数学建模山东培训会议报告

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1、数学建模山数学建模山东培培训2012会会议报告告李大潜院士倡导：李大潜院士倡导：问题驱动的应用数学。问题驱动的应用数学。数学建模的目的是科学研究与数学应用。数学建模的目的是科学研究与数学应用。应用数学方法：应用数学方法：数学建模和科学与工程计算构成了数学应数学建模和科学与工程计算构成了数学应用的两大支柱。用的两大支柱。2021/5/222一、数学建模为什么火起来？一、数学建模为什么火起来？1、二十一世纪的社会需求、二十一世纪的社会需求1.1计算计算计算与数学建模已经形成新世纪的最广泛的特征。计算与数学建模已经形成新世纪的最广泛的特征。海量数据源：海量数据源：Web与与Internet数据、社会

2、管理数据、数据、社会管理数据、全球化经济数据、环境与资源数据、个人信息数据、全球化经济数据、环境与资源数据、个人信息数据、科学研究数据、多媒体型数据，等等。科学研究数据、多媒体型数据，等等。“奔驰和车上的人哪个值钱？奔驰和车上的人哪个值钱？”下一个核心产业下一个核心产业是什么？是什么？IT or DI？海量数据是最大的资源：数据信息产业！海量数据是最大的资源：数据信息产业！2021/5/223数据处理：数据处理：数据数据 信息信息 知识知识方法统一称为：计算！方法统一称为：计算！因此，计算将成为二十一世纪最普遍的时代特征！因此，计算将成为二十一世纪最普遍的时代特征！海量数据首先依赖于数据处理海

3、量数据首先依赖于数据处理计算计算数据数据信息信息知识：数据知识：数据+结构结构信息，信息，信息信息+结构结构知识。知识。结构是核心：结构是核心：相同的数据，不同的结构，信息不同：相同的数据，不同的结构，信息不同：下雨天，留客天，留我不留？下雨天，留客天，留我不留？下雨天留客，天留我不留！下雨天留客，天留我不留！2021/5/224 微软亚洲研究院微软亚洲研究院“二十一世纪的计算二十一世纪的计算”大型大型国际学术研讨会在一年一次的例会上，明确提出国际学术研讨会在一年一次的例会上，明确提出了二十一世纪的计算将从了二十一世纪的计算将从以应用为核心的计算理以应用为核心的计算理念转变为以数据为核心的计算

4、念转变为以数据为核心的计算。 从海量数据中发掘数据的应用价值和应用方从海量数据中发掘数据的应用价值和应用方法法以以数据为核心数据为核心的计算，即没有或不清楚数的计算，即没有或不清楚数据中隐含的信息与知识，通过计算与建模发现数据中隐含的信息与知识，通过计算与建模发现数据的应用。例如数据挖掘。据的应用。例如数据挖掘。计算的变迁计算的变迁发现和创新！发现和创新！2021/5/2251.2 数学建模数学建模为什么要建模为什么要建模 科学研究的目的是通过对现实世界中的现象和科学研究的目的是通过对现实世界中的现象和复杂的过程去发掘隐藏在背后的复杂的过程去发掘隐藏在背后的原因（机理）原因（机理）并且并且进行

5、进行预测。预测。数据、信息、知识是解决问题的基础，数据、信息、知识是解决问题的基础，但是但是数据整合与分析并不能给出机理的描述，只能数据整合与分析并不能给出机理的描述，只能给出数据特征给出数据特征。解决问题的方法是数学建模和计算：。解决问题的方法是数学建模和计算：应用数学应用数学。数学建模是社会创新的主要特征：数学建模是社会创新的主要特征：高科技即数学技术化！高科技即数学技术化！2021/5/2262、数学建模和应用数学的发展、数学建模和应用数学的发展 数学处理方法相对成熟的领域（如力学、天文数学处理方法相对成熟的领域（如力学、天文及传统工业领域等）扩展到化学、生物、经济及社及传统工业领域等）

6、扩展到化学、生物、经济及社会学领域。同时在新兴的科学领域、高新技术领域会学领域。同时在新兴的科学领域、高新技术领域包括生命、信息、环境、材料、能源、经济等方面包括生命、信息、环境、材料、能源、经济等方面都提出了新的课题。例如，经济、金融类专业，以都提出了新的课题。例如，经济、金融类专业，以往划分在文科专业，随着数学的渗透，定量经济学、往划分在文科专业，随着数学的渗透，定量经济学、经济数学、金融数学都在蓬勃发展，各种经济、金经济数学、金融数学都在蓬勃发展，各种经济、金融中的数学模型也应运而生。更进一步，由于经济、融中的数学模型也应运而生。更进一步，由于经济、金融业的发展和需求，产生了一门新的有关

7、经济的金融业的发展和需求，产生了一门新的有关经济的数学学科数学学科精算，相应的有了精算师这一新行业。精算，相应的有了精算师这一新行业。 适应社会需求和应用数学的发展，数学建模适应社会需求和应用数学的发展，数学建模在二十一世纪成为炙手可热的领域！在二十一世纪成为炙手可热的领域！2021/5/2273、二十一世纪的中心学科的转换、二十一世纪的中心学科的转换二十世纪是物理学世纪：理论力学、电动力学二十世纪是物理学世纪：理论力学、电动力学（场论）、统计力学、量子力学与相对论。形成（场论）、统计力学、量子力学与相对论。形成理论物理，同时推动了数学的发展。理论物理，同时推动了数学的发展。流形上的函数及其场

