《小学数学六年级奥数举一反三教师教案全204周》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学六年级奥数举一反三教师教案全204周（259页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三教师版教师版 一一些些分分数数的的分分子子与与分分母母被被施施行行了了加加减减变变化化，解解答答时时关关键键要要分分析析哪哪些些量量变变了了，哪哪些些量量没没有有变变。抓抓住住分分子子或或分分母母，或或分分子子、分分母母的的差差，或或分分子子、分分母母的的和和等等等等不不变变量量进进行行分分析析后后，再再转转化并解答。化并解答。【例题【例题1】【思路导航】【思路导航】同步教材免费视频同步教材免费视频【练习【练习1第第21周周 抓不变量解题抓不变量解题 疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】 【思路导航】【思路导航】第第21周周 抓不变量解题抓不变量解题 疯
2、狂操练二疯狂操练二【练习【练习2】第第21周周 抓不变量解题抓不变量解题 疯狂操练三疯狂操练三【例题【例题3】【思路导航】【思路导航】。【练习【练习3】第第21周周 抓不变量解题抓不变量解题 疯狂操练四疯狂操练四【例题【例题4】【思路导航】【思路导航】 【练习【练习4】第第21周周 抓不变量解题抓不变量解题 疯狂操练五疯狂操练五【例题【例题5】【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 有有些些工工程程题题中中，工工作作效效率率、工工作作时时间间和和工工作作总总量量三三者者之之间间的的数数量量关关系系很很不不明明显显，这这时时我我们们就就可可以以考考虑虑运
3、运用用一一些些特特殊殊的的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。【例例题题1】修修一一条条路路，甲甲队队每每天天修修8小小时时，5天天完完成成；乙乙队队每每天天修修10小小时时，6天天完完成成。两两队队合合作作，每每天天工工作作6小小时时，几几天天可可以完成？以完成？ 【思路导航】【思路导航】 【练习【练习1】1、 修修一一条条路路，甲甲队队每每天天修修6小小时时，4天天可可以以完完成成；乙乙队队每每天天修修8小小时时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？天完成，每天应修几小时？2、
4、一一项项工工作作，甲甲组组3人人8天天能能完完成成，乙乙组组4人人7天天也也能能完完成成。现现在在由由甲甲组组2人和乙组人和乙组7人合作，多少天可以完成？人合作，多少天可以完成？3、 货货场场上上有有一一堆堆沙沙子子，如如果果用用3辆辆卡卡车车4天天可可以以完完成成，用用4辆辆马马车车5天天可可以以运运完完，用用20辆辆小小板板车车6天天可可以以运运完完。现现在在用用2辆辆卡卡车车、3辆辆马马车车和和7辆辆小小板板车车共共同同运运两两天天后后，全全改改用用小小 板板车车运运，必必须须在在两两天天内内运运完完。问问：后后两两天天需要多少辆小板车？需要多少辆小板车？第第22周周 特殊工程问题特殊工
5、程问题 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】有有两两个个同同样样的的仓仓库库A和和B，搬搬运运一一个个仓仓库库里里的的货货物物，甲甲需需要要10小小时时，乙乙需需要要12小小时时，丙丙需需要要15小小时时。甲甲和和丙丙在在A仓仓库库，乙乙在在B仓仓库库，同同时时开开始始搬搬运运。中中途途丙丙转转向向帮帮助助乙乙搬搬运运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？【思路导航】【思路导航】【练习【练习2】第第22周周 特殊工程问题特殊工程问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】一一件件工工作作，甲甲独独做做要要20天天完完成成，乙乙独独做做要要1
6、2天天完完成成。这这件件工工作作先先由由甲甲做做了了若若干干天天，然然后后由由乙乙继继续续做做完完，从从开开始到完工共用了始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？天。这件工作由甲先做了几天？【思路导航】【思路导航】【练习【练习3】1、 一一项项工工程程，甲甲独独做做12天天完完成成，乙乙独独做做4天天完完成成。若若甲甲先先做做若若干干天天后后，由由乙乙接接着着做做余余下下的的工工程程，直直至至完完成成全全部部任任务务，这样前后共用了这样前后共用了6天，甲先做了几天？天，甲先做了几天？2、 一一项项工工程程，甲甲队队单单独独做做需需30天天完完成成，乙乙队队单单独独做做需需40天天完完成成
7、。甲甲队队单单独独做做若若干干天天后后，由由乙乙队队接接着着做做，共共用用35天天完完成成了任务。甲、乙两队各做了多少天？了任务。甲、乙两队各做了多少天？3、 一一项项工工程程，甲甲独独做做要要50天天，乙乙独独做做要要75天天，现现在在由由甲甲、乙乙合合作作，中中间间乙乙休休息息几几天天，这这样样共共用用40天天完完成成。求求乙乙休休息息的的天数。天数。第第22周周 特殊工程问题特殊工程问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲、乙乙两两人人合合作作加加工工一一批批零零件件，8天天可可以以完完成成。中中途途甲甲因因事事停停工工3天天，因因此此，两两人人共共用用了了10天天才才完完成成。如如
8、果果由由甲甲单单独独加加工工这这批批零零件件，需要多少天才能完成？需要多少天才能完成？【思路导航】【思路导航】 【练习【练习4】1、 甲甲、乙乙两两人人合合作作某某项项工工程程需需要要12天天。在在合合作作中中，甲甲因因输输请请假假5天天，因因此此共共用用15天天才才完完工工。如如果果全全部部工工程程由由甲甲单单独独去去干干，需需要要多多少少天天才才能能完完成成？2、 一一段段布布，可可以以做做30件件上上衣衣，也也可可做做48条条裤裤子子。如如果果先先做做20件件上上衣衣后后，还可以做多少条裤子？还可以做多少条裤子？3、 一一项项工工程程，甲甲、乙乙合合作作6小小时时可可以以完完成成，同同时
9、时开开工工，中中途途甲甲通通工工了了2.5小小时时，因因此此，经经过过7.5小小时时才才完完工工。如如果果这这项项工工程程由由甲甲单单独独做做需需要要多多少少小时？小时？4、 一一项项工工程程，甲甲先先单单独独做做2天天，然然后后与与乙乙合合作作7天天，这这样样才才完完成成全全工工程程的的一一半半，已已知知甲甲、乙乙工工作作效效率率的的比比是是3：2，如如果果这这件件工工作作由由乙乙单单独独做做，需要多少天才能完成？需要多少天才能完成？第第22周周 特殊工程问题特殊工程问题 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】放放满满一一个个水水池池的的水水，如如果果同同时时开开放放号号阀阀门门，15小小时时放
10、放满满；如如果果同同时时开开放放号号阀阀门门，12小小时时可可以以放放满满；如如果果同同时时开开放放号号阀阀门门，8小小时时可可以以放放满满。问问：同同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 周周期期工工程程问问题题中中，工工作作时时工工作作人人员员（或或物物体体）是是按按一一定定顺顺序序轮轮流流交交替替工工作作的的。解解答答时时，首首先先要要弄弄清清一一个个循循环环周周期期的的工工作作量量，利利用用周周期期性性规规律律，使使貌貌似似复复杂杂的的问问题题迅迅速速地地化化难难
11、为为易易。其其次次要要注注意意最最后后不不满满一一个个周周期期的的部部分分所所需需的的工工作作时时间间，这这样样才能正确解答。才能正确解答。【例例题题1】一一项项工工程程，甲甲单单独独做做需需要要12小小时时，乙乙单单独独做做需需要要18小小时时。若若甲甲做做1小小时时后后乙乙接接替替甲甲做做1小小时时，再再由由甲甲接接替替乙乙做做1小小时时两两人人如如此此交交替替工工作作，问问完完成成任任务务时时需需共共用用多多少少小小时时？ 【思路导航】【思路导航】【练习【练习1】1、一一项项工工程程，甲甲单单独独做做要要6小小时时完完成成，乙乙单单独独做做要要10小小时时完完成成。如如果果按按甲甲、乙乙
12、；甲甲、乙乙的的顺顺序序交交替替工工作作，每每次次1小小时时，需需要要多多少少小小时时才才能能完完成？成？2、一一部部书书稿稿，甲甲单单独独打打字字要要14小小时时，乙乙单单独独打打字字要要20小小时时。如如果果先先由由甲甲打打1小小时时，然然后后由由乙乙接接替替甲甲打打1小小时时；再再由由甲甲接接替替乙乙打打1小小时时两两人人如如此此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？3、一一项项工工作作，甲甲单单独独完完成成要要9小小时时，乙乙单单独独完完成成要要12小小时时。如如果果按按照照甲甲、乙乙；甲甲、乙乙的的顺顺序序轮轮流流工工作作，每每人人每每次次工工作
13、作1小小时时，完完成成这这项项工工程程的的2/3共要多少时间？共要多少时间？同步教材免费视频同步教材免费视频第第23周周 周期工程问题周期工程问题 疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】【练习【练习2】第第23周周 周期工程问题周期工程问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】 一一批批零零件件，如如果果第第一一天天甲甲做做，第第二二天天乙乙做做，这这样样交交替替轮轮流流做做，恰恰好好用用整整数数天天数数完完成成。如如果果第第一一天天乙乙做做，第第二二天天甲甲做做，这这样样交交替替轮轮流流做做，做做到到上上次次轮轮流流完完成成时时所所用用的的天天数数后后，还还剩剩60个个不
14、不能能完完成成。已已知知甲甲、乙乙工工作效率的比是作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？。甲、乙每天各做多少个？【思路导航】【思路导航】由由题题意意可可以以推推出出“甲甲先先”的的轮轮流流方方式式，完完成成时时所所用用的的天天数数为为奇奇数数，否否则则不不论论“甲甲先先”还还是是“乙乙先先”，两两种种轮轮流流方方式式完完成成的的天天数数必必定定相相同同。根根据据“甲先甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲甲 乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲 乙剩乙剩60个个竖竖线线左左边边做做的的天天数数为为偶偶数数，谁
15、谁先先做做没没关关系系。竖竖线线右右边边可可以以看看出出，剩剩下下的的60个零件就是甲、乙工作效率的差。个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数为：甲每天做的个数为：60（5-3）5=150（个）（个） 乙每天做的个数为：乙每天做的个数为：60（5-3）3=90（个）（个）【练习【练习3】第第23周周 周期工程问题周期工程问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】打打印印一一部部稿稿件件，甲甲单单独独打打要要12小小时时完完成成，乙乙单单独独打打要要15小小时时完完成成。现现在在，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流工工作作。甲甲工工作作1小小时时，乙乙工工作作2小小时时；甲甲工工作作2小小时时，乙乙
16、工工作作1小小时时；甲甲工工作作1小小时时，乙乙工工作作2小小时时如如此此这这样样交交替替下下去去，打印这部书稿共要多少小时？打印这部书稿共要多少小时？【思路导航】【思路导航】【练习【练习4】1、一一个个水水池池安安装装了了甲甲、乙乙两两根根进进水水管管。单单开开甲甲管管，24分分钟钟能能包包空空池池灌灌满满；单单开开乙乙管管，18分分钟钟能能把把空空池池灌灌满满。现现在在，甲甲、乙乙两两管管轮轮流流开开放放，按按照照甲甲1分分钟钟，乙乙2分分钟钟，甲甲2分分钟钟，乙乙1分分钟钟，甲甲1分分钟钟，乙乙2分分钟钟如如此此交交替替下下去，灌满一池水共需几分钟？去，灌满一池水共需几分钟？2、一一件件
17、工工作作，甲甲单单独独做做，需需12小小时时完完成成；乙乙单单独独做做需需15小小时时完完成成。现现在在，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流工工作作，甲甲工工作作2小小时时，乙乙工工作作1小小时时；甲甲工工作作1小小时时，乙乙工工作作2小小时时；甲甲工工作作2小小时时，乙乙工工作作1小小时时如如此此交交替替下下去去，完完成成这这件件工工作作共需多少小时？共需多少小时？3、一一项项工工程程，甲甲工工程程队队单单独独做做完完要要150天天，乙乙工工程程队队单单独独做做完完需需180天天。两两队队合合作作时时，甲甲队队做做5天天，休休息息2天天，乙乙队队做做6天天，休休息息1天天。完完成成这这项项工工程要多
18、少天？程要多少天？同步教材免费视频同步教材免费视频第第23周周 周期工程问题周期工程问题 疯狂操练五疯狂操练五【例题【例题5】【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 【例题【例题1】 【思路导航】【思路导航】 【练习【练习1】第第24周周 比较大小比较大小 疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】 。【练习【练习2】第第24周周 比较大小比较大小 疯狂操练三疯狂操练三【例题【例题3】【思路导航】【思路导航】【练习【练习3】第第24周周 比较大小比较大小 疯狂操练四疯狂操练四【例题【例题4】【思路导航】【思路导航】【练习【练习4】第第
19、24周周 比较大小比较大小 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】 图图241中中有有两两个个红红色色的的正正方方形形，两两个个蓝蓝色色的的正正方方形形，它它们们的的面面积积已已在在图图中中标标出出（单单位位：平平方方厘厘米米）。问问：红红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 人人们们碰碰到到的的各各种种优优化化问问题题、高高效效低低耗耗问问题题，最最终终都都表表现现为为数数学学上上的的极极值值问问题题，即即小小学学阶阶段段的的最最大大最最小小问问题题。最最大
20、大最最小小问问题题设设计计到到的的知知识识多多，灵灵活活性性强强，解解题题时时要要善善于于综综合合运运用用所所学的各种知识。学的各种知识。同步教材免费视频同步教材免费视频【例题【例题1】 【思路导航】【思路导航】 【练习【练习1】第第25周周 最大最小问题最大最小问题 疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】 【练习【练习2】第第25周周 最大最小问题最大最小问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】如如果果两两个个四四位位数数的的差差等等于于8921，就就是是说说这这两两个个四四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？【思路导
