BUAA331 有限体积法p能量守恒方程xyz，c，IUxzy(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz =(T/x)e-(T/x)w)yzt + SP xyzt非稳态项扩散项源项(cT)/t=(T/x)/x + S非稳态项扩散项源项asdf Sun Jining 2008 BUAA341 有限体积法p有限差分法(cT)/t = (T/x)/x + S对某点(i，n)用网格点的差分代替微分(cT)/t = ici(Tin+1-Tin)/t(T/x)/x = (i+1(T/x)i+1- i(T/x)i )/xT/x = (
20、Ti+1- Ti)/x(T/x)/x = (i+1(Ti+2- Ti+1)/x- i(Ti+1- Ti)/x)/xici(Tin+1-Tin)/t = (i+1(Ti+2- Ti+1)/x- i(Ti+1- Ti)/x)/x + Sinxii+1i-1.DxDxN+1N10tnn+1asdf Sun Jining 2008 BUAA351 有限体积法p有限差分法与有限体积法对比p有限差分法在微分方程基础上，直接使用节点值形成差分，数学处理简单，但物理意义不明确p有限差分法缺乏守恒概念，无法保证全局守恒asdf Sun Jining 2008 BUAA361 有限体积法p能量守恒方程p有限体积方
21、法的基本思想p小结与讨论asdf Sun Jining 2008 BUAA371 有限体积法p小结与讨论p相对于理论预测方法中的将求解空间区域划分为无穷多个无限小体积微分单元体的微分形式能量方程，数值仿真方法求解的方程是将求解区域划分为有限多个有限小体积单元体的宏观形式能量方程p因此，“有限体积”指的是“有限小单元体”p同时我们还要注意到一点，微分能量方程将求解时间段划分为无穷多个无限小时间段，宏观能量方程将求解时间段划分为有限数量有限小时间段p因此，“有限体积”的广义理解是“有限小单元体有限小时间段”，或是四维时空坐标系的“有限小单元体”asdf Sun Jining 2008 BUAA38
22、1 有限体积法p小结与讨论p“有限小体积”的宏观能量方程中存在多于方程个数的未知平均量，所以需要选定等于方程个数的求解变量TP，其余未知平均量均用TP插值获得，从而获得可用于数值求解的有限体积方程p在有限小体积趋于无限小，有限小时间段趋于无限小时，有限体积方程将趋于宏观能量方程，同时宏观能量方程将趋于微分能量方程p因此我们说，有限体积法可以求解微分方程asdf Sun Jining 2008 BUAA391 有限体积法p小结与讨论p有限体积法的特点1：通过守恒关系建立得出离散方程，不依赖于微分得到方程组；p有限体积法的特点2：物理概念清晰，强调控制体内物理量的守恒 asdf Sun Jinin
23、g 2008 BUAA401 有限体积法p小结与讨论p将微分方程描述的连续时间和空间划分为一个个有限小体积和有限小时间段，是获得有限体积方程的前提，这个过程的术语叫做“离散”，相应的有限小体积称为“网格”，相应的有限小时间段称为“时间步长”asdf Sun Jining 2008 BUAA411 有限体积法p小结与讨论p“离散误差”是指用TP等几何中心量插值获得其余未知平均量时产生的误差p用更合适的插值公式可以减小“离散误差”。插值公式的术语是“差分格式”。p一般认为比较精确的数值解是采用高精度差分格式时获得的“网格无关解”asdf Sun Jining 2008 BUAA42什么是计算p小结与讨论功能要求物理解物理方程理论解代数方程数值解几何结构简化结构空间离散网格试验环境定解条件解析求解开始试验迭代求解几何简化物理简化环境简化近似近似时间离散理论误差离散误差迭代误差数值误差舍入误差