8、方程的模型：代数方程组和微流形上的函数及其场方程的模型：代数方程组和微分方程组。分方程组。理论力学的理论力学的 Lagrange和和Hamilton方程组；方程组；电动力学的电动力学的 Maxwell方程组；方程组；统计物理的统计物理的 热力学基本方程和统计分布函数；热力学基本方程和统计分布函数；量子力学的量子力学的 Shr dinger、Dirac、Heisenberg方程；方程；相对论的相对论的 爱因斯坦的引力场方程。爱因斯坦的引力场方程。2021/5/228二十一世纪形成以生物为核心的多中心：二十一世纪形成以生物为核心的多中心：生物学能源信息社会经济2021/5/229陈省身：陈省身：

9、二十世纪的数学家要关注物理，二十一世二十世纪的数学家要关注物理，二十一世纪的数学家要关注生物学。纪的数学家要关注生物学。杨振宁：杨振宁： 我们应该关注生物学，生物学还没有理论，我们应该关注生物学，生物学还没有理论，但是积累了大量的数据，期待理论的建立。但是积累了大量的数据，期待理论的建立。2021/5/2210系统生物学：系统生物学：理解生物体以及生物过程，并非只理解生物体以及生物过程，并非只是在生命的各个层次上的研究，而是各层结构的是在生命的各个层次上的研究，而是各层结构的整合才涌现出生物功能。整合才涌现出生物功能。分子分子 细胞细胞 组织与器官组织与器官系统生物学是生物学的第一个理论化的学

10、科，它将系统生物学是生物学的第一个理论化的学科，它将引导生物学从实验科学走向理论指导下的实验、计引导生物学从实验科学走向理论指导下的实验、计算、理论的科学。算、理论的科学。正象二十世纪的理论物理的产生时代！正象二十世纪的理论物理的产生时代！基本方法：海量数据的基本方法：海量数据的计算为基础计算为基础，系统的，系统的数学建数学建模为核心模为核心理论方法，以理论方法，以系统干扰为特征的实验系统干扰为特征的实验。系统生物学二十一世纪的核心学科系统生物学二十一世纪的核心学科2021/5/2211二、数学建模的三个方面二、数学建模的三个方面1、科研、科研建模应用研究建模应用研究：各个领域的问题建模和模型

11、求解，：各个领域的问题建模和模型求解，当前最热的建模领域是经济和生物。金融与保险模当前最热的建模领域是经济和生物。金融与保险模型，市场的博弈模型，经济趋势模型，等等。系统型，市场的博弈模型，经济趋势模型，等等。系统生物学是以建模为核心的生物学，成为生物学世纪生物学是以建模为核心的生物学，成为生物学世纪的标志性学科。的标志性学科。建模理论研究建模理论研究：仿真、模拟和数学模型，类比的数：仿真、模拟和数学模型，类比的数学建模方法，结构主义数学建模的理论与实践。学建模方法，结构主义数学建模的理论与实践。2021/5/22122.1 热点社会问题热点社会问题金融危机金融危机，例如政策问题：发放购物券的

12、效果？，例如政策问题：发放购物券的效果？网瘾问题网瘾问题，网瘾与上网频率关系？教育策略？，网瘾与上网频率关系？教育策略？反腐败问题反腐败问题，规模性腐败的惩治力度评估？，规模性腐败的惩治力度评估？房价问题房价问题，是，是“富人控制北京房价富人控制北京房价”吗？房价的吗？房价的社会影响？社会影响？水资源问题水资源问题, 干旱和缺水风险评估与应对策略？干旱和缺水风险评估与应对策略？经济发展与水资源的和谐模型？经济发展与水资源的和谐模型？药费暴利问题药费暴利问题, 解决方法与下降模型？解决方法与下降模型？2. 建模研究问题建模研究问题2021/5/22132.2 科研中新问题科研中新问题流感问题流感

13、问题, 例如，例如，SARS、禽流感、禽流感、H1N1，为什么近十年来流感会对全世界发生重大威胁？为什么近十年来流感会对全世界发生重大威胁？能够用数学模型化方法解释或提供措施建议？能够用数学模型化方法解释或提供措施建议？网络研究网络研究，Web和和Inter网的病毒传播模型是什网的病毒传播模型是什么样？有无模型化方法研究对策？么样？有无模型化方法研究对策？心理学心理学，抑郁症在许多国家形成规模，是否可，抑郁症在许多国家形成规模，是否可以象流行病类似建立疾病传播模型？以象流行病类似建立疾病传播模型？灾难学与应急问题灾难学与应急问题，灾难不可避免，但是可以，灾难不可避免，但是可以有快速有效的应急机

14、制，例如地震后的搜救方法有快速有效的应急机制，例如地震后的搜救方法等等。等等。系统生物学系统生物学，这是一门以建模作为核心方法的，这是一门以建模作为核心方法的新学科新学科!大方向中的具体问题抽取？大方向中的具体问题抽取？2021/5/22142.3 经济与市场问题经济与市场问题房价的市场与政策驱动房价的市场与政策驱动，经济适用房的政策影响，经济适用房的政策影响面对房价平抑作用，房价占工资比例对房价的影响，面对房价平抑作用，房价占工资比例对房价的影响，调控政策的评估模型。调控政策的评估模型。产品销售补贴的评估产品销售补贴的评估，家用电器的销售补贴政策，家用电器的销售补贴政策对市场启动的影响。对市