21、航】【思路导航】在在这这些些数数对对中中，被被减减数数最最大大是是9999，此此时时减减数数是是999989211078，被被减减数数和和剑剑术术同同时时减减去去1后后，又又得得到到一一个个满满足足题题意意条条件件的的四四位位数数对对。为为了了保保证证减减数数是是四四位位数数，最最多多可可以以减减去去78，因此，这样的数对共有，因此，这样的数对共有78+179个。个。 答：这样的数对共有答：这样的数对共有79个。个。【练习【练习3】1、两两个个四四位位数数的的差差是是8921。这这两两个个四四位位数数的的和和的的最最大大值值是是多少？多少？2、如如果果两两个个三三位位数数的的和和是是525，就
22、就说说这这两两个个三三位位数数组组成成一一个个数数对对。那那么么这这样样的的数数对对共共有有多多少少个个？组组成成这这样样的的数数对对的的两两个个数的差最小是多少？最大是多少？数的差最小是多少？最大是多少？3、如如果果两两个个四四位位数数的的差差是是3456，就就说说这这两两个个数数组组成成一一个个数数对对。那那么么，这这样样的的数数对对共共有有多多少少个个？组组成成这这样样的的数数对对的的两两个个数的和最大是多少？最小是多少？数的和最大是多少？最小是多少？第第25周周 最大最小问题最大最小问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】三三个个连连续续自自然然数数，后后面面两两个个数数的的积积与与前
23、前面面两两个个数数的的积之差是积之差是114。这三个数中最小的是多少？。这三个数中最小的是多少？【思路导航】【思路导航】 因因为为：最最大大数数中中间间数数最最小小数数中中间间数数114，即即：（最最大大数最小数）数最小数）中间数中间数114而而三三个个连连续续自自然然数数中中，最最大大数数最最小小数数2，因因此此，中中间间数数是是114257，最小数是，最小数是57156 答：最小数是答：最小数是56。【练习【练习4】第第25周周 最大最小问题最大最小问题 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】三三个个数数字字能能组组成成6个个不不同同的的三三位位数数。这这6个个三三位位数数的和是的和是2886
24、。求所有这样的。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。个三位数中的最小的三位数。【思路导航】【思路导航】因因为为三三个个数数字字分分别别在在百百位位、十十位位、个个位位各各出出现现了了2次次。所所以以，2886222能得到三个数字的和。能得到三个数字的和。设三个数字为设三个数字为a、b、c，那么，那么6个不同的三位数的和为个不同的三位数的和为【练习【练习5】1、有有三三个个数数字字能能组组成成6个个不不同同的的三三位位数数。这这6个个不不同同的的三三位位数数的的和和是是3108。所有这样的所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？个三位数中最大的一个是多少？2、有有三三个个数数字字能能组组成成
25、6个个不不同同的的三三位位数数。这这6个个不不同同的的三三位位数数的的和和是是2220。所有这样的所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？个三位数中最小的一个是多少？3、用用a、b、c能能组组成成6个个不不同同的的三三位位数数。这这6个个三三位位数数相相加加的的和和是是2886。已已知知a、b、c三三个个数数字字中中，最最大大的的数数字字是是最最小小数数字字的的2倍倍，这这6个个三三位位数数中中最小的数是多少？最小的数是多少？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 在在做做一一件件事事情情时时，要要分分几几步步完完成成，而而在在完完成成每每一一步步时时又又有有几几种种不不同同的的方方法法，要
26、要知知道道完完成成这这件件事事一一共共有有多多少少种种方方法法，就就用用乘乘法法原原理理来来解解决决。做做一一件件事事时时有有几几类类不不同同的的方方法法，而而每每一一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。【例题【例题1 1】 由数字由数字0 0，1 1，2 2，3 3组成三位数，问：组成三位数，问：可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？ 【思路导航】【思路导航】在在确确定定组组成成三三位位数数的的过过程程中中，应应该该一一位位一一位位地地去去确确定定，所
27、所以以每每个个问问题题都都可以分三个步骤来完成。可以分三个步骤来完成。要要求求组组成成不不相相等等的的三三位位数数，所所以以数数字字可可以以重重复复使使用用。百百位位上上不不能能取取0 0，故故有有3 3种种不不同同的的取取法法：十十位位上上有有4 4种种取取法法，个个位位上上也也有有4 4种种取取法法，由由乘乘法法原原理共可组成理共可组成3 34 44=484=48个不相等的三位数。个不相等的三位数。要要求求组组成成的的三三位位数数没没有有重重复复数数字字，百百位位上上不不能能取取0 0，有有三三种种不不同同的的取取法法，十十位位上上有有三三种种不不同同的的取取法法，个个位位上上有有两两种种
28、不不同同的的取取法法，由由乘乘法法原原理理共共可可组成组成3 33 32=182=18个没有重复数字的三位数。个没有重复数字的三位数。 【练练习习1】1、有有数数字字1，2，3，4，5，6共共可可组组成成多多少少个个没没有有重重复复数数字字的四位奇数？的四位奇数？2、在在自自然然数数中中，用用两两位位数数做做被被减减数数，一一位位数数做做减减数数，共共可可组组成成多多少少个个不不同的减法算式？同的减法算式？3、由数字、由数字1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个：，可组成多少个：三三位位数数三三位位偶偶数数；没没有有重重复复数数字字的的三三位位偶偶数数；百百位位是是8的的没没有有重复数字
29、的三位数；重复数字的三位数；百位是百位是8的的 没有重复数字的三位偶数。没有重复数字的三位偶数。第第26周周 乘法和加法原理乘法和加法原理 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】有有两两个个相相同同的的正正方方体体，每每个个正正方方体体的的六六个个面面上上分分别别标标有有数数字字1，2，3，4，5，6。将将两两个个正正方方体体放放在在桌桌面面上上，向向上上的的一一面面数数字字之之和和为为偶偶数的有多少种情形？数的有多少种情形？【思路导航】【思路导航】 要要使使两两个个数数字字之之和和为为偶偶数数，就就需需要要这这两两个个数数字字的的奇奇、偶偶性性相相同同，即即两两个数字同为奇数或偶数。所以，需要分
30、两大类来考虑：个数字同为奇数或偶数。所以，需要分两大类来考虑：两个正方体向上一面同为奇数的共有两个正方体向上一面同为奇数的共有33=9（种）不同的情形；（种）不同的情形；两个正方体向上一面同为偶数的共有两个正方体向上一面同为偶数的共有33=9（种）不同的情形；（种）不同的情形；两个正方体向上一面同为偶数的共有两个正方体向上一面同为偶数的共有33+33=18（种）不同的情形（种）不同的情形【练习【练习2】1、在、在11000的自然数中，一共有多少个数字的自然数中，一共有多少个数字1？2、在、在1500的自然数中，不含数字的自然数中，不含数字0和和1的数有多少个？的数有多少个？3、十十把把钥钥匙匙
31、开开十十把把锁锁，但但不不知知道道哪哪把把钥钥匙匙开开哪哪把把锁锁，问问最最多多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？4、由由数数字字0，1，2，3，4可可以以组组成成多多少少个个没没有有重重复复数数字字的的三三位偶数？位偶数？第第26周周 乘法和加法原理乘法和加法原理 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】书书架架上上层层有有6本本不不同同的的数数学学书书，下下层层有有5本本不不同同的的语语文文书书，若若任任意意从从书书架架上上取取一一本本数数学学书书和和一一本本语语文文书书，有有多多少种不同的取法？少种不同的取法？【思路导航】【思路导航】 从从书书架架上上任任取取
32、一一本本数数学学书书和和一一本本语语文文书书，可可分分两两个个步步骤骤完完成成，第第一一步步先先取取数数学学书书，有有6种种不不同同的的方方法法，而而这这6种种的的每每一一种种取取出出后后，第第二二步步再再取取语语文文书书，又又有有5种种不不同同的的取取法法，这这样样共共有有6个个5种种取取法法，应应用用乘乘法法计计算算65=30（种种），有有30种种不不同同的取法。的取法。【练练习习3】1、商商店店里里有有5种种不不同同的的儿儿童童上上衣衣，4种种不不同同的的裙裙子子，妈妈妈妈准准备为女儿买上衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？备为女儿买上衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同
33、的选法？2、小小明明家家到到学学校校共共有有5条条路路可可走走，从从学学校校到到少少年年宫宫共共有有3条条路路可可走走。小小明明从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？3、张张师师傅傅到到食食堂堂吃吃饭饭，主主食食有有2种种，副副食食有有6种种，主主、副副食食各各选选一一种种，他他有几种不同的选法？有几种不同的选法？第第26周周 乘法和加法原理乘法和加法原理 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】 在在2，3，5，7，9这这五五个个数数字字中中，选选出出四四个个数数字字，组成被组成被3除余除余2的四位数，这样的四位数有多少个？的四
34、位数，这样的四位数有多少个？【思路导航】【思路导航】从从五五个个数数字字中中选选出出四四个个数数字字，即即五五个个数数字字中中要要去去掉掉一一个个数数字字，由由于于原原来来五五个个数数字字相相加加的的和和除除以以3余余2，所所以以去去掉掉的的数数字字只只能能是是3或或9。去去掉掉的的数数字字为为3时时，即即选选2，5，7，9四四个个数数字字，能能排排出出4321=24（个个）符符合合要要求求的的数数，去去掉掉的的数数字字为为9时时也也能能排排出出 24个个 符符 合合 要要 求求 得得 数数 ， 因因 此此 这这 样样 的的 四四 位位 数数 一一 共共 有有24+24=48（个）（个）【练练
35、习习4】1、在在1，2，3，4，5这这五五个个数数字字中中，选选出出四四个个数数字字组组成成被被3除余除余2的四位数，这样的四位数有多少个？的四位数，这样的四位数有多少个？2、在在1，2，3，4，5这这五五个个数数字字中中，选选出出四四个个数数字字组组成成能能被被3整整除除的的四四位位数，这样的四位数有多少个？数，这样的四位数有多少个？3、在在1，4，5，6，7这这五五个个数数字字中中，选选出出四四个个数数字字组组成成被被3除除余余1的的四四位位数，这样的四位数有多少个？数，这样的四位数有多少个？第第26周周 乘法和加法原理乘法和加法原理 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】从从学学校校到到少少
36、年年宫宫有有4条条东东西西的的马马路路和和3条条南南北北的的马马路路相相通通（如如图图），小小明明从从学学校校出出发发到到少少年年宫宫（只只许许向向东东或或向向南南行行进进），最最后后有有多多少少种种走走法？法？【思路导航】【思路导航】 为为了了方方便便解解答答，把把图图中中各各点点用用字字母母表表示示如如图图。根根据据小小明明步步行行规规则则，显显然然可可知知由由A到到T通通过过AC边边上上的的各各点点和和AN边边上上的的各各点点只只有有一一条条路路线线，通通过过E点点有有两两条条路路线线（即即从从B点点、D点点来来各各一一条条路路线线），通通过过H点点有有3条条路路线线（即即从从E点点来来
37、有有二二条条路路线线，从从G点点来来有有一一条条路路线线），这这样样推推断断可可知知通通过过任任何何一一个个交交叉叉点点的的路路线线总总数数等等于于通通过过该该点点左左边边、上上方方的的两两邻邻接接交交叉叉点点的的路路线线的的总总和和，因因此此，可可求求得得通通过过S点点有有4条条路路线线，通通过过F点点有有3条条路路线线由由此此可可见见，由由A点点通通过过T点点有有10条条不不同同的的路路线线，所所以以小小明明从从学学校校到到少少年年宫宫最最多多有有10种种走法。走法。【练练习习5】1、从从学学校校到到图图书书馆馆有有5条条东东西西的的马马路路和和5条条南南北北的的马马路路相相通通（如如图图
38、）。李李菊菊从从学学校校出出发发步步行行到到图图书书馆馆（只只许许向向东东或或向向南南行行进进），最最多有多少种走法？多有多少种走法？2、某某区区的的街街道道非非常常整整齐齐（如如图图），从从西西南南角角A处处走走到到东东北北角角B处处，要要求求走最近的路，一共有多少种不同的走法？走最近的路，一共有多少种不同的走法？3、如如图图有有6个个点点，9条条线线段段，一一只只小小虫虫从从A点点出出发发，要要沿沿着着某某几几条条线线段段爬爬到到F点点。行行进进中中，同同一一个个点点或或同同一一条条线线段段只只能能经经过过一一次次，这这只只小小虫虫最最多多有有多少种不同的走法？多少种不同的走法？六年级六年
39、级 数学数学 举一反三举一反三 小小学学阶阶段段所所学学的的立立体体图图形形主主要要有有四四种种长长方方体体、正正方方体体、圆圆柱柱体体和和圆圆锥锥体体。从从平平面面图图形形到到立立体体图图形形是是认认识识上上的的一一个个飞飞跃跃，需需要要有有更更高高水水平平的的空空间间想想象象能能力力。因因此此，要要牢牢固固掌掌握握这这些些几几何何图图形形的的特特征征和和有有关关的的计计算算方方法法，能能将将公公式式作作适适当当的的变变形形，养养成成“数数、形形”结结合合的的好好习习惯惯，解解题题时时要要认认真真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的
40、表面积问题时，要注意以下几点：在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。的面积都相等，每个面都是正方形的特点。（2）把把一一个个立立体体图图形形切切成成两两部部分分，新新增增加加的的表表面面积积等等于于切切面面面面积积的的两两倍倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。（3）若若把把几几个个长长方方体体拼拼成成一一个个表表面面积积最最大大的的长长方方体体，应应把把它它们们最最小小的的面面拼拼合合起起来来。若若把把几
41、几个个长长方方体体拼拼成成一一个个表表面面积积最最小小的的长长方方体体，应应把把它它们们最最大的面拼合起来。大的面拼合起来。【例例题题1】 从从一一个个棱棱长长10厘厘米米的的正正方方体体木木块块上上挖挖去去一一个个长长10厘厘米米、宽宽2厘厘米米、高高2厘厘米米的的小小长长方方体体，剩剩下下部部分分的的表表面面积积是是多少？多少？ 【思路导航】【思路导航】 这是一道开放题，方法有多种：这是一道开放题，方法有多种：按按图图27-1所所示示，沿沿着着一一条条棱棱挖挖，剩剩下下部部分分的的表表面面积积为为592平方厘米。平方厘米。按按图图27-2所所示示，在在某某个个面面挖挖，剩剩下下部部分分的的
