《概率论与数理统计课件：第15讲 总体与样本》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课件：第15讲 总体与样本（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 前五章讲述了概率论的最基本的内容前五章讲述了概率论的最基本的内容,概括起来概括起来主要是随机变量的概率分布主要是随机变量的概率分布。那里通。那里通常我们假定概率分布是已知的。但是，在实际常我们假定概率分布是已知的。但是，在实际中，随机变量的分布往往是未知的，或者有未中，随机变量的分布往往是未知的，或者有未知的成分。解决的办法：知的成分。解决的办法：对随机变量进行多次对随机变量进行多次观察。观察。 例如：某地区一个月内交通事故的发生例如：某地区一个月内交通事故的发生次数服从泊松分布次数服从泊松分布 ，希望了解月平均事故，希望了解月平均事故次数次数 ，以便采取应对策略。，以便采取应对策略。数理统
2、计引言数理统计引言 从理论上讲，只要对随机现象进行足够多从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。地呈现出来。 但是，客观上只允许我们对随机现象进行但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得的只能是局部的或有限的观察资料。的只能是局部的或有限的观察资料。 统计学的任务就是研究怎样统计学的任务就是研究怎样有效地收集有效地收集、整理整理和和分析分析所获得的有限资料，并对所研究的所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可能地给出精确而可靠的问题尽
3、可能地给出精确而可靠的推断推断。 现实世界中存在着形形色色的随机数据，现实世界中存在着形形色色的随机数据，分析这些数据需要多种多样的方法。分析这些数据需要多种多样的方法。因此，数因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。我们主要介绍如下两大类相当丰富的。我们主要介绍如下两大类: : 参数估计参数估计: : 根据数据，对分布中的未知参数根据数据，对分布中的未知参数 进行估计；进行估计； 假设检验假设检验: : 根据数据，对分布的未知参数的根据数据，对分布的未知参数的 某种假设进行检验。某种假设进行检验。 参数估计与假设检验参数估计与假设检
4、验构成了统计推断的两构成了统计推断的两种基本形式种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。每个分支。6.1 总体与样本总体与样本 在数理统计中，称研究问题所涉及对象的在数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为全体为总体总体，总体中的每个成员为，总体中的每个成员为个体个体。 例如例如: : 研究某工厂生产的某种产品的废品研究某工厂生产的某种产品的废品率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品都是一个个体。都是一个个体。6.1.1 6.1.1 总体、个体与样本总体、个体与样本 实际上，我们真正关心的并不一定是总体实际上，我
5、们真正关心的并不一定是总体或个体本身，而或个体本身，而真正关心的真正关心的是是总体或个体的总体或个体的某某项项数量指标。数量指标。 如：某电子产品的使用寿命，某天的最高如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也将总体理解为那些因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某研究对象的某项数量指标的全体项数量指标的全体。 为评价某种产品质量的好坏，通常的做法为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是：从全部产品中随机是：从全部产品中随机( (任意任意) )地抽取一些样品地抽取一些样品进行观测进行观测( (检测检测) )，统
6、计学上称这些样品为，统计学上称这些样品为一个一个样本。 同样，我们也将样本的数量指标称为样本。同样，我们也将样本的数量指标称为样本。因此，今后当我们说到总体及样本时，既指研因此，今后当我们说到总体及样本时，既指研究对象又指它们的某项数量指标。究对象又指它们的某项数量指标。例例1 1：研究某地区研究某地区 N 个农户的年收人。个农户的年收人。 在这里，总体既指这在这里，总体既指这 N 个农户，又指我们个农户，又指我们所关心的所关心的 N个农户的个农户的数量指标数量指标他们的年收他们的年收入入( ( N 个数字个数字) )。 如果从这如果从这 N 个农户中随机地抽出个农户中随机地抽出 n 个农户个
7、农户作为调查对象，那么，这作为调查对象，那么，这 n 个农户以及他们的个农户以及他们的数量指标数量指标年收入年收入( ( n个数字个数字) )就是样本。就是样本。 注意：注意：上例中的总体是直观的，看得见、上例中的总体是直观的，看得见、摸得着的。但是，摸得着的。但是，客观情况并非总是这样。客观情况并非总是这样。例例2 2：用一把尺子测量一件物体的长度。用一把尺子测量一件物体的长度。 假定假定 n 次测量值分别为次测量值分别为X1, ,X2 , , ,Xn。显然，。显然，在该问题中，我们把测量值在该问题中，我们把测量值X1, ,X2 , , ,Xn看成看成样本。但总体是什么呢样本。但总体是什么呢