15、场启动的影响。就业政策的调控效果就业政策的调控效果，创业补贴和无就业补贴对，创业补贴和无就业补贴对于就业市场的影响。于就业市场的影响。零售价格倒置现象模型零售价格倒置现象模型，产地物价与北京物价倒，产地物价与北京物价倒挂对于市场影响和对农业的影响，挂对于市场影响和对农业的影响，等等。等等。理财策略理财策略，个人理财的博弈模型。个人理财的博弈模型。2021/5/22152.4 城市问题（世博会）城市问题（世博会）交通交通：城市交通网络布局与道路网络布局的合理：城市交通网络布局与道路网络布局的合理设计模型。设计模型。商业商业：城市商业网点分布与人口、交通的优化结：城市商业网点分布与人口、交通的优化

16、结构模型。构模型。人口分布人口分布：人口分布与交通网络的交互作用模型。：人口分布与交通网络的交互作用模型。功能关联功能关联：城市功能结构的最大效益设计模型。：城市功能结构的最大效益设计模型。卫星城的结构和功能相关性模型卫星城的结构和功能相关性模型。电动自行车的速度限制电动自行车的速度限制：合理速度模型，对交通：合理速度模型，对交通问题的影响？问题的影响？城市化进程与水、电价格的调整模型城市化进程与水、电价格的调整模型，等等。，等等。2021/5/22162.5 文化、体育、艺术中的问题文化、体育、艺术中的问题体育模型体育模型:滑雪赛道设计，比赛选拔方案，标枪滑雪赛道设计，比赛选拔方案，标枪的长

17、度，不同跑道的差步（体育数学），等等。的长度，不同跑道的差步（体育数学），等等。艺术模型：艺术模型：青年歌手大奖赛的选拔策略，音乐厅青年歌手大奖赛的选拔策略，音乐厅座位的定价，演唱会中的同步效应的应用，等等。座位的定价，演唱会中的同步效应的应用，等等。文学与文字：文学与文字：红楼梦人物的规律性研究，人物关红楼梦人物的规律性研究，人物关联模型与情节生动、复杂性研究，古文字发掘的联模型与情节生动、复杂性研究，古文字发掘的模型在中华文化中的发展路径研究，等等。模型在中华文化中的发展路径研究，等等。中医与烹饪：中医与烹饪：网络模型与特点研究。网络模型与特点研究。社会网络模型（社会网络模型（social

18、 network analysis,SNA）:国际关系预测与对策，侦测问题。国际关系预测与对策，侦测问题。无处不在的数学，问题在于理解、思考与开拓！无处不在的数学，问题在于理解、思考与开拓！2021/5/22173. 教学教学数学建模方法融入数学主干课程数学建模方法融入数学主干课程 大学数学教育，大学数学教育，让学生掌握数学建模的思想学生掌握数学建模的思想和方法，是培养学生具有良好的数学基和方法，是培养学生具有良好的数学基础的重要的重要标志，有利于大学生加深志，有利于大学生加深对数学重要性的理解，数学重要性的理解，有助于提高他有助于提高他们学好数学的学好数学的积极性。极性。 全世界的有全世界的

19、有识之士都在探之士都在探讨怎怎样尽早尽早让大学大学生初步掌握数学建模的思想和方法的生初步掌握数学建模的思想和方法的问题。这也也是大学数学教学改革的一个重要方面。是大学数学教学改革的一个重要方面。2021/5/2218 2002年到年到2005年全国组委会就实施了由李大年全国组委会就实施了由李大潜院士牵头的教育部教改立项潜院士牵头的教育部教改立项“把数学建模的思想把数学建模的思想和方法融入大学主干数学课程教学中去和方法融入大学主干数学课程教学中去”，有，有20多多个院校参加。许多在教学第一线的数学教师，特个院校参加。许多在教学第一线的数学教师，特别是许多直接参与指导数学建模竞赛等活动的教别是许多

20、直接参与指导数学建模竞赛等活动的教师积极参与这项教改活动，在他们的课堂上努力师积极参与这项教改活动，在他们的课堂上努力做融入的各种试验。出版了不少包含许多数学模做融入的各种试验。出版了不少包含许多数学模型的高等数学教材。型的高等数学教材。2021/5/22194、科研、教学与教学关系、科研、教学与教学关系1）科研是教学的基础）科研是教学的基础 只有通过科研才能深入理解教学内容的只有通过科研才能深入理解教学内容的内涵和外延。内涵和外延。理解三部曲理解三部曲:听课，理解知识的表述逻辑和直觉；听课，理解知识的表述逻辑和直觉；讲课，理解知识的内在逻辑；讲课，理解知识的内在逻辑；科研，才理解知识的内涵和

21、外延！科研，才理解知识的内涵和外延！2021/5/22202） 教学是科研的延伸和反馈教学是科研的延伸和反馈将科研内容通过教学向听众宣传和说服；将科研内容通过教学向听众宣传和说服；听众的反应是科研内容的批判和反馈；听众的反应是科研内容的批判和反馈；敏感的反馈是科研发展的启发与契机！敏感的反馈是科研发展的启发与契机！3） 教学研究是教学的指导教学研究是教学的指导关键是知识结构与表述结构的转换：关键是知识结构与表述结构的转换：知识结构是因果逻辑的，知识结构是因果逻辑的，表述结构是抽象与直观结构的转换！表述结构是抽象与直观结构的转换！2021/5/22214） 教学研究方法教学研究方法教学试验教学试

22、验数学建模方法融入数学主干课程的教学实验数学建模方法融入数学主干课程的教学实验叶其孝叶其孝1）对一个比较容易理解的实际问题，设计编写）对一个比较容易理解的实际问题，设计编写2学时的教学学时的教学单元，包括单元，包括讲稿、问卷调查表、测验题、课外习题和研究课讲稿、问卷调查表、测验题、课外习题和研究课题题，并对每个学时的使用内容提出具体的建议。，并对每个学时的使用内容提出具体的建议。2）在具体实施时，所有的问卷调查表、测验题、课外习题）在具体实施时，所有的问卷调查表、测验题、课外习题和研究课题都要事先印好，在讲课时发给学生，便于收回进和研究课题都要事先印好，在讲课时发给学生，便于收回进行统计和定量