42、表表面面积积为为632平平方厘米。方厘米。按按图图27-3所所示示，挖挖通通某某两两个个对对面面，剩剩下下部部分分的的表表面面积积为为672平方厘米。平方厘米。【练练习习1】1、从从一一个个长长10厘厘米米、宽宽6厘厘米米、高高5厘厘米米的的长长方方体体木木块块上上挖挖去一个棱长去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把把一一个个长长为为12分分米米，宽宽为为6分分米米，高高为为9分分米米的的长长方方体体木木块块锯锯成成两两个个想想同同的的小小厂厂房房体体木木块块，这这两两个个小小长长方方体体的的表表面面积积之之和和，比比原原来来长长方方
43、体体的的表表面积增加了多少平方分米？面积增加了多少平方分米？3、在在一一个个棱棱长长是是4厘厘米米的的立立方方体体上上挖挖一一个个棱棱长长是是1厘厘米米的的小小正正方方体体后后，表表面积会发生怎样的变化？面积会发生怎样的变化？第第27周周 表面积与体积表面积与体积 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】把把19个个棱棱长长为为3厘厘米米的的正正方方体体重重叠叠起起来来，如如图图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。【思思路路导导航航】要要求求这这个个复复杂杂形形体体的的表表面面积积，必必须须从从整整体体入入手手，从从上上、左左、前前
44、三三个个方方向向观观察察，每每个个方方向向上上的的小小正正方方体体各各面面就就组组合合成成了了如如下下图图形形（如图（如图27-5所示）。所示）。第第27周周 表面积与体积表面积与体积 疯狂操练二疯狂操练二而而从从另另外外三三个个方方向向上上看看到到的的面面积积与与以以上上三三个个方方向向的的面面积积是是相相等等的的。整整个个立体图形的表面积可采用（立体图形的表面积可采用（S上上+S左左+S前）前）2来计算。来计算。（339+338+3310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习2】1、用用棱棱长长是是1厘厘米米的的立立方方体体拼拼成成图图27-6所
45、所示示的的立立体体图图形形。求求这个立体图形的表面积。这个立体图形的表面积。同步教材免费视频同步教材免费视频【练练习习2】2、一一堆堆积积木木（如如图图27-7所所示示），是是由由16块块棱棱长长是是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？3、一一个个正正方方体体的的表表面面积积是是384平平方方厘厘米米，把把这这个个正正方方体体平平均均分分割割成成64个个相相等等的的小小正正方方体体。每每个个小小正正方方体体的的表表面面积积是是多多少少平方厘米？平方厘米？第第27周周 表面积与体积表面积与体积 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】
46、把把两两个个长长、宽宽、高高分分别别是是9厘厘米米、7厘厘米米、4厘厘米米的的相相同同长长方方体体，拼成一个拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？【思路导航】【思路导航】把把两两个个相相同同的的大大长长方方体体拼拼成成一一个个大大厂厂房房体体，需需要要把把两两个个相相同同面面拼拼合合，所所得得大大厂厂房房体体的的表表面面积积就就减减少少了了两两个个拼拼合合面面的的面面积积。要要使使大大长长方方体体的的表表面面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个97的面。的面。（9
47、9+94+74）22972=（63+36+28）4126=508126=382（平方厘米）（平方厘米）【练练习习3】1、把把底底面面积积为为20平平方方厘厘米米的的两两个个相相等等的的正正方方体体拼拼成成一一个个长长方体，长方体的表面积是多少？方体，长方体的表面积是多少？2、将将一一个个表表面面积积为为30平平方方厘厘米米的的正正方方体体等等分分成成两两个个长长方方体体，再再将将这这两两个个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。3、用用6块块（如如图图27-8所所示示）长长方方体体木木块块拼拼成成一一个个大大长长方方体体，有有许许多
48、多种种做做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？法，其中表面积最小的是多少平方厘米？第第27周周 表面积与体积表面积与体积 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】一一个个长长方方体体，如如果果长长增增加加2厘厘米米，则则体体积积增增加加40立立方方厘厘米米；如如果果宽宽增增加加3厘厘米米，则则体体积积增增加加90立立方方厘厘米米；如如果果高高增增加加4厘厘米米，则则体体积积增增加加96立方里，求原长方体的表面积。立方里，求原长方体的表面积。【思路导航】【思路导航】 我我们们知知道道：体体积积=长长宽宽高高；由由长长增增加加2厘厘米米，体体积积增增加加40立立方方厘厘米米，可可知知宽宽高高=402=2
49、0（平平方方厘厘米米）；由由宽宽增增加加3厘厘米米，体体积积增增加加90立立方方厘厘米米，可可知知长长高高=903=30（平平方方厘厘米米）；由由高高增增加加4厘厘米米，体体积积增增加加96立立方方厘厘米米，可可知知长长宽宽=964=24（平平方方厘厘米米）。而而长长方方体体的的表表面面积积=（长长宽宽+长长高高+宽宽高）高）2=（20+30+24）2=148（平方厘米）。即（平方厘米）。即402=20（平方厘米）（平方厘米）903=30（平方厘米）（平方厘米）964=24（平方厘米）（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米）（平方厘米）【练练习习4】1、一一个个长长方方体
50、体，如如果果长长减减少少2厘厘米米，则则体体积积减减少少48立立方方厘厘米米；如如果果宽宽增增加加5厘厘米米，则则体体积积增增加加65立立方方厘厘米米；如如果果高高增增加加4厘厘米米，则则体体积积增加增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？2、一一个个厂厂房房体体木木块块，从从下下部部和和上上部部分分别别截截去去高高为为3厘厘米米和和2厘厘米米的的长长方方体体后后，便便成成为为一一个个正正方方体体，其其表表面面积积减减少少了了120平平方方厘厘米米。原原来来厂厂房房体体的的体体积是多少立方厘米？积是多少立方厘米？3、有有一一个个厂厂房房体
51、体如如下下图图所所示示，它它的的正正面面和和上上面面的的面面积积之之和和是是209。如如果果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？第第27周周 表面积与体积表面积与体积 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】如如图图27-10所所示示，将将高高都都是是1米米，底底面面半半径径分分别别为为1.5米米、1米米和和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。【思路导航】【思路导航】 如如果果分分别别求求出出三三个个圆圆柱柱的的表表面面积积，再再减减去去重重叠叠部部分分的的面面积积，这这样样计计
52、算算比比较较麻麻烦烦。实实际际上上三三个个向向上上的的面面的的面面积积和和恰恰好好是是大大圆圆柱柱的的一一个个底底面面积积。这这样样，这这个个物物体体的的表表面面积积就就等等于于一一个个大大圆圆柱柱的的表表面面积积加加上上中中、小小圆圆柱柱的的侧侧面积。面积。3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.14（4.5+3+2+1）=3.1410.5=32.97（平方米）（平方米）【练练习习5】1、一一个个棱棱长长为为40厘厘米米的的正正方方体体零零件件（如如图图27-11所所示示）的的上上、下下两两个个面面上上，各各有有一一个个直直径径为为4厘厘米米的的圆
53、圆孔孔，孔孔深深为为10厘厘米米。求求这这个个零零件件的表面积。的表面积。2、用用铁铁皮皮做做一一个个如如图图27-12所所示示的的工工件件（单单位位：厘厘米米），需需用用铁铁皮皮多多少少平方厘米？平方厘米？3、如如图图27-13所所示示，在在一一个个立立方方体体的的两两对对侧侧面面的的中中心心各各打打通通一一个个长长方方体体的的洞洞，在在上上、下下侧侧面面的的中中心心打打通通一一个个圆圆柱柱形形的的洞洞。已已知知立立方方体体棱棱长长为为10厘厘米米，侧侧面面上上的的洞洞口口是是边边长长为为4厘厘米米的的正正方方形形，上上、下下侧侧面面的的洞洞口口是是直直径径为为4厘米的圆，求该立方体的表面积
54、和体积（厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（取取3.14）。）。六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物物体体沉沉入入水水中中，水水面面上上升升部部分分的的体体积积等等于于物物体体的的体体积积。把把物物体体从从水水中中取取出出，水水面面下下降降部部分分的的体体积积等等于于物物体体的的体体积积。这这是是物物体体全全部部浸浸没没在在水水中中的的情情况况。如如果果物物体体不不全全部部浸浸在在水水中中，那那么么派派开开水水的的体体积积就就等等于于浸浸在在水水中的那部分物体的体积。中的那部分物体的体积。（2）把
55、把一一种种形形状状的的物物体体变变为为另另一一种种形形状状的的物物体体后后，形形状状变变了了，但但它它的的体体积保持不变。积保持不变。（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。（4）求求与与体体积积相相关关的的最最大大、最最小小值值时时，要要大大胆胆想想象象，多多思思考考、多多尝尝试试，防止思维定势。防止思维定势。【例例题题1】 有有大大、中中、小小三三个个正正方方体体水水池池，它它们们的的内内边边长长分分别别为为6米米、3米米、2米米。把把两两堆堆碎碎石石分分别别沉沉在在中中、小小水水池池里里，两两个个水水池池水水面面分分别别
56、升升高高了了6厘厘米米和和4厘厘米米。如如果果将将这这两两堆堆碎碎石石都都沉沉在在大大水水池池里里，大大水水池池的的水水面面升升高高多少厘米？多少厘米？ 【思路导航】【思路导航】 中中、小小水水池池升升高高部部分分是是一一个个长长方方体体，它它的的体体积积就就等等同同于于碎碎石石的的体体积积。两两个个 水水 池池 水水 面面 分分 别别 升升 高高 了了 6厘厘 米米 和和 4厘厘 米米 ， 两两 堆堆 碎碎 石石 的的 体体 积积 就就 是是330.06+220.04=0.7（立立方方米米）。把把它它沉沉到到大大水水池池里里，水水面面升升高高部部分的体积也就是分的体积也就是0.7立方米，再除
57、以它的底面积就能求得升高了多少厘米。立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。330.06+220.04=0.7（立方米）（立方米）0.76的平方的平方=7/360（米）（米）=1又又17/18（厘米）（厘米）【练练习习1】1、有有大大、中中、小小三三个个正正方方体体水水池池，它它们们的的内内边边长长分分别别为为4米米、3米米、2米米。把把两两堆堆碎碎石石分分别别沉沉没没在在中中、小小水水池池的的水水中中，两两个个水水池池的的水水面面分分别别升升高高了了4厘厘米米和和11厘厘米米，如如果果将将这这两两堆堆碎碎石石都都沉沉没没在在大大水水池池中中，那那么么大水池水面将升高多少厘米？大水池水
58、面将升高多少厘米？2、用用直直径径为为20厘厘米米的的圆圆钢钢，锻锻造造成成长长、宽宽、高高分分别别为为30厘厘米米、20厘厘米米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？厘米）？3、将将表表面面积积为为54平平方方厘厘米米、96平平方方厘厘米米、150平平方方厘厘米米的的三三个个铁铁质质正正方方体熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。体熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。第第28周周 表面积和体积表面积和体积 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】 一一个个底底面面半半径径是是10厘厘米米的的圆圆柱柱形形瓶
59、瓶中中，水水深深8厘厘米米，要要在在瓶瓶中中放放入入长长和和宽宽都都是是8厘厘米米、高高是是15厘厘米米的的一一块块铁铁块块，把把铁铁块块竖竖放放在在水水中中，水水面上升几厘米？面上升几厘米？【思思路路导导航航】在在瓶瓶中中放放铁铁块块要要考考虑虑铁铁块块是是全全部部沉沉入入水水中中，还还是是部部分分沉沉入入水水中中。如如果果铁铁块块是是全全部部沉沉入入水水中中，排排开开水水的的体体积积是是8815=960（立立方方厘厘米米）。而而现现在在瓶瓶中中水水深深是是8厘厘米米，要要淹淹没没15厘厘米米高高的的铁铁块块，水水面面就就要要上上升升158=7（ 厘厘 米米 ） ， 需需 要要 排排 开开
60、水水 的的 体体 积积 是是 （ 3.14101088）7=1750（立立方方厘厘米米），可可知知铁铁块块是是部部分分在在水水中中。当当铁铁块块放放入入瓶瓶中中后后，瓶瓶中中水水所所接接触触的的底底面面积积就就是是3.14101088=250（平平方方厘厘米米）。水水的的形形状状变变了了，但但体体积积还还是是3.1410108=2512（立立方方厘厘米米）。水水的的高高度是度是2512250=10.048（厘米），上升（厘米），上升10.0488=2.048（厘米）（厘米）3.1410108（3.14101088）8=25122508=10.0488=2.048（厘米）（厘米）【练练习习2】1
61、、一一个个底底面面积积是是15平平方方厘厘米米的的玻玻璃璃杯杯中中装装有有高高3厘厘米米的的水水。现现把把一一个个底底面面半半径径是是1厘厘米米、高高5厘厘米米的的圆圆柱柱形形铁铁块块垂垂直直放放入入玻玻璃璃杯杯水水中中，问问水面升高了多少厘米（水面升高了多少厘米（取取3）？）？2、一一个个圆圆柱柱形形玻玻璃璃杯杯内内盛盛有有水水，水水面面高高2.5厘厘米米，玻玻璃璃杯杯内内侧侧的的底底面面积积市市2平平方方里里。在在这这个个杯杯中中放放进进棱棱长长6厘厘米米的的正正方方形形铁铁块块后后，水水面面没没有有淹淹没没铁铁块块，这时水面高多少厘米？这时水面高多少厘米？3、在在底底面面是是边边长长为为
62、60厘厘米米的的正正方方形形的的一一个个长长方方形形容容器器里里，直直立立放放着着一一个个长长100厘厘米米、底底面面边边长长为为15厘厘米米的的正正方方形形的的四四棱棱柱柱铁铁棍棍。这这时时容容器器里里的的水水50厘厘米米深深。现现在在把把铁铁棍棍轻轻轻轻地地向向上上方方提提起起24厘厘米米，露露出出睡睡眠眠的的四四棱棱柱柱铁铁棍棍浸浸湿部分长多少厘米？湿部分长多少厘米？第第28周周 表面积和体积表面积和体积 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】某某面面粉粉厂厂有有一一容容积积是是24立立方方米米的的长长方方体体储储粮粮池池，它它的的长长是是宽宽或或高高的的2倍倍。当当贴贴着着它它一一最最大大