8、? ? 事实上，这里没有一个现实存在的个体的事实上，这里没有一个现实存在的个体的集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可以这样考虑，既然以这样考虑，既然 n 个测量值个测量值 X1, ,X2, , ,Xn 是是样本，那么，总体就应该理解为样本，那么，总体就应该理解为一切所有可能一切所有可能的测量值的全体。的测量值的全体。又如又如：为研究某种安眠药的药效，让：为研究某种安眠药的药效，让 n 个病人个病人同时服用这种药，记录服药者各自服药后的睡同时服用这种药，记录服药者各自服药后的睡眠时间比未服药时增加睡眠的小时数眠时间比未服药时增加睡眠的小时数 X1, ,
9、X2, , ,Xn，则这些数字就是样本。则这些数字就是样本。 那么，什么是总体呢那么，什么是总体呢? ? 设想让某个地区设想让某个地区( (或某国家，甚至全世界或某国家，甚至全世界) )所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。 对一个总体，如果用对一个总体，如果用X表示其数量指标，表示其数量指标，那么，那么，X的值对不同的个体就取不同的值。因的值对不同的个体就取不同的值。因此，如果我们随机地抽取个体，则此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就的值也就随着抽取个体的不同而不同。
10、随着抽取个体的不同而不同。 所以，所以，X是一个随机变量是一个随机变量! ! 既然总体是随机变量既然总体是随机变量X，自然就有其概率，自然就有其概率分布。我们把分布。我们把X的分布称为的分布称为总体分布。总体分布。 总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常把总体和总体分布视为同义语。常把总体和总体分布视为同义语。. .6.1.2 6.1.2 总体分布总体分布例例 3 (例例 l 续续)：在在例例 l l中，若农户年收入以万中，若农户年收入以万元计，假定元计，假定 N户的收入户的收入X只取以下各值只取以下各值: : 0.5, 0.8, l.0, 1.2和和1
11、.5。取上述值的户数分别。取上述值的户数分别n1, n2, n3, n4和和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。则。则X为离散型为离散型分布，分布律为分布，分布律为: :例例4 ( 例例2续续 )：在例在例2中，假定物体真实长度为中，假定物体真实长度为 ( (未知未知) )。一般说来，测量值。一般说来，测量值X就是总体，取就是总体，取 附近值的概率要大一些，而离附近值的概率要大一些，而离 越远的值被取越远的值被取到的概率就越小。到的概率就越小。 如果测量过程没有如果测量过程没有系统性误差系统性误差，则，则X取大取大于于 和小于和小于 的概率也会相等。的概率也会相等。 在这种情况下，人们
12、往往认为在这种情况下，人们往往认为X 服从均值服从均值为为 ，方差为，方差为 2 的正态分布。的正态分布。 2 2反映了测量的反映了测量的精度。于是，总体精度。于是，总体X的分布为的分布为 N( ( , , 2 2) )。 说明：说明：这里有一个问题，即物体长度的测这里有一个问题，即物体长度的测量值总是在其真值量值总是在其真值 的附近，它不可能取负值。的附近，它不可能取负值。 而正态分布取值在而正态分布取值在(-(-, ,) )上。那么，怎上。那么，怎么可以认为测量值么可以认为测量值X X服从正态分布呢服从正态分布呢? ? 回答这个问题，有如下两方面的理由。回答这个问题，有如下两方面的理由。(
13、1).(1).在前面讲过，对于在前面讲过，对于X N( , , 2)， PP -3-3 X0，当样本大小当样本大小 n 增大时，上面的概率也随之增增大时，上面的概率也随之增大；大；n 趋于无穷时，上式趋近于趋于无穷时，上式趋近于 1。任给任给c 0，总有，总有例例1：用用机机器器向向瓶瓶子子里里灌灌装装液液体体洗洗涤涤剂剂，规规定定每每瓶瓶装装 毫毫升升。但但实实际际灌灌装装量量总总有有一一定定波波动动。假假定定灌灌装装量量的的方方差差 2 2=1=1，如如果果每每箱箱装装这这样样的的洗洗涤涤剂剂 25 瓶瓶。求求这这 25 瓶瓶洗洗净净剂剂的的平平均均灌灌装装量量与与标标定定值值 相相差差不
14、不超超过过0.3毫毫升升的的概概率率；又又如如果果每箱装每箱装5050瓶时呢瓶时呢? ?解：解：记一箱中记一箱中 25 瓶洗净剂灌装量为瓶洗净剂灌装量为 X1, ,X2, , , X25 是来自均值为是来自均值为 , 方差为方差为1的总体的随机样的总体的随机样本。根据抽样分布定理本。根据抽样分布定理1，近似地有，近似地有 当当 n=50=50时，时，同样可算出：同样可算出：小结小结 本讲首先介绍了样本与统计量的基本概本讲首先介绍了样本与统计量的基本概念，包括：总体、个体、样本、总体分布与念，包括：总体、个体、样本、总体分布与样本分布；然后介绍了统计量的概念和几个样本分布；然后介绍了统计量的概念和几个常见的统计量：样本均值、方差、标准差、常见的统计量：样本均值、方差、标准差、 k 阶原点矩和阶原点矩和k 阶中心矩；最后介绍了抽样阶中心矩；最后介绍了抽样分布的概念与抽样分布定理。分布的概念与抽样分布定理。