23、分析，进一步了解学生学习数学的总体情况，行统计和定量分析，进一步了解学生学习数学的总体情况，特别是学习中的难点，可以有针对性地帮助学生。特别是学习中的难点，可以有针对性地帮助学生。3）在每个教学单元中，所有的讲稿、问卷调查表、测验题、）在每个教学单元中，所有的讲稿、问卷调查表、测验题、课外习题和研究课题都强调要严格按照数学建模的课外习题和研究课题都强调要严格按照数学建模的4个关键个关键步骤步骤“合理假设、数学模型的建立、数学模型的求解、解释合理假设、数学模型的建立、数学模型的求解、解释验证验证”去做。去做。2021/5/2222问 题是是否否你在中学是否知道在北京和上海等地有一个你在中学是否知

24、道在北京和上海等地有一个 “中学生数学知中学生数学知识应用用竞赛”?2555你是否参加你是否参加过“中学生数学知中学生数学知识应用用竞赛”活活动?1168你是否听你是否听说过数学模型数学模型(Mathematical Model)这个名个名词?755你是否听你是否听说过数学建模数学建模(Mathematical Modeling) 这个名个名词?746你是否知道我国有一个你是否知道我国有一个“全国大学生数学建模全国大学生数学建模竞赛”?6713你是否知道美国有一个名你是否知道美国有一个名为“Mathematical Contest in Modeling (MCM)”的大学生数学建模的大学生数

25、学建模竞赛?2060在本在本节讲课前前, 你是否参加你是否参加过与数学建模有关的活与数学建模有关的活动?1367你是否参加了我校的数学你是否参加了我校的数学(建模建模)协会会1661学学习本本节讲课后后, 你你对数学建模是否有所了解数学建模是否有所了解? 71位同学回答基本正确，位同学回答基本正确，9位同学没有回答位同学没有回答692数学建模的主要步数学建模的主要步骤是：是：71位同学回答基本正确，位同学回答基本正确，9位同学没有回答位同学没有回答71你你对今天今天讲的的课有什么有什么评价？你有什么意价？你有什么意见和建和建议？你？你认为在在讲解解应用用(或数学建模或数学建模)时应该讲什么什么

26、样的内容的内容(题材材)、采取、采取什么什么样的教学方法？的教学方法？回答的回答的40人都是正面肯定的。另外人都是正面肯定的。另外40人没有回答。人没有回答。402011-10-16北京理工大学问卷调查表北京理工大学问卷调查表(数学学院数学分析课数学学院数学分析课89位同学上课，交回位同学上课，交回80份份)2021/5/2223归纳假设归纳假设 试验与数据采集试验与数据采集 数据分析数据分析 结论结论教学研究是一种科学研究！教学研究是一种科学研究！应当通过科学研究的方法进行：应当通过科学研究的方法进行：试验试验目的：不同教学内容（安排、教学方法等）的效果。目的：不同教学内容（安排、教学方法等

27、）的效果。试验设计：试验与对照组教案；效果判别准则；数试验设计：试验与对照组教案；效果判别准则；数据收集方法（例如问卷）；统计分析方法，等等。据收集方法（例如问卷）；统计分析方法，等等。分析与结论分析与结论2021/5/2224深入理解的螺旋钻模式深入理解的螺旋钻模式具体具体抽象抽象Hilbert：任何一个数学概念，都可以用面包、：任何一个数学概念，都可以用面包、啤酒瓶子摆出来！啤酒瓶子摆出来！2021/5/2225例子例子 在线性代数中在线性代数中“向量组的线性相关和无关向量组的线性相关和无关”是一个抽象的概念。是一个抽象的概念。从科研中加深理解：直观、来源与用途。从科研中加深理解：直观、来

28、源与用途。x1,x2,x3笛卡尔笛卡尔坐标系坐标系仿射仿射坐标系坐标系曲线曲线坐标系坐标系极大线性极大线性无关组无关组2021/5/2226三、三、 建模方法浅谈建模方法浅谈1.为什么要研究数学建模方法？为什么要研究数学建模方法？大学生的问题：大学生的问题：数学建模数学建模 = 数学引模数学引模 ？目前的数学建模教学：目前的数学建模教学：介绍建模五步法（一节课）；介绍建模五步法（一节课）；工具训练（两节课）；工具训练（两节课）；讲解案例（二十节课）；讲解案例（二十节课）；练习（十节课）练习（十节课）如何建模？如何建模？2021/5/2227实际或竞赛实际或竞赛的建模问题的建模问题课程学习与培训

29、中课程学习与培训中的数学建模案例的数学建模案例 引用案例引用案例 借鉴案例借鉴案例类比、引用和借鉴是很有效的方法：类比、引用和借鉴是很有效的方法：现状！现状！数学建模方法数学建模方法= 创造性的本质方法创造性的本质方法 + 模型类比方法模型类比方法数学建模数学建模数学荐模数学荐模+数学引模数学引模一种初步实用一种初步实用的，基于的，基于类比与经验的类比与经验的方法：方法：非普适的、非创造性的和非本质的！非普适的、非创造性的和非本质的！但是：但是：2021/5/2228例一、例一、Web中的问题中的问题 网络已经成为现代人的一种生活方式。网络已经成为现代人的一种生活方式。在网上，每天有成千上万的