63、的的内内侧侧面面将将面面粉粉堆堆成成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积？一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积？第第28周周 表面积和体积表面积和体积 疯狂操练三疯狂操练三【思路导航】【思路导航】设设圆圆锥锥体体的的底底面面半半径径是是r，则则长长方方体体的的高高和和宽宽也也都都是是r，长长是是2r。长长方方体体的的容容积积是是2rrr=24，即即r的的立立方方=12。这这个个半半圆圆锥锥体体的的体体积积是是1/3r的的平平方方r2=1/6r的立方，将的立方，将r的立方的立方=12代入，就可以求得面粉的体积。代入，就可以求得面粉的体积。设圆锥体的底面半径是设圆锥体的底面半径是r，则长方体的
64、容积是，则长方体的容积是2rrr=24，r的立方的立方=12。1/33.14r的平方的平方r2=1/63.14r的立方的立方=1/63.1412=6.28（立方米）（立方米）【练练习习3】1、已已知知一一个个圆圆锥锥体体的的底底面面半半径径和和高高都都等等于于一一正正方方体体的的棱棱长长，这个正方体的体积是这个正方体的体积是216立方分米。求这个圆锥体的体积。立方分米。求这个圆锥体的体积。2、一一个个正正方方体体的的纸纸盒盒中中如如图图28-2所所示示，恰恰好好能能装装入入一一个个体体积积6.28立立方方厘厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大（米的圆柱体。纸盒的容积有多大（取取3.14）？）？3、如
65、如图图28-3所所掷掷，圆圆锥锥形形容容器器中中装装有有3升升水水，水水面面告告诉诉正正好好是是圆圆锥锥高高读读的的一半。这个容器还能装多少水？一半。这个容器还能装多少水？第第28周周 表面积和体积表面积和体积 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】如如果果把把12件件同同样样的的长长方方体体物物品品打打包包，形形成成一一件件大大的的包包装装物物，有有几几种种包包装装方方法法？怎怎样样打打包包物物体体的的表表面面积积最最小小呢呢？第第28周周 表面积和体积表面积和体积 疯狂操练四疯狂操练四 设设长长方方体体物物品品的的长长、宽宽、高高分分别别是是a、b、c，并并且且abc（入入土土28-4）。比比
66、较较“34”和和“26”两两种种包包法法。图图28-5中中大大长长方方体体表表面面积积为为6ab+8ac+24bc，图图28-6中中大大长长方方体体的的表表面面积积为为4ab+12ac+24bc，两两个个式式子子中中都都曲曲调调相相同同的的部部分分4ab+8ac+24bc后后，式式与与式式的的大大小小要要看看2ab与与4ac的的大大小小。（1）当当b=2c时时，2ab=￥ac，两两种种包包法法相相同同。（2）当当b2c时时，“34”的的包包法法表表面面积积最最小小。（3）当当b2c时时，“26”的包法表面积最小。的包法表面积最小。【练练习习4】1、如如果果把把长长8厘厘米米，宽宽7厘厘米米，高
67、高3厘厘米米的的2件件同同样样的的长长方方体体物物品品打打包包，形形成成一一件件大大的的包包装装物物，有有几几种种包包装装方方法法？怎怎样样打打包包，物物体体的的表面积最小？表面积最小？2、一一个个精精美美小小礼礼品品盒盒的的形形状状是是长长9厘厘米米，宽宽6厘厘米米，高高4厘厘米米的的长长方方体体。请请你你帮帮厂厂家家设设计计一一个个能能装装10个个小小礼礼品品盒盒的的大大纸纸箱箱，你你觉觉得得怎怎样样设设计计比比较较合理？为什么？合理？为什么？3、一一包包香香烟烟的的形形状状是是长长方方体体，它它的的长长是是9厘厘米米，宽宽是是5厘厘米米，高高是是2厘厘米米。把把10 包包香香烟烟包包装装
68、在在一一起起形形成成一一个个大大长长方方体体，称称为为一一条条。可可以以怎怎样样包包装装？算算一一算算需需要要多多少少包包装装纸纸（包包转转念念能能够够纸纸的的重重叠叠部部分分忽忽略略不不计计）。你你认认为为哪一种包装比较合理？哪一种包装比较合理？第第28周周 表面积和体积表面积和体积 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】一一只只集集装装箱箱，它它的的内内尺尺寸寸是是181818。现现在在有有批批货货箱箱，它它的的外尺寸是外尺寸是149。问这只集装箱能装多少只货箱？。问这只集装箱能装多少只货箱？【思路导航】【思路导航】 因因为为集集装装箱箱内内尺尺寸寸18不不是是货货箱箱尺尺寸寸4的的倍倍数数，
69、所所以以，只只能能先先在在181618的的空空间间放放货货箱箱，可可放放181618（149）=144（只只）。这这时时还还有有18218的的 空空 间间 ， 但但 只只 能能 在在 18216的的 空空 间间 放放 货货 箱箱 ， 可可 放放18216（149）=16（只只）。最最后后剩剩下下1822的的空空间间无无法法再再放放货货箱箱，所以最多能装所以最多能装144+16=160（只）。（只）。181618（149）+18216（149）=144+16=160（只）（只）【练练习习5】1、有有一一个个长长方方体体的的盒盒子子，从从里里面面量量长长为为40厘厘米米、宽宽为为12厘厘米米、高高
70、为为7厘厘米米。在在这这个个盒盒子子里里放放长长5厘厘米米、宽宽4厘厘米米、高高3厘厘米米的的长长方方体体木块，最多可放几块？木块，最多可放几块？2、从从一一个个长长、宽宽、高高分分别别为为21厘厘米米、15厘厘米米、12厘厘米米的的厂厂房房体体上上面面，尽尽可可能能大大地地切切下下一一个个正正方方体体，然然后后从从剩剩余余的的部部分分再再尽尽可可能能大大地地切切下下一一个个正正方方体体，最最后后再再从从第第二二次次剩剩余余的的部部分分尽尽可可能能大大地地切切下下一一个个正正方方体体，剩剩下下的的体积是多少立方厘米？体积是多少立方厘米？3、现现有有一一张张长长40厘厘米米、宽宽20厘厘米米的的
71、长长方方形形铁铁皮皮，请请你你用用它它做做一一只只深深是是5厘厘米米的的长长方方体体无无盖盖铁铁皮皮盒盒（焊焊接接处处及及铁铁皮皮厚厚度度不不计计，容容积积越越大大越越好好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 如如果果给给你你5盒盒饼饼干干，让让你你把把它它们们放放到到4个个抽抽屉屉里里，那那么么可可以以肯肯定定有有一一个个抽抽屉屉里里至至少少有有2盒盒饼饼干干。如如果果把把4封封信信投投到到3个个邮邮箱箱中中，那那么么可可以以肯肯定定有有一一个个邮邮箱箱中中至至少少有有2封封信信。如如果果把把3本本联联练练习习册册分
72、分给给两两位位同同学学，那那么么可可以以肯肯定定其其中中有有一一位位同同学学至至少少分分到到2本本练练习习册册。这这些些简简单单内内的的例例子子就就是是数数学学中中的的“抽屉原理抽屉原理”。基基本本的的抽抽屉屉原原理理有有两两条条：（1）如如果果把把x+k（k1）个个元元素素放放到到x个个抽抽屉屉里里，那那么么至至少少有有一一个个抽抽屉屉里里含含有有2个个或或2个个以以上上的的元元素素。（2）如如果果把把mxk（xk1）个个元元素素放放到到x个个抽抽屉屉里里，那那么么至至少少有有一一个个抽抽屉屉里里含含有有m+1个个或或更多个元素。更多个元素。利利用用抽抽屉屉原原理理解解题题时时要要注注意意区
73、区分分哪哪些些是是“抽抽屉屉”？哪哪些些是是“元元素素”？然然后后按按以以下下步步骤骤解解答答：a、构构造造抽抽屉屉，指指出出元元素素。b、把把元元素素放放入入（或或取取出出）抽屉。抽屉。C、说明理由，得出结论。、说明理由，得出结论。本周我们先来学习第（本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。）条原理及其应用。【例例题题1】某某校校六六年年级级有有学学生生367人人，请请问问有有没没有有两两个个学学生生的的生日是同一天？为什么？生日是同一天？为什么？【思路导航】【思路导航】 把把一一年年中中的的天天数数看看成成是是抽抽屉屉，把把学学生生人人数数看看成成是是元元素素。把把367个个元元素素放放到
74、到366个个抽抽屉屉中中，至至少少有有一一个个抽抽屉屉中中有有2个个元元素素，即至少有两个学生的生日是同一天。即至少有两个学生的生日是同一天。平平年年一一年年有有365天天，闰闰年年一一年年有有366天天。把把天天数数看看做做抽抽屉屉，共共366个个抽抽屉屉。把把367个个人人分分别别放放入入366个个抽抽屉屉中中，至至少少在在一一个个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。【练习【练习1】1、某某校校有有370名名1992年年出出生生的的学学生生，其其中中至至少少有有2个个学学生生的的生日是同一天，为什么？生日是同一天，为什么？
75、2、某某校校有有30名名学学生生是是2月月份份出出生生的的，能能否否至至少少有有两两个个学学生生生生日是在同一天？日是在同一天？3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？第第29周周 抽屉原理抽屉原理 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】某某班班学学生生去去买买语语文文书书、数数学学书书、外外语语书书。买买书书的的情情况况是是：有有买买一一本本的的、二二本本的的、也也有有三三本本的的，问问至至少少要要去去几几位位学学生生才才能能保保证证一一定定有有两两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？【思思路路导
76、导航航】首首先先考考虑虑买买书书的的几几种种可可能能性性，买买一一本本、二二半半、三三本本共共有有7种种类类型型，把把7种种类类型型看看成成7个个抽抽屉屉，去去的的人人数数看看成成元元素素。要要保保证证至至少少有有一一个个抽抽屉屉里里有有2人人，那那么么去去的的人人数数应应大大于于抽抽屉屉数数。所所以以至至少少要要去去7+1=8（个个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。买书的类型有：买书的类型有：买一本的：有语文、数学、外语买一本的：有语文、数学、外语3种。种。买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和
77、外语3种。种。买三本的：有语文、数学和外语买三本的：有语文、数学和外语1种。种。3+3+1=7（种种）把把7种种类类型型看看做做7个个抽抽屉屉，要要保保证证一一定定有有两两位位同同学学买买到到相相同的书，至少要去同的书，至少要去8位学生。位学生。【练练习习2】1、某某班班学学生生去去买买语语文文书书、数数学学书书、外外语语书书、美美术术书书、自自然然书书。买买书书的的情情况况是是：有有买买一一本本的的、二二本本的的、三三本本或或四四本本的的。，问问至至少少要要去去几几位位学学生生才才能能保保证证一一定定有有两两位位同同学学买买到到相相同同的的书书（每每种种书书最最多多买买一一本本）？2、学学校
78、校图图书书室室有有历历史史、文文艺艺、科科普普三三种种图图书书。每每个个学学生生从从中中任任意意借借两两本本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？3、一一只只袋袋中中装装有有许许多多规规格格相相同同但但颜颜色色不不同同的的玻玻璃璃珠珠子子，颜颜色色有有绿绿、红红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？第第29周周 抽屉原理抽屉原理 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】一一只只袋袋中中装装有有许许多多规规格格相相同同但但颜颜色色不不同同的的手手套套，颜颜
79、色色有有黑黑、红红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？副同色的？【思路导航】【思路导航】 把把四四种种不不同同的的颜颜色色看看成成是是4个个抽抽屉屉，把把手手套套看看成成是是元元素素，要要保保证证有有1副副同同色色的的，就就是是1个个抽抽屉屉里里至至少少有有2只只手手套套，根根据据抽抽屉屉原原理理，最最少少要要摸摸出出5只只手手套套。这这时时拿拿出出1副副同同色色的的后后，4个个抽抽屉屉中中还还剩剩下下3只只手手套套。再再根根据据抽抽屉屉原原理理，只要再摸出只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。只手套又能保证有
80、一副手套是同色的，以此类推。把把四四种种颜颜色色看看成成是是4个个抽抽屉屉，要要保保证证有有3副副同同色色的的，先先考考虑虑保保证证有有一一副副就就要要摸摸出出5只只手手套套。这这时时拿拿出出1副副同同色色的的后后，4个个抽抽屉屉中中还还剩剩下下3只只手手套套。根根据据抽抽屉屉原原理理，只只要要再再摸摸出出2只只手手套套又又能能保保证证有有一一副副手手套套是是同同色色的的。以以此此类类推，要保证有推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有副同色的，共摸出的手套有 5+2+2=9（只）（只）【练练习习3】1、一一只只袋袋中中装装有有许许多多规规格格相相同同但但颜颜色色不不同同的的手手套套，颜颜色色有
81、有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？副同色的？2、布布袋袋中中有有同同样样规规格格但但颜颜色色不不同同的的袜袜子子若若干干只只。颜颜色色有有白白、黑黑、蓝蓝三三种种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的？双同色的？3、一一个个布布袋袋里里有有红红、黄黄、蓝蓝色色袜袜子子各各8只只。每每次次从从布布袋袋中中拿拿出出一一只只袜袜子子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子？双不同袜子？第第29周周 抽屉原理抽屉原理 疯狂操练四疯狂
82、操练四【例例题题4】任任意意5个个不不相相同同的的自自然然数数，其其中中至至少少有有两两个个数数的的差差是是4的倍数，这是为什么？的倍数，这是为什么？【思路导航】【思路导航】 一一个个自自然然数数除除以以4的的余余数数只只能能是是0，1，2，3。如如果果有有2个个自自然数除以然数除以4的余数相同，那么这两个自然数的差就是的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。的倍数。一一个个自自然然数数除除以以4的的余余数数可可能能是是0，1，2，3，所所以以，把把这这4种种情情况况看看做做时时个个抽抽屉屉，把把任任意意5个个不不相相同同的的自自然然数数看看做做5个个元元素素，再再根根据据抽抽屉屉原原理
83、理，必必有有一一个个抽抽屉屉中中至至少少有有2个个数数，而而这这两两个个数数的的余余数数是是相相同同的的，它它们们的的差差一一定定是是4的的倍倍数数。所所以以，任任意意5个个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。的倍数。【练练习习4】1、任任意意6个个不不相相同同的的自自然然数数，其其中中至至少少有有两两个个数数的差是的差是5的倍数，这是为什么？的倍数，这是为什么？2、任任意意取取几几个个不不相相同同的的自自然然数数，才才能能保保证证至至少少有有两两个个数数的的差差是是8的倍数？的倍数？3、证证明明在在任任意意的的（n+1）个个不不相相同同的的自
