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1、零件的参数设计一、实践问题这是1997年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：一件产品由假设干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进展成批消费时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差那么给出了参数偏离其标定值的允许范围。假设将零件参数视为随机变量，那么标定值代表期望值，在消费部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。进展零件参数设计，就是确定其标定值和容差。这时要思索两方面要素：一是当零件组装成产品时，假设产品参数偏离预先设定的目的值，就会呵斥质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决议了其制造本钱，容差设计得越小，本钱越高
2、,试经过如下的详细问题给出普通的零件参数设计方法。粒子分别器某参数记作y由7个零件的参数记作x1，x2，x7决议，阅历公式为y的目的值记作y0为1.50。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1000元；当y偏离y00.3时产品为废品，损失为9000元。零件参数的标定值有一定的允许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为1%,B等为5%，C等为10%。7个零件参数标定值的允许范围及不同容差等级零件的本钱元如表1符号/表示无此等级零件。表1现进展成批消费，每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.
3、1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最廉价的等级。请他综合思索y偏离y0呵斥的损失和零件本钱，重新设计零件参数包括标定值和容差，并与原设计比较，总费用降低了多少。二、模型的假设及符号阐明1模型的假设假设各零件的参数为随机变量，且是相互独立的，它们都服从以零件标定值为均值，容差的三分之一为均方差的正态分布。(假设消费1000个批量产品时，每个零件参数只按一种容差等级进展消费，7个零件可以按不同的容差等级进展组合消费。思索到标题所给条件，产品参数y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1000元，y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9000元，可假设产品参数y偏离目的值y0呵
4、斥的单件产质量量损失函数Ly与y-y02成正比即1易见2符号阐明第i个零件的参数，它是随机变量；第i个零件的标定值，即xi的期望值；第i个零件的均方差；第i个零件的容差，即第i个零件的相对容差，即；y0：产质量量参数的目的值；y：产质量量参数，它是随机变量；y：y的均方差；ai：标定值xi0的取值下限知的bi：标定值xi0的取值上限知的x0=x10，x20，x70标定值向量t=t1，t2，t7：相对容差向量三、问题的分析及数学模型1问题的分析问题的目的函数是总费用函数最小，而总费用是由产品参数偏离目的值引起的质量损失费用和产品的本钱费用两部分组成。普通来说，标定值设计不合理或容差设计得太大，会
5、使产品参数远离目的值，呵斥质量损失；而容差设计得太小，又会添加零零件制造本钱，综合思索产质量量损失费和本钱费是问题的关键。由标题所给条件知，单件产品的零件本钱取决于相对容差等级，第种零件的本钱记作，于是单件产品的本钱，即7个零件的总本钱为2产品参数y由决议，记作y=f(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，而xi是随机变量，且xiNxi0，i2，所以产品参数y也是随机变量。进展成批消费时，平均每件产品的质量损失费用应该用损失函数Ly的期望来度量，它取决于零件参数标定值x0和容差t，记为：由(2)式为了得到的简单表达式，在处对作Taylor展开，并略去二阶及二阶以上项，有其中于是所以经过以上