30、多媒体文件在在网上，每天有成千上万的多媒体文件在传输（例如，路透社每天收到网上文本文传输（例如，路透社每天收到网上文本文件达件达20万）。试建立数学模型，使得可以万）。试建立数学模型，使得可以对这些文件进行自动分类，以便人们阅读对这些文件进行自动分类，以便人们阅读和使用。和使用。没有可类比的案例时怎么办没有可类比的案例时怎么办？2021/5/2229例二、中国菜系研究例二、中国菜系研究 中国是一个美食及其文化非常丰富的国中国是一个美食及其文化非常丰富的国家，因为国土辽阔，人口众多。中国著名的家，因为国土辽阔，人口众多。中国著名的菜系：苏菜、闽菜、川菜、鲁菜、粤菜、湘菜系：苏菜、闽菜、川菜、鲁菜

31、、粤菜、湘菜、浙菜、徽菜。菜、浙菜、徽菜。 请用数学建模方法研究这些菜系的特点。请用数学建模方法研究这些菜系的特点。 2021/5/2230从基本概念的理解出发：从基本概念的理解出发：模型？模型？+ 数学？数学？ 数学模型？数学模型？ 如何建模？如何建模？问题：如何从数学模型的概念出发问题：如何从数学模型的概念出发构造方法构造方法结构化数学建模方法：结构化数学建模方法： 基于创造的本质性的方法。基于创造的本质性的方法。2. 什么是结构主义建模？什么是结构主义建模？2021/5/22312.1 模型是什么？模型是什么？模型：模型：以特定以特定目的目的对事物原型抽象出对事物原型抽象出结构结构并适当

32、并适当表示表示。抽象出结构抽象出结构：不是一般概念的抽象，而是结不是一般概念的抽象，而是结 构的抽象；构的抽象；适当的表示适当的表示：使用不同知识与方法，需要不同使用不同知识与方法，需要不同 的语言表示。的语言表示。特定目的特定目的：目的不同，关注的结构（事物的内部目的不同，关注的结构（事物的内部 联系）不同；联系）不同；原型原型 抽象出结构抽象出结构 模型模型2021/5/2232结构主义学派（结构主义学派（ Bourbaki ）：）：数学数学 = 集合集合 + 结构结构2.2 数学是什么？数学是什么？这是一个困难的问题，并没有唯一的答案。这是一个困难的问题，并没有唯一的答案。布巴基学派认为

33、有布巴基学派认为有三种母结构：序结构、代数结构三种母结构：序结构、代数结构和拓扑结构；其他数学结构都是母结构的组合或复和拓扑结构；其他数学结构都是母结构的组合或复合，形成复杂结构。合，形成复杂结构。不同的数学就是结构不同不同的数学就是结构不同。 例如例如 所谓实数直线所谓实数直线R，就是由全体实数构成的，就是由全体实数构成的一维欧氏空间我们将看到，一维欧氏空间我们将看到，R是一个完备的阿基是一个完备的阿基米德全序域它是由代数结构米德全序域它是由代数结构(域域)、序结构、序结构(全序全序)、拓扑结构拓扑结构(完备性结构完备性结构)形成的分支结构形成的分支结构 2021/5/2233数学是普适的数

34、学是普适的原型原型=集合集合+结构结构数学数学 = 集合集合 + 结构结构2.3 数学的普适性数学的普适性原型：具体的元素与部件具体的结构原型：具体的元素与部件具体的结构数学：抽象的元素抽象的结构数学：抽象的元素抽象的结构数学研究的内容决定了数学的普适性！数学研究的内容决定了数学的普适性！应用应用2021/5/2234 科学序与物质世界的形成科学序与物质世界的形成(普适性的物质基础普适性的物质基础)科学的依存关系：科学的依存关系：社会科学社会科学由生命体组成由生命体组成生命科学生命科学生命由细胞、蛋白质组成生命由细胞、蛋白质组成化学科学化学科学分子、大分子、原子团簇分子、大分子、原子团簇物理科

35、学物理科学基于基本粒子组成的各种物质形态基于基本粒子组成的各种物质形态数学数学物质的起源物质的起源霍金：如果广义相对论成立，则任何合理的宇宙模型都起霍金：如果广义相对论成立，则任何合理的宇宙模型都起始于一个奇点（数学点！）始于一个奇点（数学点！）目前最好的宇宙论！目前最好的宇宙论！2021/5/22352.4 什么是数学模型什么是数学模型“定义定义”：模型模型原型结构的适当表示；原型结构的适当表示；数学：集合数学：集合+结构，数学是研究结构的，结构，数学是研究结构的，数学模型：原型结构的数学表示。数学模型：原型结构的数学表示。“定义定义” 如何建模？如何建模？2021/5/22363. 结构化

36、数学建模程序结构化数学建模程序利用数学理论分析、计算、推演，求得问题的解利用数学理论分析、计算、推演，求得问题的解或产生新的结构或产生新的结构 揭示新的专业结构。揭示新的专业结构。数学语言表示的结构数学语言表示的结构数学模型数学模型专业语言描述结构专业语言描述结构专业模型专业模型分析出原型的结构，并用数学语言表示其结构。分析出原型的结构，并用数学语言表示其结构。一般流程：一般流程：有些问题专业模型难，有些问题数学模型难。有些问题专业模型难，有些问题数学模型难。对原型确定目的对原型确定目的分析原型的结构分析原型的结构建立专业模型建立专业模型建立数学模型建立数学模型解数学模型解数学模型寻找对应的数