84、自然然数数中中，必必有有两两个个数数之差为之差为n的倍数。的倍数。第第29周周 抽屉原理抽屉原理 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】能能否否在在图图29-1的的5行行5列列方方格格表表的的每每个个空空格格中中，分分别别填填上上1，2，3这这三三个个数数中中的的任任一一个个，使使得得每每行行、每每列列及及对对角角线线AD、BC上上的的各各个个数数的的和互不相同？和互不相同？【思路导航】【思路导航】由由图图29-1可可知知：所所有有空空格格中中只只能能填填写写1或或2或或3。因因此此每每行行、每每列列、每每条条对对角角线线上上的的5个个数数的的和和最最小小是是15=5，最最大大是是35=15。从从
85、5到到15共共有有11个个互互不不相相同同的的整整数数值值，把把这这11个个值值看看承承11个个抽抽屉屉，把把每每行行、每每列列及及每每条条对对角角线线上上的的各各个个数数的的和和看看承承元元素素，只只要要考考虑虑元元素素和和抽抽屉屉的的个个数数就就可可得得出出结结论论是是不不可可能能的的。因因为为每每行行、每每列列、每每条条对对角角线线上上的的5个个数数的的和和最最小小是是5，最最大大是是15，从从5到到15共共有有11个个互互不不相相同同的的整整数数值值。而而5行行、5列列及及两两条条对对角角线线上上的的各各个个数数的的和和共共有有12个个，所所以以，这这12条条线线上上的的各各个个数数的
86、的和和至至少少有有两两个是相同的。个是相同的。ABCD【练练习习5】1、能能否否在在6行行6列列方方格格表表的的每每个个空空格格中中，分分别别填填上上1，2，3这这三三个个数数中中的的任任一一个个，使使得得每每行行、每每列列及及对对角角线线上上的的各各个个数数的的和和互互不不相相同同？为什么？为什么？2、证证明明在在88的的方方格格表表的的每每个个空空格格中中，分分别别填填上上3，4，5这这三三个个数数中中的的任任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。3、在在39的的方方格格图图中中（如如图图所所示示），
87、将将每每一一个个小小方方格格涂涂上上红红色色或或者者蓝蓝色色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 在在抽抽屉屉原原理理的的第第（2）条条原原则则中中，抽抽屉屉中中的的元元素素个个数数随随着着元元素素总总数数的的增增加加而而增增加加，当当元元素素总总数数达达到到抽抽屉屉数数的的若若干干倍倍后后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式： 元素总数元素总数=商商抽屉数抽屉数+余数余数如如果果余余数数不不是是0，则则最最小小数数=商商+1；如如果果余
88、余数数正正好好是是0，则则最最小数小数=商。商。【例例题题1】 幼幼儿儿园园里里有有120个个小小朋朋友友，各各种种玩玩具具有有364件件。把把这这些些玩玩具具分分给给小小朋朋友友，是是否否有有人人会会得得到到4件件或或4件件以以上上的的玩玩具具？【思路导航】【思路导航】 把把120个个小小朋朋友友看看做做是是120个个抽抽屉屉，把把玩玩具具件件数数看看做做是是元元素素。则则364=1203+4，4120。根根据据抽抽屉屉原原理理的的第第（2）条条规规则则：如如果果把把mxk（xk1）个个元元素素放放到到x个个抽抽屉屉里里，那那么么至至少少有有一一个个抽抽屉屉里里含含有有m+1个个或或更更多多
89、个个元元素素。可可知知至至少少有有一一个个抽抽屉里有屉里有3+1=4个元素，即有人会得到个元素，即有人会得到4件或件或4件以上的玩具。件以上的玩具。【练练习习1】1、一一个个幼幼儿儿园园大大班班有有40个个小小朋朋友友，班班里里有有各各种种玩玩具具125件件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或件或4件以上的玩具？件以上的玩具？2、把把16枝枝铅铅笔笔放放入入三三个个笔笔盒盒里里，至至少少有有一一个个笔笔盒盒里里的的笔笔不不少少于于6枝枝。这这是为什么？是为什么？3、把、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有个球最多放在几个盒子里，才能至
90、少有一个盒子里有7个球？个球？第第30周周 抽屉原理抽屉原理 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】 布布袋袋里里有有4种种不不同同颜颜色色的的球球，每每种种都都有有10个个。最最少少取出多少个球，才能保证其中一定有取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？个球的颜色一样？【思路导航】【思路导航】把把4种种不不同同颜颜色色看看做做4个个抽抽屉屉，把把布布袋袋中中的的球球看看做做元元素素。根根据据抽抽屉屉原原理理第第（2）条条，要要使使其其中中一一个个抽抽屉屉里里至至少少有有3个个颜颜色色一一样样的的球球，那那么么取取出出的的球球的的个个数数应应比比抽抽屉屉个个数数的的2倍倍多多1。即即24
91、+1=9（个）球。列算式为（个）球。列算式为 （31）4+1=9（个）（个）【练练习习2】1、布布袋袋里里有有组组都都多多的的5种种不不同同颜颜色色的的球球。最最少少取取出出多多少少个个球球才能保证其中一定有才能保证其中一定有3个颜色一样的球？个颜色一样的球？2、一一个个容容器器里里放放有有10块块红红木木块块、10块块白白木木块块、10块块蓝蓝木木块块，它它们们的的形形状状、大大小小都都一一样样。当当你你被被蒙蒙上上眼眼睛睛去去容容器器中中取取出出木木块块时时，为为确确保保取取出出的的木木块块中至少有中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？块颜色相同，应至少取出多少块木块？3、一一副副扑
92、扑克克牌牌共共54张张，其其中中113点点各各有有4张张，还还有有两两张张王王的的扑扑克克牌牌。至至少要取出几张牌，才能保证其中必有少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？张牌的点数相同？第第30周周 抽屉原理抽屉原理 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】 某某班班共共有有46名名学学生生，他他们们都都参参加加了了课课外外兴兴趣趣小小组组。活活动动内内容容有有数数学学、美美术术、书书法法和和英英语语，每每人人可可参参加加1个个、2个个、3个个或或4个个兴兴趣趣小小组组。问问班班级级中中至至少少有有几几名名学学生生参参加加的的项项目目完完全相同？全相同？【思路导航】【思路导航】参参加加课
93、课外外兴兴趣趣小小组组的的学学生生共共分分四四种种情情况况，只只参参加加一一个个组组的的有有4种种类类型型，只只参参加加两两个个小小组组的的有有6个个类类型型，只只参参加加三三个个组组的的有有4种种类类型型，参参加加四四个个组组的的有有1种种类类型型。把把4+6+4+1=15（种种）类类型型 看看 做做 15个个 抽抽 屉屉 ， 把把 46个个 学学 生生 放放 入入 这这 些些 抽抽 屉屉 ， 因因 为为46=315+1，所所以以班班级级中中至至少少有有4名名学学生生参参加加的的项项目目完完全全相相同。同。【练练习习3】1、某某班班有有37个个学学生生，他他们们都都订订阅阅了了小小主主人人报
94、报、少少年年文文艺艺、小小学学生生优优秀秀作作文文三三种种报报刊刊中中的的一一、二二、三三种种。其其中中至至少少有有几位同学订的报刊相同？几位同学订的报刊相同？2、学学校校开开办办了了绘绘画画、笛笛子子、足足球球和和电电脑脑四四个个课课外外学学习习班班，每每个个学学生生最最多多可可以以参参加加两两个个（可可以以不不参参加加）。某某班班有有52名名同同学学，问问至至少少有有几几名名同同学学参参加课外学习班的情况完全相同？加课外学习班的情况完全相同？3、库库房房里里有有一一批批篮篮球球、排排球球、足足球球和和铅铅球球，每每人人任任意意搬搬运运两两个个，问问：在在31个个 搬运者中至少有几人搬运的球
95、完全相同？搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？第第30周周 抽屉原理抽屉原理 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】从从1至至30中中，至至少少要要取取出出几几个个不不同同的的数数，才才能能保保证证其中一定有一个数是其中一定有一个数是3的倍数？的倍数？【思思路路导导航航】从从1至至30中中，3的的倍倍数数有有303=10个个，不不是是3的的倍倍数数的的数数有有3010=20个个，至至少少要要取取出出20+1=21个个不不同同的的数数才能保证其中一定有一个数是才能保证其中一定有一个数是3的倍数。的倍数。【练练习习4】1、在在1，2，3，49，50中中，至至少少要要取取出出多多少少个个不不同同的的数数
96、，才能保证其中一定有一个数能被才能保证其中一定有一个数能被5整除？整除？2、从从1至至120中中，至至少少要要取取出出几几个个不不同同的的数数才才能能保保证证其其中中一一定定有有一一个个数数是是4的倍数？的倍数？3、从从1至至36中中，最最多多可可以以取取出出几几个个数数，使使得得这这些些数数中中没没有有两两数数的的差差是是5的的倍数？倍数？第第30周周 抽屉原理抽屉原理 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】将将400张张卡卡片片分分给给若若干干名名同同学学，每每人人都都能能分分到到，但但都都不不能能超超过过11张张，试试证证明明：找找少少有有七七名名同同学学得得到到的的卡卡片片的的张张数相同。
97、数相同。【思思路路导导航航】这这题题需需要要灵灵活活运运用用抽抽屉屉原原理理。将将分分得得1，2，3，11张张可可片片看看做做11个个抽抽屉屉，把把同同学学人人数数看看做做元元素素，如如果果每每个个抽抽屉屉都都有有一一个个元元素素，则则需需1+2+3+10+11=66（张张）卡卡片片。而而40066=64（张张），即即每每个个周周体体都都有有6个个元元素素，还还余余下下4张张卡卡片片没没分分掉掉。而而这这4张张卡卡片片无无论论怎怎么么分分，都都会会使使得得某某一一个个抽抽屉屉至至少少有有7个个元元素素，所所以以至至少少有有7名名同同学学得得到到的的卡卡片片的张数相同。的张数相同。【练练习习5】
98、1、把把280个个桃桃分分给给若若干干只只猴猴子子，每每只只猴猴子子不不超超过过10个个。证证明明：无论怎样分，至少有无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一样多。只猴子得到的桃一样多。2、把把61颗颗棋棋子子放放在在若若干干个个格格子子里里，每每个个格格子子最最多多可可以以放放5颗颗棋棋子子。证证明明：至少有至少有5个格子中的棋子数目相同。个格子中的棋子数目相同。3、汽汽车车8小小时时行行了了310千千米米，已已知知汽汽车车第第一一小小时时行行了了25千千米米，最最后后一一小小时时行行了了45千千米米。证证明明：一一定定存存在在连连续续的的两两小小时时，在在这这两两小小时时内内汽汽车车至至少少行
99、行了了80千米。千米。六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三同步教材免费视频同步教材免费视频 逻逻辑辑推推理理题题不不涉涉及及数数据据，也也没没有有几几何何图图形形，只只涉涉及及一一些些相相互互关关联联的的条条件件。它它依依据据逻逻辑辑汇汇率率，从从一一定定的的前前提提出出发发，通通过过一一系系列列的的推推理理来来获获取取某某种种结结论论。解解决决这这类类问问题题常常用用的的方方法法有有：直直接接法法、假假设设法法、排排除除法法、图图解解法法和和列表法等。列表法等。逻逻辑辑推推理理问问题题的的解解决决，需需要要我我们们深深入入地地理理解解条条件件和和结结论论，分分析析关关键键所所在在，找到突
100、破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。推推理理的的过过程程中中往往往往需需要要交交替替运运用用“排排除除法法”和和“反反正正法法”。要要善善于于借借助助表表格格，把把已已知知条条件件和和推推出出的的中中间间结结论论及及时时填填入入表表格格内内。填填表表时时，对对正正确确的的（或或不不正正确确的的）结结果果要要及及时时注注上上“”（或或“”），也也可可以以分分别别用用“1”或或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。推推理理的的过过程程，必必须须要要有有充充足足的的理理由由或或重
101、重复复内内的的根根据据，并并常常常常伴伴随随着着论论证证、推推理理，论论证证的的才才能能不不是是天天生生的的，而而是是在在不不断断的的实实践践活活动动中中逐逐渐渐锻锻炼炼、培培养出来的养出来的。【例例题题1】 星星期期一一早早晨晨，王王老老师师走走进进教教室室，发发现现教教室室里里的的坏坏桌桌凳凳都都修修好好了了。传传达达室室人人员员告告诉诉他他：这这是是班班里里四四个个住住校校学学生生中中的的一一个个做做的的好好事事。于于是是，王王老老师师把把许许兵兵、李李平平、刘刘成成、张张明这四个住校学生找来了解。明这四个住校学生找来了解。（1）许兵说：桌凳不是我修的。）许兵说：桌凳不是我修的。（2）李
102、平说：桌凳是张明修的。）李平说：桌凳是张明修的。（3）刘成说：桌凳是李平修的。）刘成说：桌凳是李平修的。（4）张明说：我没有修过桌凳。）张明说：我没有修过桌凳。后后经经了了解解，四四人人中中只只有有一一个个人人说说的的是是真真话话。请请问问：桌桌凳凳是是谁谁修的？修的？ 根根据据“两两个个互互相相否否定定的的思思想想不不能能同同真真”可可知知：（2）、（4）不能同真，必有一假。不能同真，必有一假。假设（假设（2）说真话，则（）说真话，则（4）为假话，即张明修过桌凳。）为假话，即张明修过桌凳。又又根根据据题题目目条条件件了了：只只有有1人人说说的的是是真真话话：可可退退知知：（1）和和（3）都都
103、是是假假话话。由由（1）说说的的可可退退出出：桌桌凳凳是是许许兵兵修修的的。这这样样，许许兵兵和和张张明明都都修修过过桌桌凳凳，这这与与题题中中“四四个个人人中中只只有有一一个个人说的是真话人说的是真话”相矛盾。相矛盾。因因此此，开开头头假假设设不不成成立立，所所以以，（2）李李平平说说的的为为假假话话。由由此此可可退退知知（4）张张明明说说了了真真话话，则则许许兵兵、刘刘成成说说了了假假话话。所所以以桌桌凳是许兵修的。凳是许兵修的。【练习【练习1】1、小小华华、小小红红、小小明明三三人人中中，有有一一人人在在数数学学竞竞赛赛中中得得了了奖奖。老老师师问问他他们们谁谁是是获获奖奖者者，小小华华
104、说说是是小小红红，小小红红说说不不是是我我，小小明明也也说说不不是是我我。如如果果他他们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？2、一位警察，抓获、一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯个盗窃嫌疑犯A、B、C、D，他们的供词如下：，他们的供词如下：A说：说：“不是我偷的不是我偷的”。 B说：说：“是是A偷的偷的”。C说：说：“不是我不是我”。 D说：说：“是是B偷的偷的”。他们他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？3、有有500人人聚聚会会，其其中中至至少少有有一一人人说说假假话话，这这500人人里里任任意意两