6、分析讨论可知，成批消费时平均每件产品的总费用可表示为2数学模型问题的目的函数是总费用函数Zx0，t到达最小，且约束条件是标定值x0落在给定的允许范围内，所以该问题的数学模型为：3四、模型的分析及求解1.模型的分析留意到在模型3中，决策变量x0是延续的，t是离散型的，而且t的取值共有23332=108种，对每种固定的t值，求解如下一系列子问题：4得到最优解和最优值，然后对108个t比较5)得到全局最优解和最优值。子问题4是非线性规划问题，它的计算量是很大的，为了减少计算子问题的次数，在程序设计时，每解出一个子问题，由5式算出当前的最优值，对待求解的子问题，先判别能否成立，假设成立，那么该子问题不
7、用再解。2.模型的求解按照上面对模型3的分析，下面设计在MATLAB中计算模型3的程序。为了方便起见，记分别建立函数文件v.m，u.m，fy.mfunctionv=fun(x)v=1-0.36*x(2)0.56*x(4)(-0.56);functionu=fun(x)u=1-2.62*v(x)1.5*(x(4)/x(2)1.16;functionfy=fun(x)fy=174.42*(x(1)/x(5)*(x(3)/(-x(1)+x(2)0.85*sqrt(u(x)/(x(6)*x(7);分别建立函数u(x)对x2,x4的偏导数函数文件uu2.m,uu4.mfunctionuu2=fun(x)
8、uu2=0.792288*v(x)0.5*x(2)(-1.6)*x(4)0.6+3.0392*v(x)1.5*x(2)(-2.16)*x(4)1.16;functionuu4=fun(x)uu4=(-0.792288)*v(x)0.5*x(2)0.6*x(4)(-0.4)-3.0392*v(x)1.5*x(2)(-1.16)*x(4)0.16;分别建立函数fy(x)对x1,x2,x7的偏导数函数文件y11.m,y21.m,y71.mfunctiony11=fun(x)y11=fy(x)*(1/x(1)+0.85/(x(2)-x(1);functiony21=fun(x)y21=fy(x)*(-
9、0.85)/x(2)-x(1)+0.5*(1/u(x)*uu2(x);functiony31=fun(x)y31=fy(x)*(0.85/x(3);functiony41=fun(x)y41=fy(x)*0.5*(1/u(x)*uu4(x);functiony51=fun(x)y51=fy(x)*(-1/x(5);functiony61=fun(x)y61=fy(x)*(-0.5/x(6);functiony71=fun(x)y71=fy(x)*(-0.5/x(7);建立子问题4的目的函数文件ch721.mfunctionch721.g=ch721(x,p2,p3,p4,p6,p7)ch81=
10、100000*(fy(x)-1.5)2+(100000/9)*(y11(x)*x(1)*0.05)2+(y21(x)*x(2)*p2)2+(y31(x)*x(3)*p3)2+(y41(x)*x(4)*p4)2+(y51(x)*x(5)*0.1)2+(y61(x)*x(6)*p6)2+(y71(x)*x(7)*p7)2;g=-x(1);用MATLAB言语设计计算模型7-8的程序，可存为M文件ch722.mtic%启动计时器p2=0.1;p3=0.1;p4=0.1;p6=0.1;p7=0.05;%原设计方案的相对容差x0=0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75;%原设计方案的标定y
11、0=fy(x0);%原设计方案产品的参数值Q0=ch81(x0,p2,p3,p4,p6,p7);%原设计方案的质量损失费Z0=Q0+200;%原设计方案的总费用Zmin=Z0;%原设计方案的总费用作为优化初值t1(2)=0.05;%对各等级零件相对容差赋值t2(2)=0.05;t2(3)=0.1;t3(1)=0.01;t3(2)=0.05;t3(3)=0.1;t4(1)=0.01;t4(2)=0.05;t4(3)=0.1;t5(3)=0.1;t6(1)=0.01;t6(2)=0.05;t6(3)=0.1;t7(1)=0.01;t7(2)=0.05;c2(2)=50;c2(3)=20;c3(1)
12、=200;c3(2)=50;c3(3)=20;c4(1)=500;c4(2)=100;c4(3)=50;c6(1)=100;c6(2)=25;c6(3)=10;c7(1)=100;c7(2)=25;fori2=2:3fori3=1:3fori4=1:3fori6=1:3fori7=1:2C=75+c2(i2)+c3(i3)+c4(i4)+c6(i6)+c7(i7);%计算单件产品的本钱p2=t2(i2);p3=t3(i3);p4=t4(i4);p6=t6(i6);p7=t7(i7);ZminifC=Zminx0=0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75;%优化的初始值v1b=0.