37、学结构寻找对应的数学结构2021/5/2237 Brown（1920）为转移酶反应提出了首个酶）为转移酶反应提出了首个酶促反应机理。假设反应全部是单底物的，没有逆促反应机理。假设反应全部是单底物的，没有逆反应和效应物，只包含从游离酶反应和效应物，只包含从游离酶E与底物与底物S结合形结合形成成酶底复合物酶底复合物ES的可逆过程，以及产物的可逆过程，以及产物P从酶从酶E上不可逆释放过程：上不可逆释放过程： 这是这是酶反应动力学的模型酶反应动力学的模型，描述了酶、底物、，描述了酶、底物、中间络合物和产物的连接关系，是小系统的结构。中间络合物和产物的连接关系，是小系统的结构。将这种结构用化学语言表示就

38、是原型的将这种结构用化学语言表示就是原型的化学模型化学模型。4. 结构主义分析案例（结构主义分析案例（1）：）：酶促动力学酶促动力学2021/5/2238数学建模数学建模： 用数学语言描述化学模用数学语言描述化学模型的结构，转换为数学模型。型的结构，转换为数学模型。将结构图用数学图论的方法将结构图用数学图论的方法描述，就是描述，就是网络网络：ESS EP耦合耦合 数学模型有不同的表示，区分不同视角和抽象数学模型有不同的表示，区分不同视角和抽象度，使用不同的数学语言。度，使用不同的数学语言。 例如，关注节点的动力学，可以用连续的动力例如，关注节点的动力学，可以用连续的动力系统语言，建立系统语言，

39、建立微分方程组模型微分方程组模型。2021/5/2239动力学模型的简化假设：动力学模型的简化假设：1）节点动力学原因与）节点动力学原因与“自己自己+进线方进线方”相关；相关；2）一级近似：线性。）一级近似：线性。即：即： 变化率变化率= -（出线方）（出线方）+（进线方）（进线方）ESS EP耦合耦合2021/5/2240城市表层土壤重金属污染分析城市表层土壤重金属污染分析 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、类区、2类区、类区、5类区。类区。 现对某城

40、市城区土壤地质环境进行调查。为此，现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格公里左右的网格子区域，子区域，按照每平方公里按照每平方公里1个采样点对个采样点对表层土（表层土（010 厘米厘米深度）深度）进行取样进行取样、编号，并用、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的种化学元专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的种化学元素的素的浓度数据浓度数据。另一方面，按照。另一方面，按照2公里的间距在那些远公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表离人群及工业活

41、动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。层土壤中元素的背景值。 5. 结构主义分析案例（结构主义分析案例（2）: 2011年年A题题2021/5/22415.1 问题的结构性理解与分析问题的结构性理解与分析背景信息背景信息分成分成5个功能区：个功能区：生活区、工业区、山区、主干道生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区。路区及公园绿地区。地质环境调查方法：地质环境调查方法：每平方公里每平方公里1个采样点对表层个采样点对表层土（土（010 厘米厘米深度）进行取样。深度）进行取样。问题给出的条件问题给出的条件附件附件1列出了列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功采样点的位置、海拔

42、高度及其所属功能区能区等信息，等信息，附件附件2列出了列出了8种主要重金属元素在采样点处的种主要重金属元素在采样点处的浓度浓度，附件附件3列出了列出了8种主要重金属元素的种主要重金属元素的背景值背景值。2021/5/2242问题的目标问题的目标1）8种元素浓度的种元素浓度的 空间分布，显然两种表示：分空间分布，显然两种表示：分布图和数据表。布图和数据表。2）“不同区域重金属的不同区域重金属的污染程度污染程度”首先首先是是“污染程度污染程度”的表示，这里在地质环境专业的表示，这里在地质环境专业中有多种定义和计算公式，而给出的背景值显然可中有多种定义和计算公式，而给出的背景值显然可以作为以作为“污

43、染和无污染污染和无污染”的一种划分。但是专业可的一种划分。但是专业可以有多级划分是比较好的。以有多级划分是比较好的。第二层第二层是每一种金属对于是每一种金属对于5个区的污染分析和总的个区的污染分析和总的金属污染程度的分析。金属污染程度的分析。这些分析显然是统计表格，金属污染与区域的相关这些分析显然是统计表格，金属污染与区域的相关性分析等方法。性分析等方法。算法很多，模型的味道很淡。算法很多，模型的味道很淡。2021/5/22432）污染的主要原因）污染的主要原因显然，在哪些区域，由什么物质，通过什么方式显然，在哪些区域，由什么物质，通过什么方式造成的污染？造成的污染？这里有两个相关性：金属元素

44、之间的相关性，这这里有两个相关性：金属元素之间的相关性，这种相伴污染，往往导致污染物质的发掘；第二个种相伴污染，往往导致污染物质的发掘；第二个是污染的元素与地区的是污染的元素与地区的 相关性，这是揭示什么生相关性，这是揭示什么生活与生产活动导致污染。活与生产活动导致污染。至于污染来自何处，正是下一个问题。至于污染来自何处，正是下一个问题。2021/5/22443）分析重金属污染物的分析重金属污染物的传播特征传播特征，建立模型确定，建立模型确定污染源的位置污染源的位置。这本来是最终目的，也是最困难的问题。这本来是最终目的，也是最困难的问题。分析问题的结构：分析问题的结构： 问题的目标系统是一个地