105、两个个人人总总有有一一个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？第第31周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】虹虹桥桥小小学学举举行行科科技技知知识识竞竞赛赛，同同学学们们对对一一贯贯刻刻苦苦学学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：（1）丙得第一，乙得第二。）丙得第一，乙得第二。（2）丙得第二，丁得第三。）丙得第二，丁得第三。（3）甲得第二，丁得死四。）甲得第二，丁得死四。比比赛赛结结果果一一公公布布，果果然然是是这这四四名名学学生生获获得得前前4名名。但但以以上上三三种种估计
106、，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？第第31周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练二疯狂操练二同同学学们们的的预预测测里里有有真真有有假假。但但是是最最后后公公布布的的结结果果中中，他他们们都都只只预预测测对对了了一一半半。我我们们可可以以用用假假设设法法假假设设某某人人前前半半句句对对后后半半句错，如果不成立，再从相反方向思考推理。句错，如果不成立，再从相反方向思考推理。假假设设（1）中中“丙丙得得第第一一”说说错错了了，则则（1）中中“乙乙得得第第二二”说说对对了了；（1）中中“乙乙得得第第二二”说说对对了了，则则（2）中中“丙丙得
107、得第第二二”说说错错了了；（2）中中“丙丙得得第第二二”说说错错了了，“丁丁得得第第三三”说说对对了了；（2）中中“丁丁得得第第三三”说说对对了了，（3）中中“丁丁得得第第四四”说说错错了了；（3）中中“丁丁得得第第四四”说说错错了了，则则（3）中中“甲甲得得第第二二”说对了，这与最初的假设相矛盾。说对了，这与最初的假设相矛盾。所所以以，正正确确答答案案是是：丙丙得得死死一一，丁丁得得第第三三，甲甲得得第第二二，乙乙得得第四。第四。【练习练习2】1、甲甲、乙乙、丙丙、丁丁同同时时参参加加一一次次数数学学竞竞赛赛。赛赛后后，他他们们四四人人预测名词的谈话如下：预测名词的谈话如下：甲：甲：“丙得第
108、一，我第三丙得第一，我第三”。乙：乙：“我第一，丁第四我第一，丁第四”。丙：丙：“丁第二，我第三丁第二，我第三”。丁：没有说话。丁：没有说话。最最后后公公布布结结果果时时，发发现现甲甲、乙乙丙丙三三人人的的预预测测都都只只对对了了一一半半。请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。【练习【练习2】2、某某小小学学最最近近举举行行一一次次田田径径运运动动会会，人人们们对对一一贯贯刻刻苦苦锻锻炼炼的的5名学生的短跑成绩作了如下的估计：名学生的短跑成绩作了如下的估计：A说：说：“第二名是第二名是D，第三名是，第三名是B”。B说：说：“第二名是第二名是C，
109、第四名是，第四名是E”。C说：说：“第一名是第一名是E，第五名是，第五名是A”。D说：说：“第三名是第三名是C，第四名是，第四名是A”。E说：说：“第二名是第二名是B，第五名是，第五名是D”。这这5位同学每人说对了一半，请你猜一猜位同学每人说对了一半，请你猜一猜5位同学的名次。位同学的名次。【练习【练习2】3、某某次次考考试试考考完完后后，A，B，C，D四四个个同同学学猜猜测测他他们们的的考考试试成绩。成绩。A说：说：“我肯定考得最好我肯定考得最好”。B说：说：“我不会是最差的我不会是最差的”。C说：说：“我没有我没有A考得好，但也不是最差的考得好，但也不是最差的”。D说：说：“可能我考得最差
110、可能我考得最差”。成成绩绩一一公公布布，只只有有一一个个人人说说错错了了，请请你你按按照照考考试试分分数数由由高高到到低排出他们的顺序。低排出他们的顺序。同步教材免费视频同步教材免费视频第第31周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】张张、王王、李李三三个个工工人人，在在甲甲、乙乙丙丙三三个个工工厂厂里里分分别别当当车车工工、钳钳工和电工。工和电工。张张不不在在甲甲厂厂，王王不不在在乙乙厂厂，在在甲甲厂厂的的不不是是钳钳工工，在在乙乙厂厂的的是是车车工，工，王不是电工。王不是电工。这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？【思路导航】【思路导航】
111、这这题题可可用用直直接接法法解解答答。即即直直接接从从特特殊殊条条件件出出发发，再再结结合合其其他他条条件件往往下下推推，直到推出结论为止。直到推出结论为止。通通过过可可知知王王不不是是电电工工，那那么么王王必必是是车车工工或或钳钳工工；又又通通过过可可知知王王不不在在乙乙厂厂，那那么么，王王必必在在甲甲厂厂或或丙丙厂厂；又又由由知知道道在在乙乙厂厂的的是是车车工工，所所以以王王只只能能是是钳钳工工；又又因因为为甲甲厂厂的的不不是是钳钳工工，则则晚晚必必是是丙丙厂厂的的钳钳工工；张张不不在在甲甲厂厂，必必在在乙乙厂厂或或丙丙厂厂；王王在在丙丙厂厂，则则张张必必在在乙乙厂厂，是是乙乙厂厂的的车车
112、工工，所所以以张是乙厂的车工。剩下的李是甲厂的电工。张是乙厂的车工。剩下的李是甲厂的电工。【练练习习3】1、某某大大学学宿宿舍舍里里A，B，C，D，E，F，G七七位位同同学学，其其中中两两位位来来自自哈哈尔尔滨滨，两两位位来来自自天天津津，两两位位来来自自广广州州，还还知知道道：（1）D，E来来自自同同一一地地方方；（2）B，G，F不是北方人；（不是北方人；（3）C没去过哈尔滨。那么，没去过哈尔滨。那么，A来自什么地方？来自什么地方？2、每每个个星星期期的的七七天天中中，甲甲在在星星期期一一、二二、三三讲讲假假话话，其其余余四四天天都都讲讲真真话话：乙乙在在星星期期四四、五五、六六讲讲假假话话
113、，其其余余各各天天都都讲讲真真话话。今今天天甲甲说说：“昨昨天天是是我我说说谎谎的的日日子。子。”乙说：乙说：“昨天也是我说谎的日子。昨天也是我说谎的日子。”今天是星期几？今天是星期几？3、王王涛涛、李李明明、江江民民三三人人在在一一起起谈谈话话。他他们们当当中中一一位位是是校校长长，一一位位是是老老师师，一一位位是是学学生生家家长长。现现在在只只知知道道：（1）江江民民比比家家长长年年龄龄大大。（2）王王涛涛和和老老师师不不同同岁岁。（3）老师比李明年龄小。你能确定谁是校长、谁是老师，谁是家长吗？）老师比李明年龄小。你能确定谁是校长、谁是老师，谁是家长吗？第第31周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂
114、操练四疯狂操练四【例例题题4】六六年年级级有有四四个个班班，每每个个班班都都有有正正、副副班班长长各各一一人人。平平时时召召开开年年级级班班长长会会议议时时，各各班班都都只只有有一一人人参参加加。参参加加第第一一次次回回师师的的是是小小马马、小小张张、小小刘刘、小小林林；参参加加第第二二次次会会议议的的是是小小刘刘、小小朱朱、小小马马、小小宋宋；参参加加第第三三次次会会议议的的是是小小宋宋、小小陈陈、小小马马、小小张张，小小徐徐因因有有病病，三三次次都都没没有有参参加加。你你知知道道他他们们哪哪两个是同班的吗？两个是同班的吗？第第31周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练四疯狂操练四将将条条件件列列
115、在在一一张张表表格格内内，借借助助于于表表格格进进行行分分析析、推推理理、根根据据题意，可列表如下：题意，可列表如下：由由上上表表可可知知，小小马马三三次次参参加加会会议议，而而小小徐徐三三次次都都没没参参加加，他他们们是是同同一一班班级级的的。小小张张和和小小朱朱是是同同班班的的，小小刘刘和和小小陈陈是是同同班班的，小林和小宋是同班的。的，小林和小宋是同班的。小张小张小马小马小刘小刘 小林小林 小朱小朱小宋小宋小陈小陈小徐小徐一一 二二 三三 【练练习习4】1、某某市市举举行行家家庭庭普普法法学学习习竞竞赛赛，有有5个个家家庭庭进进入入决决赛赛（每每家家2名名成成员员）。决决赛赛时时进进行行
116、四四项项比比赛赛，每每项项比比赛赛各各家家出出一一名名成成员员参参赛赛，第第一一项项参参赛赛的的是是吴吴、孙孙、赵赵、李李、王王；第第二二项项参参赛赛的的是是郑郑、孙孙、吴吴、李李、周周；第第三三项项参参赛赛的的是是赵赵、张张、吴吴、钱钱、郑郑；第第四四项项参参赛赛的的是是周周、吴吴、孙孙、张张、王王。另另外外，刘刘某某因因故故四四次次均均未未参参赛赛。谁和谁是同一家庭呢？谁和谁是同一家庭呢？2、刘刘刚刚、马马辉辉、李李强强三三个个男男孩孩各各有有一一个个妹妹妹妹，六六个个人人进进行行乒乒乓乓球球混混合合双双打打比比赛赛。事先规定：兄、妹不许搭伴。事先规定：兄、妹不许搭伴。第第一一局局：刘刘刚
117、刚和和小小丽丽对对李李强强和和小小英英；第第二二局局：李李强强和和小小红红对对刘刘刚刚和和马马辉辉的的妹妹妹妹。那么，三个男孩的妹妹分别是谁？那么，三个男孩的妹妹分别是谁？3、有有三三只只小小袋袋，一一只只小小袋袋有有两两粒粒红红珠珠，另另一一只只小小袋袋有有两两粒粒蓝蓝珠珠，第第三三只只小小袋袋装装有有一一粒粒蓝蓝珠珠和和一一粒粒红红珠珠。小小兰兰不不慎慎把把小小袋袋外外面面的的三三只只标标签签都都贴贴错错了了。请请问问从从哪哪只只小袋中摸出一粒珠，就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠？小袋中摸出一粒珠，就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠？第第31周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练五疯狂
118、操练五【例例题题5】已已知知张张新新、李李敏敏、王王强强三三位位同同学学分分别别在在北北京京、苏苏州州、南南京京的的大大学学学学习习化化学学、地地理理、物物理理。张张新新不不在在北北京京学学习习；李李敏敏不不在在苏苏州州学学习习；在在北北京京学学习习的的同同学学不不学学物物理理；在在苏苏州州学学习习的的同同学学是是学学化化学学的的；李敏不学地理。三位同学各在什么城市学什么？李敏不学地理。三位同学各在什么城市学什么？【思思路路导导航航】解解答答此此题题的的关关键键是是抓抓住住三三个个人人必必在在三三地地之之一一学学习习三三种种科科目目的的某某一一种种这这个个条条件件。这这种种逻逻辑辑推推理理题题
119、，须须在在两两方方面面加加以以判判定定。尽尽管管相相对对的的问问题题要要求求增增多多了了，但但列列表表法法仍仍然然适适用用。综综合合两两方方面面的的交交错错因因素素，两两表对立，一举两得。由表对立，一举两得。由、可列下表可列下表第第31周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练五疯狂操练五由由可可知知：李李敏敏不不在在苏苏州州，不不学学化化学学、学学物物理理；张张新新、王王强强不学物理。不学物理。由由“在在北北京京学学习习的的不不学学物物理理”的的条条件件可可知知：王王强强在在北北京京，张张新新在在苏苏州州，李敏在南京李敏在南京由由“在苏州学习的学的是化学在苏州学习的学的是化学”的条件可知，王强学习地理
120、。的条件可知，王强学习地理。从从上上表表可可以以看看出出，张张新新在在苏苏州州学学化化学学，李李敏敏在在南南京京学学物物理理，王王强强在在北北京京学地理。学地理。【练练习习5】1、甲甲、乙乙、丙丙分分别别在在南南京京、苏苏州州、西西安安工工作作，他他们们的的职职业业分分别别是是工工人人、农农民民和和教教师师。已已知知：甲甲不不在在南南京京工工作作；乙乙不不在在苏苏州州工工作作；在在苏苏州州工工作作的的是是工工人人；在在南南京京工工作作的的不不是是教教师师；乙乙不不是是农农民民。三三人各在什么地方工作？各是什么职业？人各在什么地方工作？各是什么职业？2、小小明明、小小青青、小小菊菊读读书书的的学
121、学校校分分别别是是一一小小、二二小小、三三小小，他他们们各各自自爱爱好好游游泳泳、篮篮球球、排排球球中中的的一一项项体体育育运运动动。但但究究竟竟谁谁爱爱好好哪哪一一项项运运动动，在在哪哪个个学学校校读读书书还还不不清清楚楚，只只知知道道：（1）小小明明不不在在一一小小。（2）小小青青不不在在二二小小。（3）爱爱好好排排球球的的在在二二小小。（4）爱爱好好游游泳泳的的在在一一小小。（5）爱爱好好游游泳的不是小青。请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。泳的不是小青。请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。3、甲甲、乙乙、丙丙分分别别是是工工程程师师、会会计计师师和和教教师师。他他们们的
122、的业业余余爱爱好好分分别别是是文文学学、绘绘画画和和音音乐乐。现现在在知知道道：（1）爱爱好好音音乐乐、文文学学者者和和甲甲一一起起看看电电影影。（2）爱爱好好绘绘画画者者常常请请会会计计师师讲讲经经济济学学。（3）乙乙不不爱爱好好文文学学。（4）工工程程师师常常埋埋怨怨自自己己对对绘绘画画和和音音乐乐一一窍窍不不通通。请请问问每每个个人人的的职职业业和和爱爱好好各各是是什什么？么？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 解解数数学学题题，从从已已知知条条件件到到未未知知的的结结果果需需要要推推理理，也也需需要要计计算算，通通常常是是计计算算与与推推理理交交替替进进行行，而而且且这这种种推推
123、理理不不仅仅是是单单纯纯的的逻逻辑辑推推理理，而而是是综综合合运运用用了了数数学学知知识识和和专专门门的的生生活活常常识识相相结结合合来来运运用用。这这种种综综合合推推理理的的问问题题形形式式多多样样、妙妙趣趣横横生生，也也是是小小学数学竞赛中比较流行的题型。学数学竞赛中比较流行的题型。解解答答综综合合推推理理问问题题，要要恰恰当当地地选选择择一一个个或或几几个个条条件件作作为为突突破破口口。统统称称从从已已知知条条件件出出发发可可以以推推出出两两个个或或两两个个以以上上结结论论，而而又又一一时时难难以以肯肯定定或或否否定定其其中中任任何何一一个个时时，这这就就要要善善于于运运用用排排除法、反
124、证法逐一试验。除法、反证法逐一试验。当当感感到到题题中中条条件件不不够够时时，要要注注意意生生活活常常识识、数数的的性性质质、数数量量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。【例例题题1】 小小华华和和甲甲、乙乙、丙丙、丁丁四四个个同同学学参参加加象象棋棋比比赛赛。每每两两人人要要比比赛赛一一盘盘。到到现现在在为为止止，小小华华已已经经比比赛赛了了4盘盘。甲甲赛赛了了3盘，乙赛了盘，乙赛了2盘，丁赛了盘，丁赛了1盘。丙赛了几盘？盘。丙赛了几盘？【思路导航】【思路导航】 这这道道题题可可以以利利用用画画图图的的方方法法进进行行推推理理，如如图图32-1所所示示，用用5
125、个个点点分分别别表表示示小小华华、甲甲、乙乙、丙丙、丁丁。如如果果两两人人之之间间已已经经进进行行了了比比赛赛，就就在在表表示示两两人人的的点点之之间间连连一一条条线线。现现在在小小华华赛赛4盘盘，所以小华应与其余所以小华应与其余4个点都连线个点都连线甲甲赛赛了了3盘盘。由由于于丁丁只只赛赛了了一一盘盘，所所以以甲甲与与丁丁之之间间没没有有比比赛赛。那那么么，就就连连接接甲甲、乙乙和和甲甲、丙丙。这这时时，乙乙已已有有了了两两条条线线，与与题题中中乙乙赛赛2盘盘相相结结合合，就就不不再再连连了了。所所以以，从从图图32-1中中可可以以看看出，丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。出，丙与小华、甲
