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1、复习回顾：复习回顾：1、非零向量、非零向量 ， 的充要条件是的充要条件是 2、设向量、设向量 的夹角为的夹角为 ，则，则3、共面向量定理共面向量定理 如果两个向量如果两个向量 不共线，那么不共线，那么向量向量 与向量与向量 共面的充要条件是共面的充要条件是存在有序实数组存在有序实数组，使得：，使得：4、直线、直线 的方向向量是的方向向量是平面平面 的法向量的法向量 与与 的位置关系是的位置关系是平面的法向平面的法向量不惟一，量不惟一，合理取值即合理取值即可。可。思考：思考： 我们能不能用直线的方向我们能不能用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线向量和平面法向量来刻画空间线面位置关系？面位置关
2、系？l1l2l1l2l1l 设空间两条直线设空间两条直线 的方向向量为的方向向量为两个平面两个平面 的法向量分别为的法向量分别为平行平行垂直垂直OBDCA 例例1、如图，、如图， 是平面是平面 的一条斜线，的一条斜线， 为为斜足，斜足， ， 为垂足，为垂足， ，且，且 求证：求证： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理三垂线定理）变式练习：变式练习： 写出三垂线定理的逆定理，并用向量的写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明。方法加以证明。三垂线定
3、理：在平面内的一条直线，如果它和这三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。那么它也和这条斜线的射影垂直。OBDC A已知：如图，已知：如图， 是平面是平面 的的 一条斜线，一条斜线， 为斜足，为斜足， ， 为垂足，为垂足， ，且，且求证：求证：例例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂、证明：如果一条直线和平
4、面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂直线与平面垂直的判定定理直的判定定理）已知：如图，已知：如图， 求证：求证： 分析：分析：要证明直线与要证明直线与平面垂直，只要证明平面垂直，只要证明该直线垂直于平面内该直线垂直于平面内任意一条直线。任意一条直线。相交相交不共线不共线又又共面共面存在有序实数组存在有序实数组使得，使得，例例3、如图，在直三棱柱、如图，在直三棱柱 - 中，中， 是棱是棱 的中点，的中点，求证：求证： 证明：在直三棱柱证明：在直三棱柱 - 中，中，因为因为 ，所以，所以 因为因为 ，而，而所以所以 ，所以，所以在在
5、中，因为中，因为所以所以所以所以因为因为 ， ，且且 是棱是棱 中点，所以中点，所以 ，所以所以所以所以：所以：所以：即，即， 思考：还有其它的证明方法吗？思考：还有其它的证明方法吗？ 利用相似形与线面垂直利用相似形与线面垂直分析：连结分析：连结 交交 于点于点 因为因为所以，要证所以，要证就是证就是证即证即证1、利用、利用 相似可以证明相似可以证明 ， 从而从而2、利用、利用 知道知道 ，即，即 你能试着建立适当的空间直角坐你能试着建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量，再证明它标系，用坐标表示向量，再证明它们互相垂直吗？们互相垂直吗？证明：分别以证明：分别以所在直线为所在直线为 轴，轴，
6、 轴，轴， 轴，建轴，建立空间直角坐标系立空间直角坐标系图中相应点的坐标为：图中相应点的坐标为：所以：所以：所以：所以：即，即，三种方法的比较：三种方法的比较： 证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加减运算及所满足的运算律。减运算及所满足的运算律。 证法二是向量的坐标运算法，关键是要恰当证法二是向量的坐标运算法，关键是要恰当地建立空间直角坐标系，探求出各点的坐标。地建立空间直角坐标系，探求出各点的坐标。 证法三是几何向量法和立体几何法的综合运证法三是几何向量法和立体几何法的综合运用。用。 最终都是应用向量的数量积为最终都是应用向量的数量积为0 0来来证明线
7、线垂直。证明线线垂直。例例4 4 如如图图，已知矩形，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分分别别在在对对角角线线上，且上，且求求证证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底，建立如图所示空间坐标系，基底，建立如图所示空间坐标系，设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有则可得各点坐标，从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MN不在平面不在平面CDE内内所以所以MN/平面平面CDEA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F分分别别是是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：所以所以课堂小结：课堂小结： 本节课主要研究了用向量的方法本节课主要研究了用向量的方法判定空间线线、线面垂直关系。判定空间线线、线面垂直关系。 如果要判定两条直线如果要判定两条直线 垂直垂直 ，可以通过证明它们的方向向量，可以通过证明它们的方向向量 ， 的数量积为的数量积为0实现实现