45、区的污染数据，这问题的目标系统是一个地区的污染数据，这里由已知条件给出的两个耦合的结构：区域中的里由已知条件给出的两个耦合的结构：区域中的高度分布和高度分布和8种元素的浓度分布种元素的浓度分布。 观察数据，是高度离散的结构数据！观察数据，是高度离散的结构数据！问题：在上述结构中，找一些位置，它们是污染问题：在上述结构中，找一些位置，它们是污染源。源。2021/5/2245传播特征：传播特征：传播的方式和类型，包括传播涉及的介传播的方式和类型，包括传播涉及的介质，特别是不同元素可能不同，相关的元素可能相质，特别是不同元素可能不同，相关的元素可能相同。这种思考是寻找污染源的重要基础。同。这种思考是

46、寻找污染源的重要基础。从简单的常识和物理学知识，很容易想到两类基本从简单的常识和物理学知识，很容易想到两类基本的传播模式：扩散和对流。的传播模式：扩散和对流。特别是通过查询文献几乎立马可得！特别是通过查询文献几乎立马可得！思考：污染源满足的条件？思考：污染源满足的条件？（污染源的位置（污染源的位置+污染物释放量污染物释放量+传播方式和途径）传播方式和途径）+地区三维坐标结构）的时间积累地区三维坐标结构）的时间积累=目前所测量的污染分布结构。目前所测量的污染分布结构。2021/5/22465.2 深入分析问题深入分析问题3与建模与建模1）无论是扩散还是对流，若用微分方程模型与数）无论是扩散还是对

47、流，若用微分方程模型与数据的据的高度离散不协调高度离散不协调。自然想到的是数据加密，如何加密？自然想到的是数据加密，如何加密？地理数据可以通过二维插值加密，例如地理数据可以通过二维插值加密，例如Kriging插值、Shepard插值等；浓度插值必须在地形插值基础上插值，例如，浓度插值必须在地形插值基础上插值，例如，插值插值系数与距离有关（扩散），也与高度的梯度有系数与距离有关（扩散），也与高度的梯度有关（对流）关（对流）。这些插值已经考虑了传播的机理：这些插值已经考虑了传播的机理：驱动力。驱动力。2）如果不用微分方程模型插值到比较粗的水平引）如果不用微分方程模型插值到比较粗的水平引入网络模型。

48、入网络模型。2021/5/22475.3 一个推荐的方法一个推荐的方法 通过对竞赛通过对竞赛A题所给数据进行分析可知一些重题所给数据进行分析可知一些重金属的污染是区域性的，如金属的污染是区域性的，如Cd/Pb这两种元素是八这两种元素是八种重金属中相关性最高的两种元素，污染严重区种重金属中相关性最高的两种元素，污染严重区域为工业区和交通区，源于煤、石油等燃烧、汽域为工业区和交通区，源于煤、石油等燃烧、汽车轮胎磨及含重金属工业作业。车轮胎磨及含重金属工业作业。 只讨论具有只讨论具有可孤立污染源可孤立污染源的重金属的污染源的的重金属的污染源的搜寻方法。这里界定的可孤立性，是指在污染源的搜寻方法。这里

49、界定的可孤立性，是指在污染源的一个适当的范围内只有一个源，这对于工业区中产一个适当的范围内只有一个源，这对于工业区中产生污染物的工厂的分布是比较吻合的。生污染物的工厂的分布是比较吻合的。2021/5/2248可压缩流体欧拉连续性方程的特征线的方向：可压缩流体欧拉连续性方程的特征线的方向：污染源应该在特征线上。污染源产生的重金属污染污染源应该在特征线上。污染源产生的重金属污染物随流体沿流线传播时，假设其流失比为常数，记物随流体沿流线传播时，假设其流失比为常数，记为：为： ，则未流失重金属比例为，则未流失重金属比例为 而流线上其它点重金属污染浓度增量应该为污染源而流线上其它点重金属污染浓度增量应该

50、为污染源浓度增量的浓度增量的 倍。由此可得污染源满足以下模型：倍。由此可得污染源满足以下模型：这里这里 为待估测点处的重金属浓度，流线上其它为待估测点处的重金属浓度，流线上其它点处的重金属浓度为点处的重金属浓度为 。2021/5/22491）污染源不一定是水源；）污染源不一定是水源；2）污染源在特征线上；）污染源在特征线上；3）污染源与被污染点的污染物）污染源与被污染点的污染物浓度满足上面的优化问题的解。浓度满足上面的优化问题的解。2021/5/2250 由于数据离散太粗无法计算，必须插值加密。由于数据离散太粗无法计算，必须插值加密。二维插值方法很多，但是对于高度插值，二维插值方法很多，但是对

51、于高度插值， shepard方法方法(MQS方法方法)：其中：其中：高度相关，与距离平方成反比。高度相关，与距离平方成反比。2021/5/2251 浓度插值浓度插值其中：其中：这是由于重金属物质附着在流体中传播，而流体的这是由于重金属物质附着在流体中传播，而流体的对流是由两点间高度差引起的，对流是由两点间高度差引起的，地形的梯度是流体地形的梯度是流体流动的驱动力，所以浓度插值权系数应该和高度差流动的驱动力，所以浓度插值权系数应该和高度差正相关正相关。同时，两点间距离越小两点之间浓度关系。同时，两点间距离越小两点之间浓度关系越密切，所以两点间浓度的相互影响与距离负相关。越密切，所以两点间浓度的相

52、互影响与距离负相关。2021/5/2252数值计算，从一个区域的流线出发，估测到数值计算，从一个区域的流线出发，估测到三个污染源：三个污染源：详细结果请看详细结果请看数学建模及其应用数学建模及其应用期刊上的文章。期刊上的文章。2021/5/2253B题题 交巡警服务平台的设置与调度交巡警服务平台的设置与调度6.1 问题的简述问题的简述要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基职能和警力配备基本相同本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的。由于警务资源是有限的，如何根据城市的