13、075,0.225,0.075,0.075,1.125,12,0.5625%变量x的下界vub=0.125,0.375,0.125,0.125,1.875,20,0.935%变量x的上界options=;%优化中的参数均采用缺省值jacob=;%将空阵赋给雅可比阵x,options=constr(ch81,x0,options,vlb,vub,jacob,p2,p3,p4,p6,p7);%计算非线性规化问题7Z=C+cs97(x,p2,p3,p4,p6,p7);%当t值给定时的最小总费用ifZjnumjnum=mjnum;jno=mjno;ydian=-I,-j;jiao=h*18./pi;e
14、ndendendend执行后输出问题一可利用井数jnum=4井号：24510挪动值为-0.3500，-0.1500问题二forj=1:39HH(i,j)=A(i,j)*0.1;endendfori=16:39forj=1:15HH(i,j)=A(i,j)*0.1;endendHH;自动化车床管理一、问题的提出这是1999年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：一道工序用自动化车床延续加工某种零件，由于刀具损坏等缘由该工序会出现缺点，其中刀具损坏缺点占95%，其它缺点仅占5%。工序出现缺点是完全随机的，假定在消费任一零件时出现缺点的时机均一样。任务人员经过检查零件来确定工序能否出现缺点。现积累
15、有100次刀具缺点记录见表75，方案在刀具加工一定件数后定期改换新刀具。知消费工序的费用参数如下：缺点时产出的零件损失费用f=200元/件；进展检查的费用t=10元/件；发现缺点时进展调理使恢复正常的平均费用d=3000元/次包括刀具费。未发现缺点时改换一把新刀具的费用k=1000元/次。1假定工序缺点时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔消费多少零件检查一次和刀具改换战略。2假设该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序缺点时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有缺点停机产生的损失费用为1500元/次。
16、对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具改换战略。3在2的情况，可否改良检查方式获得更高的效益。表75二、模型假设及符号阐明1假设刀具的寿命用消费出的零件个数来衡量，刀具寿命的概率分布由所给100次缺点记录确定。2假设检测零件时间和改换刀具时间忽略不计。3假设刀具每加工u个零件后定期改换，改换费用为k知。4假设每消费n个零件后定期进展检查，检查费用为t知。5假设在两次相邻的检查之间，消费任一零件时工序出现缺点的概率均相等，记作p。6假设检查时工序停顿消费，假设发现该零件为不合格品，那么进展刀具改换，费用为d知；否那么继续消费。7对第一问假设工序缺点时消费的零件均为不合格品，正常时均为合格品，而刀具
17、缺点占工序缺点的95%。8记消费每件不合格品的损失费为f知；消费每个零件的平均费用为L；消费每个零件刀具定期改换费为L1；消费每个零件检查费用为L2；工序缺点呵斥不合格品的损失费为L3。三、问题分析及数学模型根据所给的实践问题，要对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具改换战略，也就是消费每个零件的本钱最低，它等价于消费每个零件的平均费用L最小。消费每个零件的平均费用L包括刀具定期改换费用L1，检查费用L2，工序缺点呵斥不合格品的损失费用L3，易知:其中m为当相邻两次检查的后一次检查发现缺点时，n个零件中不合格品的平均数，c为工序的平均缺点间隔，于是问题的数学模型为:7-18四、模型的分析与计算1
18、模型中m的计算记事件A表示在相邻两次检查的后一次检查发现缺点，它等价于在一个检查间隔内至少一个零件出现为不合格品，由假设4和假设5可知：记事件B表示在相邻两次检查，出现i件不合格品，即前n-i件合格，下一件不合格的事件，那么由此可知，在相邻两次检查的后一次检查发现缺点的条件下，出现i件不合格品的概率为：于是由于所以其中由于很小见后面计算结果，所以m近似等于，代入7-18得7-192.模型中c的计算首先，根据给出的100个数据算出无预防性改换时刀具缺点平均间隔即100个数据的平均值为a0=600件，由假设知，刀具缺点占95%，非刀具缺点占5%，故非刀具缺点平均间隔为。其次，为计算刀具每加工u个零
19、件后定期改换时刀具缺点的平均间隔，由100个数据统计出刀具缺点的阅历概率分布，例如对完成的零件数作如下分组：对于给定的u，可确定刀具缺点的平均间隔a。如假设u=300件，可知100次改换有7=1+1+1+2+2次缺点，平均缺点间隔为：普通地，记刀具完成件数为Ni，频率为fi，假设对于给定的u有Nku，那么计算刀具每加工u个零件后定期改换时刀具缺点的平均间隔为工序的平均缺点间隔c由au和b决议，易见满足，于是假设u=300件，那么3.模型的求解经过以上的分析可知，给定u，模型7-19中的c也确定，Lu,n就变为是n的函数，且令，得即当时，L到达最小。比如步长取50，对于一系列的u=100，150