126、各赛一盘。即丙赛了两盘。【练练习习1】1、A，B，C，D，E五五位位同同学学一一起起比比赛赛象象棋棋，每每两两人人都都要要比比赛赛一一盘盘。到到现现在在为为止止，A已已经经比比赛赛了了4盘盘。B赛赛了了3盘盘，C赛赛了了2盘盘，D赛赛了了1盘。盘。E赛了几盘？赛了几盘？2、A先先生生和和A太太太太以以及及三三对对夫夫妻妻举举行行了了一一次次家家庭庭晚晚会会。规规定定每每两两人人最最多多握握手手一一次次，但但不不和和自自己己的的妻妻子子握握手手。握握手手完完毕毕后后，A先先生生问问了了每每个个人人（包包括括他他妻妻子子）握握手手几几次次？令令他他惊惊讶讶的的是是每每人人答答复复的的数数字字各各不
127、不相相同同。那那么么，A太太握了几次手？太太握了几次手？3、五五位位同同学学一一起起打打乒乒乓乓球球，两两人人之之间间最最多多只只能能打打一一盘盘。打打完完后后，甲甲说说：“我我打打了了四四盘盘”。乙乙说说：“我我打打了了一一盘盘”。丙丙说说：“我我打打了了三三盘盘”。丁丁说说：“我我打打了了四四盘盘”。戊戊说说：“我我打打了了三三盘盘”。你你能能肯肯定定其其中中有有人人说说错错了吗？为什么？了吗？为什么？第第32周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】图图32-2是是同同一一个个标标有有1，2，3，4，5，6的的小小正正方方体体的的三三种种不不同同的的摆摆法法。图图中中正正
128、方方体体三三个个朝朝左左的的一一面面的的数数字字之之积是多少？积是多少？【思路导航】【思路导航】用用排排除除法法排排除除不不符符合合条条件件的的情情形形，最最后后剩剩下下的的情情况况就就是是所所要要的结果。的结果。由由（1）、（2）两两个个图图可可以以看看出出，1的的对对面面不不可可能能为为4，6，2，3，所所以以1的的对对面面必必为为5；由由（2）、（3）两两个个图图形形可可以以看看出出，3的的对对面面不不可可能能为为1，2，4，5，所所以以3的的对对面面必必为为6。由由此此可可知知，4的的对对面面必必定定为为2。上上面面正正方方体体三三个个朝朝左左一一面面的的数数字字依次为依次为2，5，6
129、。所以它们的积为。所以它们的积为256=60。【练练习习2】1、图图32-3是是同同一一个个标标有有1，2，3，4，5，6的的小小正正方方体体的的三三种种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？2、将将红红、黄黄、蓝蓝、白白、黑黑、绿绿六六种种颜颜色色分分别别涂涂在在正正方方体体各各面面上上（每每一一面面只只涂涂一一种种颜颜色色）。现现有有涂涂色色方方式式完完全全一一样样的的相相同同的的四四块块小小正正方方体体，把把它它们们拼拼成成长长方方体体（如如图图32-4所所示示），每每个个小小正正房房体体红红色色面面的的对对面面涂涂的
130、的是是什什么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？3、如如图图32-5所所示示，每每个个正正方方体体的的6个个面面分分别别写写着着数数字字16，并并且且任任意意两两个个相相对对的的面面上上所所写写的的两两个个数数之之和和都都等等于于7。把把这这样样的的5个个正正方方体体一一个个挨挨一一个个连连接接起起来来后后，金金挨挨着着的的两两个个面面上上的的数数字字之之和和等等于于8。图图中中写写？的的这这个个面面上的数字是几？上的数字是几？第第32周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】 某某班班44人人，从从A，B，C，D，E五五位位候候选选人人中中选选举举班
131、班长长。A得得选选票票23张张。B得得选选票票占占第第二二位位，C，D得得票票相相同同，E的选票最少，只得了的选票最少，只得了4票。那么票。那么B得选票多少张？得选票多少张？【思路导航】【思路导航】B，C，D的的选选票票共共44234=17（张张），C，D的的选选票票至至少少各各5张张。如如果果他他们们的的选选票票超超过过5张张，那那么么B，C，D的的选选票票超超过过6+6+6=18（张张），这这不不可可能能。所所以以，C，D各各得得5票票，B得得1755=7（张）（张）【练练习习3】1、某某商商品品编编号号是是一一个个三三位位数数，现现有有5个个三三位位数数：874、765、123、364、
132、925。其其中中每每一一个个数数与与商商品品编编号号恰恰好好在在同同一一数数位位上上有有一一个个相相同的数字，这个商品编号是多少？同的数字，这个商品编号是多少？2、某某楼楼住住着着4个个女女孩孩和和两两个个男男孩孩，他他们们的的年年龄龄各各不不相相同同，最最大大的的10岁岁，最最小小的的4岁岁。最最大大的的男男孩孩比比最最小小的的女女孩孩大大4岁岁，最最大大的的女女孩孩比比最最小小的的男男孩孩大大4岁。最大的男孩多少岁？岁。最大的男孩多少岁？3、小小明明将将玻玻璃璃球球放放进进大大、小小两两种种盒盒子子中中。大大盒盒装装12个个玻玻璃璃球球，小小盒盒装装5个个玻玻璃璃球球，正正好好装装完完。如
133、如果果玻玻璃璃球球总总数数为为99，盒盒子子超超过过10个个，那那么么两两种种盒子各有多少个？盒子各有多少个？第第32周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】 将将1，2，3，4，5，6，7，8八八个个数数字字分分成成两两组组，每每组组4个个数数，并并且且两两组组数数之之和和相相等等。从从A组组拿拿一一个个到到B组组后后，B组组五五个个数数之之和和将将是是A组组剩剩下下三三数数之之和和的的2倍倍。从从B组组拿拿一一个个数数到到A组组后后，B组组剩剩下下的的三三个个数数之之和和A组组五五个个数数之之和和的的5/7。这这八八个数如何分成两组？个数如何分成两组？【思路导航】【思路导
134、航】八八 个个 数数 的的 和和 是是 1+2+3+4+5+6+7+8=26， 所所 以以 每每 组组 的的 四四 个个 数数 之之 和和 是是362=18。从从A组组取取出出一一个个数数到到B，两两组组总总和和不不变变。现现在在A组组三三个个数数之之和和是是36（1+2）=12，原来，原来A组四个数之和是组四个数之和是18，说明，说明A组中取组中取6到到B组。组。同同 样样 道道 理理 ， 从从 B组组 取取 一一 个个 数数 到到 A组组 后后 ， 现现 在在 B组组 三三 个个 数数 之之 和和 是是36（1+5/6）5/7=15。说说明明B组组中中取取出出的的数数为为1815=3。除除
135、去去6和和3，还还剩剩6个个数数。A组组的的另另外外三三个个数数之之和和应应是是186=12，在在剩剩下下的的6个个数数中中只只有有1，4，7三三个个数数，它它们们的的和和是是12。所所以以A组组四四个个数数是是1，4，6，7。B组组四个数是四个数是2，3，5，8。【练练习习4】1、某某年年的的8月月份份有有4个个星星期期四四，5个个星星期期三三。这这年年8月月8日日是是星星期期几？几？2、甲甲、一一两两个个小小朋朋友友各各有有一一袋袋糖糖，每每袋袋糖糖不不到到20粒粒。如如果果甲甲给给乙乙一一定定数数量量的的糖糖后后，甲甲的的糖糖的的粒粒数数是是乙乙的的2倍倍；如如果果乙乙给给甲甲同同样样数
136、数量量的的糖糖后后，甲甲的的糖的粒数就是乙的糖的粒数就是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？3、某某各各家家庭庭有有四四个个家家庭庭成成员员。他他们们的的年年龄龄各各不不相相同同，总总和和是是129岁岁，其其中中有有三三个个人人的的年年龄龄是是平平方方数数。如如果果倒倒退退15年年，这这四四人人中中仍仍有有三三人人的的年年龄龄是平方数。你知道他们各自的年龄吗？是平方数。你知道他们各自的年龄吗？第第32周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】在在一一次次设设计计联联系系中中，小小张张、小小王王、小小李李各各打打4发发子子弹弹，全全部部中中靶
137、靶。命命中中的的情情况况如如下下：（1）每每人人4发发子子弹弹所所命命中中的的环环数数各各不不相相同同。（2）每每人人4发发子子弹弹所所命命中中的的总总环环数数均均为为17槐槐。（3）小小王王有有两两法法命命中中的的环环数数分分别别与与小小张张命命中中的的两两法法一一样样；小小王王另另两两发发命命中中的的环环数数与与小小李李命命中中的的两两法法一一样样。（4）小小张张和和小小李李只只有有一一发发环环数数相相同同。（5）每每人人每每发发子子弹弹的的最最好好成成绩绩不不超超过过7环。小张、小李命中相同的环数是几环？环。小张、小李命中相同的环数是几环？第第32周周 逻辑推理逻辑推理 疯狂操练五疯狂操
138、练五【思路导航】【思路导航】首首先先，用用枚枚举举法法找找出出符符合合条条件件（1）、（2）、（5）的的所所有有情情况况。其其次次，再再用用筛筛选选法法从从这这些些情情况况中中去去掉掉不不符符合合条条件件（3）、（4）的情况。剩下的就符合要求了。）的情况。剩下的就符合要求了。（1）1+7+3+6=17（环）（环）（2）1+7+4+5=17（环）（环）（3）2+6+4+5=17（环）（环）（4）2+7+3+5=17（环）（环）对对照照条条件件可可知知（2）、（1）式式和和（3）式式分分别别代代表表王王、张张、李，所以，小张和小李命中相同的环数是李，所以，小张和小李命中相同的环数是6环环，【练练习
139、习5】1、甲甲、乙乙、丙丙三三人人玩玩转转盘盘（如如图图32-6所所示示），转转盘盘上上的的数数字字表表示示应应得得的的分分。甲甲说说：“我我转转8次次得得26分分”。乙乙说说：“我我转转7次次得得34分分”。丙说：丙说：“我转我转9次得次得41分分”。其中有一人没说真话，他是谁？。其中有一人没说真话，他是谁？2、将将3张张数数字字卡卡片片（均均不不超超过过10）分分给给甲甲、乙乙、丙丙三三人人，各各人人记记下下所所得得卡卡片片上上的的数数再再重重新新分分。分分了了3次次后后，每每人人将将各各字字记记下下的的数数相相加加，甲甲为为13，乙为乙为15，丙为，丙为23。你能西饿出三张卡片上的数吗？
140、。你能西饿出三张卡片上的数吗？3、A，B，C三三个个足足球球队队进进行行一一次次比比赛赛，每每两两个个队队赛赛一一场场。按按规规定定每每升升一一场场得得2分分，平平一一场场得得1分分，负负一一场场得得0分分。现现在在已已知知：（1）B对对一一球球未未进进，结果得一分；（结果得一分；（2）C队进一球，失队进一球，失2球，并且胜一场；球，并且胜一场；求求A队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 行行程程问问题题的的三三个个基基本本量量是是距距离离、速速度度和和时时间间。其其互互逆逆关关系系可可用用乘乘、除除法法计
141、计算算，方方法法简简单单，但但应应注注意意行行驶驶方方向向的的变变化化，按按所所行行方方向向的的不不同同可可分分为为三种：（三种：（1）相遇问题；（）相遇问题；（2）相离问题；（）相离问题；（3）追及问题。）追及问题。行行 程程问问题题的的主主要要数数量量关关系系是是：距距离离=速速度度时时间间。它它大大致致分分为为以以下下三三种种情情况：（况：（1）相向而行：相遇时间）相向而行：相遇时间=距离距离速度和速度和（2）相背而行：相背距离）相背而行：相背距离=速度和速度和时间。时间。（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。追及时间）同向而行：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离追及距离速度差
142、速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离追及距离=速度差速度差时间。时间。解解决决行行程程问问题题时时，要要注注意意充充分分利利用用图图示示把把题题中中的的情情节节形形象象地地表表示示出出来来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。【例例题题1】两两辆辆汽汽车车同同时时从从某某地地出出发发，运运送送一一批批货货物物到到距距离离165千千米米的的工工地地。甲甲车车比比乙乙车车早早到到8分分钟钟，当当甲甲车车到到达达时时，乙乙车还距工地车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少小时？千米。甲车行完
143、全程用了多少小时？【思路导航】【思路导航】 【练练习习1】1、甲甲、乙乙两两地地之之间间的的距距离离是是420千千米米。两两辆辆汽汽车车同同时时从从甲甲地地开开往往乙乙地地。第第一一辆辆每每小小时时行行42千千米米，第第二二辆辆汽汽车车每每小小时时行行28千千米米。第第一一辆汽车辆汽车 到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？2、A、B两两地地相相距距900千千米米，甲甲车车由由A地地到到B地地需需15小小时时，乙乙车车由由B地地到到A地需地需10小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少
144、千米？地还有多少千米？3、甲甲、乙乙两两辆辆汽汽车车早早上上8点点钟钟分分别别从从A、B两两城城同同时时相相向向而而行行。到到10点点钟钟时时两两车车相相距距112.5千千米米。继继续续行行进进到到下下午午1时时，两两车车相相距距还还是是112.5千千米米。A、B两地间的距离是多少千米？两地间的距离是多少千米？第第33周周 行程问题行程问题 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】两两辆辆汽汽车车同同时时从从东东、西西两两站站相相向向开开出出。第第一一次次在在离离东东站站60千千米米的的地地方方相相遇遇。之之后后，两两车车继继续续以以原原来来的的速速度度前前进进。各各自自到到达达对对方方车车站站后后
145、都立即返回，又在距中点西侧都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？千米处相遇。两站相距多少千米？【思路导航】【思路导航】从从两两辆辆汽汽车车同同时时从从东东、西西两两站站相相对对开开出出到到第第二二次次相相遇遇共共行行了了三三个个全全程程。两两辆辆汽汽车车行行一一个个全全程程时时，从从东东站站出出发发的的汽汽车车行行了了60千千米米，两两车车走走三三个个全全程程时时，这这辆辆汽汽车车走走了了3个个60千千米米。这这时时这这辆辆汽汽车车距距中中点点30千千米米，也也就就是是说说这这辆辆汽汽车车再再行行30千千米米的的话话，共共行行的的路路程程相相当当于于东东、西西两两站站路路
146、程程的的1.5倍倍。找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以（603+30）1.5=140（千米）（千米）【练练习习2】1、两两辆辆汽汽车车同同时时从从南南、北北两两站站相相对对开开出出，第第一一次次在在离离南南站站55千千米米的的地地方方相相遇遇，之之后后两两车车继继续续以以原原来来的的速速度度前前进进。各各自自到到站站后后都都立立即返回，又在距中点南侧即返回，又在距中点南侧15千米处相遇。两站相距多少千米？千米处相遇。两站相距多少千米？2、两两列列火火车车同同时时从从甲甲、乙乙两两站站相相向向而而行行。第第一一次次
147、相相遇遇在在离离甲甲站站40千千米米的的地地方方。两两车车仍仍以以原原速速继继续续前前进进。各各自自到到站站后后立立即即返返回回，又又在在离离乙乙站站20千千米的地方相遇。两站相距多少千米？米的地方相遇。两站相距多少千米？3、甲甲、乙乙两两辆辆汽汽车车同同时时从从A、B两两地地相相对对开开出出。第第一一次次相相遇遇时时离离A站站有有90千千米米。然然后后各各按按原原速速继继续续行行驶驶，分分别别到到达达对对方方车车站站后后立立即即沿沿原原路路返返回回。第第二二次次相相遇遇时时在在离离A地地的的距距离离占占A、B两两站站间间全全程程的的65%。A、B两两站站间间的的路程是多少千米？路程是多少千米