53、实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。的一个实际课题。试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：学模型分析研究下面的问题：6. 结构主义分析案例（结构主义分析案例（3）2021/5/2254（1）附件）附件1中的附图中的附图1给出了该市中心城区给出了该市中心城区A的交通的交通网络和现有的网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的

54、数据信息见附件图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平。请为各交巡警服务平台台分配管辖范围分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。）到达事发地。对于重大突发事件，需要调度全区对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现条交通要道实现快速全封锁快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理

55、的调度路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。方案。根据现有交巡警服务平台的根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡工作量不均衡和有些地和有些地方方出警时间过长出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加的实际情况，拟在该区内再增加2至至5个平台，请确定需要个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置增加平台的具体个数和位置。2021/5/2255（2）针对全市（主城六区）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案平台设置方案（参见附件

56、）的合理性（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给。如果有明显不合理，请给出出解决方案。解决方案。如果该市地点如果该市地点P（第（第32个节点）处发生了重大刑事个节点）处发生了重大刑事案件，在案发案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案最佳围堵方案。2021/5/22566.2 问题分析问题分析 这是一个网络结构中的若干优化问题这是一个网络结构中的若干优化问题匹匹配问题。配问题。 匹配问题模型匹配问题模型定义两个点

57、集：定义两个点集：定义以下匹配矩阵：定义以下匹配矩阵：定义匹配元素的距离：定义匹配元素的距离：2021/5/22571-1优化匹配模型：优化匹配模型： S.t2021/5/2258S.t K-1优化匹配模型优化匹配模型:2021/5/2259必要约束：设必要约束：设 是优化方案中平台是优化方案中平台j到路口到路口i的距的距离，离， 是事发路口到封锁路口的距离。是事发路口到封锁路口的距离。（2）如果该市地点）如果该市地点P发生了重大刑事案件，案发生了重大刑事案件，案件发生件发生3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，给出调度全市交逃跑。为了快速

58、搜捕嫌疑犯，给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳方案。巡警服务平台警力资源的最佳方案。基本思想：基本思想：可封锁住逃犯的路口应该满足什么条件？可封锁住逃犯的路口应该满足什么条件？在这个在这个 条件的约束下寻找最优方案。条件的约束下寻找最优方案。2021/5/2260封锁嫌疑犯的优化方法是一个游戏，取决于巧妙封锁嫌疑犯的优化方法是一个游戏，取决于巧妙的思想：的思想：1）满足约束就全是可封锁的路口；）满足约束就全是可封锁的路口；2）哪些路口是封锁的最佳路口呢？）哪些路口是封锁的最佳路口呢？ 使封锁点数最小；使封锁点数最小； 最短封锁时间；最短封锁时间； 被封锁的路口内部包含最少路口，等等。被封

59、锁的路口内部包含最少路口，等等。3）数学表达需要的封锁集合？模型化表示。）数学表达需要的封锁集合？模型化表示。2021/5/2261一个推荐的解法：一个推荐的解法：数学建模及其应用数学建模及其应用No.1发布的发布的“问题征解问题征解”，No3的推荐论文的推荐论文设P点点为犯罪犯罪发生点，生点，节点点记为t 为逃犯从逃犯从P点逃逸的某确定的点逃逸的某确定的时间，则在在t时间内内逃犯可能逃犯可能经过的的节点集，称点集，称为可能逃逸区内部（内可能逃逸区内部（内部指部指“不等不等”！）：！）： 其中逃逸速度与追捕者的运其中逃逸速度与追捕者的运动速度同，速度同，记为v。2021/5/2262 设可能逃

60、逸区域的可能逃逸区域的边界点是直接通向区域界点是直接通向区域外的内部外的内部节点，全体点，全体记为：可能逃逸区可能逃逸区I(t)的外部的外部临界集：界集：，为邻接矩接矩阵元。元。2021/5/2263但是由于犯罪但是由于犯罪报告的延告的延迟时间为c，能，能够抓捕到逃抓捕到逃犯的封犯的封锁完成所需完成所需时间应该是是t-c，则问题是：求是：求隔离方案隔离方案W，即求匹配矩，即求匹配矩阵 ，使得：，使得：1）对区域边界点）对区域边界点2）在）在1）的附加约束下，运行）的附加约束下，运行1-1优化匹配模型，优化匹配模型，满足目标函数：满足目标函数：2021/5/2264算法的基本思想算法的基本思想

61、n个节点按照与个节点按照与P点的距离大小升序排成有序集：点的距离大小升序排成有序集： 从小到大计算方案，并验证约束条件，得到第一从小到大计算方案，并验证约束条件，得到第一个完全满足方案的边界点集。个完全满足方案的边界点集。2021/5/2265四、关于竞赛的几点建议四、关于竞赛的几点建议 老师不会建模是最普遍的状况！因此老师介老师不会建模是最普遍的状况！因此老师介入竞赛多数没有好成绩入竞赛多数没有好成绩不仅违犯规则！不仅违犯规则！ 好的培训最有效，内容与方法！好的培训最有效，内容与方法！ 可持续性好成绩：提高教师建模能力和学生可持续性好成绩：提高教师建模能力和学生素质的教学内容与方法的研究：竞赛题研究。素质的教学内容与方法的研究：竞赛题研究。 在实际中发掘问题的能力培养：在实际中发掘问题的能力培养：做学问，须学问，只学答，非学问做学问，须学问，只学答，非学问 李政道李政道 2021/5/2266欢迎批评指正，欢迎讨论！欢迎批评指正，欢迎讨论！谢谢大家！谢谢大家！2021/5/2267谢谢！