20、，200，逐个求出L的极小值及相应的n值，其中使L最小者所对应的u和n即为所求。下面给出MATLAB计算程序。%自动化车床管理ch751%文件名：ch751.mf=200;t=10;d=3000;k=1000;b=11400;N=50,125,175,225,275,325,375,425,475,525,575,625,.675,725,775,825,875,925;fi=0.01*1,1,1,2,2,2,4,6,9,11,11,13,9,6,8,4,4,6;kk=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18;u=100,150,200,250,
21、300,350,400,450,500,550,600,650,.700,750,800,850,900,950;forj=1:18Nf1(j)=0;Nf2(j)=0;fk(j)=0;fori=1:kk(j)Nf1(j)=Nf1(j)+N(i)*fi(i);fk(j)=fk(j)+fi(i);endfori=kk(j)+1:18Nf2(j)=Nf2(j)+fi(i);enda(j)=(Nf1(j)+u(j)*Nf2(j)/fk(j);c(j)=1/(1/a(j)+1/b);p(j)=1/c(j);n=1;L(j)=k/u(j)+t/n+(n+1)*f)/(2*c(j)+d/c(j);forn=
22、1:200L0=k/u(j)+t/n+(n+1)*f)/(2*c(j)+d/c(j);ifL0L(j)L(j)=L0;nn(j)=n;endendendmin_L=L(1);forj=1:18ifL(j)min_Lmin_L=L(j);good_u=u(j);good_n=nn(j);endenddisp(消费每个零件的最小费用)min_Ldisp(改换刀具的最优间隔数)good_udisp(定期检查的最优间隔数)good_n执行后输出消费每个零件的最小费用min_L=5.1315改换刀具的最优间隔数good_u=400定期检查的最优间隔数good_n=15五、问题的进一步讨论1.问题2的进一
23、步讨论要思索两种误判：一是工序正常时检查到不合格品误判停机，将使检查费用添加；二是工序缺点时检查到合格品，将继续消费直到下一次检查，使不合格品的损失费添加。此时效益函数为:7-20与问题1中的模型7-19式相比7-20式多了两项，其中是两次检查间工序正常的概率，是工序正常时的不合格品率，s=1500为第一种误判停机的损失费；w=40%是工序缺点时的合格品率，是第二种误判添加的不合格品数。%自动化车床管理ch842%文件名：ch842.mf=200;t=10;d=3000;k=1000;v=0.02;s=1500;w=0.4;b=11400;N=50,125,175,225,275,325,37
24、5,425,475,525,575,625,.675,725,775,825,875,925;fi=0.01*1,1,1,2,2,2,4,6,9,11,11,13,9,6,8,4,4,6;kk=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18;u=100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,.700,750,800,850,900,950;forj=1:18Nf1(j)=0;Nf2(j)=0;fk(j)=0;fori=1:kk(j)Nf1(j)=Nf1(j)+N(i)*fi(i);fk(j)=fk(j)
25、+fi(i);endfori=kk(j)+1:18Nf2(j)=Nf2(j)+fi(i);enda(j)=(Nf1(j)+u(j)*Nf2(j)/fk(j);c(j)=1/(1/a(j)+1/b);p(j)=1/c(j);n=1;L(j)=k/u(j)+t+(1-p(j)n*v*s/n+(n+1)/2+.n*(w/(1-w)*(f/c(j)+d/c(j);forn=1:200L0=k/u(j)+t+(1-p(j)n*v*s/n+(n+1)/2+.n*(w/(1-w)*(f/c(j)+d/c(j);ifL0L(j)L(j)=L0;nn(j)=n;endendendmin_L=L(1);forj=
26、1:18ifL(j)min_Lmin_L=L(j);good_u=u(j);good_n=nn(j);endenddisp(消费每个零件的最小费用)min_Ldisp(改换刀具的最优间隔数)good_udisp(定期检查的最优间隔数)good_n执行后输出消费每个零件的最小费用min_L=7.5760改换刀具的最优间隔数good_u=350定期检查的最优间隔数good_n=222.问题3的进一步讨论由于工序缺点时的合格品率相当高，可思索检查时当查到的那个零件为合格品时，再查一个零件，假设仍是合格品那么断定工序正常，假设为次品那么断定工序缺点，这样虽使检查费用添加，但不合格品的损失费将减少，相应地效益函数为：作为练习，由读者本人编程计算。
