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1、5 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数1解析函数的高阶导数(3)设设为为的解析域的解析域内任意一点，内任意一点，定理定理解析函数的导数仍是解析函数，解析函数的导数仍是解析函数，它的它的阶导数为：阶导数为：其中其中为函数为函数的解析域内的环绕的解析域内的环绕正向简单闭正向简单闭曲线，曲线，证证为为内环绕内环绕的一条正向简单闭曲线，的一条正向简单闭曲线，我们先证我们先证情况，情况，的内部仍在的内部仍在的解析域内。的解析域内。且且的内部仍的内部仍在在内，内，且且即即2解析函数的高阶导数(3)根据定义根据定义由柯西积分公式由柯西积分公式其中其中在曲线在曲线的内部。的内部。从而有从而有3解析函数的高阶
2、导数(3)记记则则4解析函数的高阶导数(3)设设为为到到上的点的最短上的点的最短距离，距离，选取适当小的选取适当小的使使由于由于在在上连续，从而在上连续，从而在上有界，即存在正数上有界，即存在正数使得：使得：因此，因此，当当时，有时，有所以所以其中其中为为的弧长，的弧长，令令则则从而从而5解析函数的高阶导数(3)同理，我们可以利用同理，我们可以利用及其及其的推导方法的推导方法求极限求极限至此，我们已经导出：至此，我们已经导出：解析函数的导数仍是解析函数。解析函数的导数仍是解析函数。得得6解析函数的高阶导数(3)利用归纳法，类似利用归纳法，类似的推导可得：的推导可得：例例1 1计算下列积分计算下列积分1 1）其中其中为正向圆周：为正向圆周：解解原式原式1 1）高阶导数公式的作用，不是在于通过积分求导，高阶导数公式的作用，不是在于通过积分求导，而是通过求导而求积分。而是通过求导而求积分。说明：说明：7解析函数的高阶导数(3)2 2）其中其中为正向圆周：为正向圆周：解解 利用复合闭路定理得利用复合闭路定理得原式原式8解析函数的高阶导数(3)3 3）解解由于由于在在上解析，上解析， 所以所以9解析函数的高阶导数(3)所以所以例例2 2求求解解令令则由高阶导数公式知则由高阶导数公式知10解析函数的高阶导数(3)