148、？第第33周周 行程问题行程问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】A、B两两地地相相距距960米米。甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A、B两两地地同同时时出出发发。若若相相向向而而行行，6分分钟钟相相遇遇；若若同同向向行行走走，80分分钟甲可以追上乙。甲从钟甲可以追上乙。甲从A地走到地走到B地要用多少分钟？地要用多少分钟？【思路导航】【思路导航】【练习【练习3】第第33周周 行程问题行程问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】 上上午午8时时8分分，小小明明骑骑自自行行车车从从家家里里出出发发。8分分钟钟后后每每爸爸爸爸骑骑摩摩托托车车去去追追他他。在在离离家家4千千米米的的地地方方追追上上了
149、了他他，然然后后爸爸爸爸立立即即回回家家。到到家家后后他他又又立立即即回回头头去去追追小小明明。再再追追上上他他的的时时候候，离离家家恰恰好好是是8千千米米（如如图图33-2所示），这时是几时几分？所示），这时是几时几分？【思路导航】【思路导航】【练练习习4】1、A、B两两地地相相距距21千千米米，上上午午8时时甲甲、乙乙分分别别从从A、B两两地地出出发发，相相向向而而行行。甲甲到到达达B地地后后立立即即返返回回，乙乙到到达达A地地后后立立即即返返回回。上上午午10时时他他们们第第二二次次相相遇遇。此此时时，甲甲走走的的路路程程比比乙乙走走的的多多9千千米米，甲甲一一共共行行了了多少千米？甲每
150、小时走多少千米？多少千米？甲每小时走多少千米？2、张张师师傅傅上上班班坐坐车车，回回家家步步行行，路路上上一一共共要要用用80分分钟钟。如如果果往往、返返都都坐坐车，全部行程要车，全部行程要50千米；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？千米；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？3、当当甲甲在在60米米赛赛跑跑中中冲冲过过终终点点线线时时，比比乙乙领领先先10米米，比比丙丙领领先先20米米。如如果果乙乙和和丙丙按按原原来来的的速速度度继继续续冲冲向向终终点点，那那么么乙乙到到达达终终点点时时将将比比丙丙领领先先多多少米？少米？同步教材免费视频同步教材免费视频第第33周周 行程问题行程问题 疯
151、狂操练五疯狂操练五【例例题题5】 甲甲、乙乙、丙丙三三人人，每每分分钟钟分分别别行行68米米、70.5米米、72米米。现现甲甲、乙乙从从东东镇镇去去西西镇镇，丙丙从从西西镇镇去去东东镇镇，三三人人同同时时出出发发，丙丙和和乙乙相相遇遇后后，又又过过2分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少器秒年米毫分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少器秒年米毫 ？【思路导航】【思路导航】如如图图33-3所所示示，可可以以看看出出，乙乙、丙丙两两人人相相遇遇时时，乙乙比比甲甲多多行行的的路路程程正正好好是是后后来来甲甲、丙丙2分分钟钟所所行行的的路路程程和和，是是（68+72）2=280（米米）。而而每每分分钟钟 乙乙 比
152、比 甲甲 多多 行行 70.568=2.5（ 米米 ） 可可 见见 ， 乙乙 、 丙丙 相相 遇遇 时时 间间 是是2802.5=112（分分钟钟），因因此此，求求东东、西西两两镇镇间间的的距距离离可可用用速速度度和和乘乘以以相相遇时间求出。列式为遇时间求出。列式为乙、丙相遇时间：（乙、丙相遇时间：（68+72）22.5=112（分钟）（分钟）东、西两镇相距的千米数：（东、西两镇相距的千米数：（70.5+72）1121000=15.96（千米）（千米）【练练习习5】1、有有甲甲、乙乙、丙丙三三人人，甲甲每每分分钟钟行行70米米，乙乙每每分分钟钟行行60米米，丙丙每每分分钟钟行行75米米，甲甲、
153、乙乙从从A地地去去B地地，丙丙从从B地地去去A地地，三三人人同同时时出出发发，丙遇到甲丙遇到甲8分钟后，再遇到乙。分钟后，再遇到乙。A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？2、一一只只狼狼以以每每秒秒15米米的的速速度度追追捕捕在在它它前前面面100米米处处的的兔兔子子。兔兔子子每每秒秒行行4.5米米，6秒秒钟钟后后猎猎人人向向狼狼开开了了一一枪枪。狼狼立立即即转转身身以以每每秒秒16.5米米的的速速度度背背向向兔子逃去。问：开枪多少秒后兔子与狼又相距兔子逃去。问：开枪多少秒后兔子与狼又相距100米？米？3、甲甲、乙乙两两车车同同时时从从A地地开开往往B地地，乙乙车车6小小时时可可以以到到达
154、达，甲甲车车每每小小时时比比乙乙车车慢慢8千千米米，因因此此比比乙乙车车迟迟一一小小时时到到达达。A、B两两地地间间的的路路程程是是多多少少千千米？米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 在在行行程程问问题题中中，与与环环行行有有关关的的行行程程问问题题的的解解决决方方法法与与一一般般的的行行程程问问题题的的方方法法类类似似，但但有有两两点点值值得得注注意意：一一是是两两人人同同地地背背向向运运动动，从从第第一一次次相相遇遇到到下下次次相相遇遇共共行行一一个个全全程程；二二是是同同地地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。【例题【例
155、题1】【思路导航】【思路导航】 【练习【练习1】2、兄兄、妹妹2人人在在周周长长为为30米米的的圆圆形形小小池池边边玩玩。从从同同一一地地点点同同时时背背向向绕绕水水池池而而行行。兄兄每每秒秒走走1.3米米。妹妹每每秒秒走走1.2米米。他他们们第第10次次相相遇遇时时，劢劢还还要要走走多少米才能归到出发点？多少米才能归到出发点？3、如如图图34-1所所示示，A、B是是圆圆的的直直径径的的两两端端，小小张张在在A点点，小小王王在在B点点，同同时时出出发发反反向向而而行行，他他们们在在C点点第第一一次次相相遇遇，C点点离离A点点80米米；在在D点点第第二次相遇，二次相遇，D点离点离B点点60米。求
156、这个圆的周长。米。求这个圆的周长。第第34周周 行程问题行程问题 疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】 【思路导航】【思路导航】 【练练习习2】1、小小明明绕绕一一个个圆圆形形长长廊廊游游玩玩。顺顺时时针针走走，从从A处处到到C处处要要12分分钟钟，从从B处处到到A处处要要15分分钟钟，从从C处处到到B处处要要11分分钟钟。从从A处处到到B处处需需要要多少分钟（如图多少分钟（如图34-3所示）？所示）？【练习【练习2】3、甲甲、乙乙两两人人在在圆圆形形跑跑道道上上，同同时时从从某某地地出出发发沿沿相相反反方方向向跑跑步步。甲甲速速是是乙乙速速的的3倍倍，他他们们第第一一次次与与第第二二次次相相
157、遇遇地地点点之之间间的的路路程程是是100米米。环环形形跑跑道有多少米？道有多少米？第第34周周 行程问题行程问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】绕绕湖湖的的一一周周是是24千千米米，小小张张和和小小王王从从湖湖边边某某一一地地点点同同时时出出发发反反向向而而行行。小小王王以以每每小小时时4千千米米速速度度走走1小小时时后后休休息息5分分钟钟，小小张张以以每每小小时时6千米的速度每走千米的速度每走50分钟后休息分钟后休息10分钟。两人出发多少时间第一次相遇？分钟。两人出发多少时间第一次相遇？【思思路路导导航航】小小张张的的速速度度是是每每小小时时6千千米米，50分分钟钟走走5千千米米，我我
158、们们可可以以把把他们出发后的时间与行程列出下表：他们出发后的时间与行程列出下表：第第34周周 行程问题行程问题 疯狂操练三疯狂操练三【思路导航】【思路导航】12+15=27，比比24大大，从从上上表表可可以以看看出出，他他们们相相遇遇在在出出发发后后2小小时时10分分至至3小小时时15分分之之间间。出出发发后后2小小时时10分分，小小张张已已走走了了10+5（5010）=11（千千米米），此此时时两两人人相相距距24（8+11）=5（千千米米）。由由于于从从此此时时到到相相遇遇以以不不会会再再休休息息，因因此此共共同同走走完完这这5千千米米所所需需的的时时间间是是5（4+6）=0.5（小小时）
159、，而时），而2小时小时10分分+0.5小时小时=2小时小时40分。分。小张小张50分钟走的路程：分钟走的路程：66050=5（千米）（千米）小张小张2小时小时10分后共行的路程：分后共行的路程：10+5（5010）=11（千米）（千米）两人行两人行2小时小时10分后相距的路程：分后相距的路程：24（8+11）=5（千米）（千米）两人共同行两人共同行5千米所需时间：千米所需时间：5（4+6）=0.5（小时）（小时）相遇时间：相遇时间：2小时小时10分分+0.5小时小时=2小时小时40分分【练练习习3】1、在在400米米环环行行跑跑道道上上，A，B两两点点相相距距100米米。甲甲、乙乙两两人人分分
160、别别从从A，B两两点点同同时时出出发发，按按逆逆时时针针方方向向跑跑步步，甲甲每每秒秒行行5米米，乙乙每每秒秒行行4米，每人跑米，每人跑100米都要停留米都要停留10秒钟。那么甲追上乙需要多少秒？秒钟。那么甲追上乙需要多少秒？2、一一辆辆汽汽车车在在甲甲、乙乙两两站站之之间间行行驶驶。往往、返返一一次次共共用用去去4小小时时。汽汽车车去去时时每每小小时时行行45千千米米，返返回回时时每每小小时时行行驶驶30千千米米，那那么么甲甲、乙乙两两站站相相距距多多少千米？少千米？3、龟龟、兔兔进进行行10000米米跑跑步步比比赛赛。兔兔每每分分钟钟跑跑400米米，龟龟每每分分钟钟跑跑80米米，兔每跑兔每
161、跑5分钟歇分钟歇25分钟，谁先到达终点？分钟，谁先到达终点？第第34周周 行程问题行程问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】一一个个游游泳泳池池长长90米米。甲甲、乙乙二二人人分分别别从从游游泳泳池池的的两两端端同同时时出出发发，游游到到另另一一端端立立即即返返回回。找找这这样样往往、返返游游，两两人人游游10分分钟钟。已已知知甲甲每每秒秒游游3米米，乙乙每每秒秒游游2米米。在在出出发发后后的的两分钟两分钟 内，二人相遇了几次？内，二人相遇了几次？【思路导航】【思路导航】【练练习习4】1、甲甲、乙乙两两个个运运动动员员同同时时从从游游泳泳池池的的两两端端相相向向下下水水做做往往、返返游游泳泳
162、训训练练。从从池池的的一一端端到到另另一一端端甲甲要要3分分钟钟，乙乙要要3.2分分钟钟。两两人人下下水水后连续游了后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？分钟，一共相遇了多少次？2、一一游游泳泳池池道道长长100米米，甲甲、乙乙两两个个运运动动员员从从泳泳道道的的两两端端同同时时下下水水，做做往往、返返训训练练15分分钟钟，甲甲每每分分钟钟游游81米米，乙乙每每分分钟钟游游89米米。甲甲运运动动员员一一共共从乙运动员身边经过了多少次？从乙运动员身边经过了多少次？3、马马路路上上有有一一辆辆身身长长为为15米米的的公公共共汽汽车车，由由东东向向西西行行驶驶，车车速速为为 每每小小时时18千千米米
163、。马马路路一一旁旁人人行行道道上上有有甲甲、乙乙两两名名年年轻轻人人正正在在练练长长跑跑，甲甲由由东东向向西西跑跑，乙乙由由西西向向东东跑跑。某某一一时时刻刻，汽汽车车追追上上了了甲甲，6秒秒争争后后汽汽车车离离开开了了甲甲，半半分分钟钟后后，汽汽车车遇遇到到迎迎面面跑跑来来的的乙乙，又又经经过过了了2秒秒钟钟，汽汽车车离离开开乙乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？再过几秒钟，甲、乙两人相遇？第第34周周 行程问题行程问题 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】甲甲、乙乙两两地地相相距距60千千米米。张张明明8点点从从甲甲地地出出发发去去乙乙地地，前前一一半半时时间间平平均均速速度度为为每每分分钟钟1
164、千千米米，后后一一半半时时间间平平均均速速度为每分钟度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地？千米。张明经过多少时间到达乙地？【思路导航】【思路导航】 【练练习习5】1、A、B两两地地相相距距90千千米米。一一辆辆汽汽车车从从A地地出出发发去去B地地，前前一一半半时时间间平平均均每每小小时时行行60千千米米，后后一一半半时时间间平平均均每每小小时时行行40千千米米。这这辆辆汽车经过多少时间可以到达汽车经过多少时间可以到达B地？地？2、甲甲、乙乙两两人人同同时时从从A点点背背向向出出发发，沿沿400米米环环行行跑跑道道行行走走。甲甲每每分分钟钟走走80米，乙蔑分钟走米，乙蔑分钟走50米。两
165、人至少经过多少分钟才能在米。两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？点相遇？3、在在300米米的的环环行行跑跑道道上上，甲甲、乙乙两两人人同同时时并并排排起起跑跑。甲甲平平均均每每秒秒行行5米米，乙平均每秒行乙平均每秒行4.4米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 本本周周主主要要讲讲结结合合分分数数、百百分分数数知知识识相相关关的的较较为为复复杂杂抽抽象象的的行行程程问问题题。要要注注意意：出出发发的的时时间间、地地点点和和行行驶驶方方向向、速速度度的的变变化等，常常需画线段图来帮助理解题意。化等，常常需画
166、线段图来帮助理解题意。【例例题题1】 客客车车和和货货车车同同时时从从A、B两两地地相相对对开开出出。客客车车 每每小小时时行行驶驶50千千米米，货货车车的的速速度度是是客客车车的的80%，相相遇遇后后客客车车继继续续行行3.2小时到达小时到达B地。地。A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？【思路导航】【思路导航】如如图图35-1所所示示，要要求求A、B两两地地相相距距多多少少千千米米，先先要要求求客客、货货车车合合行行全全程程所所需需的的时时间间。客客车车3.2小小时时行行了了503.2=160（千千米），货车行米），货车行160千米所需的时间为：千米所需的时间为：160（5080%）=
167、4（小时）（小时）所以（所以（50+5080%）4=360（千米）（千米） 【练习【练习1】第第35周周 行程问题行程问题 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】从从甲甲地地到到乙乙地地的的路路程程分分为为上上坡坡、平平路路、下下坡坡三三段段，各各段段路路程程之之比比是是1：2：3，某某人人走走这这三三段段路路所所用用的的时时间间之之比比是是4：5：6。已已知知他他上上坡坡时时的的速速度度为为每每小小时时2.5千千米米，路路程程全全长为长为20千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？【思路导航】【思路导航】【练练习习2】1、从从甲甲地地到到乙乙地地的的路路程程分分为
168、为上上坡坡、平平路路、下下坡坡三三段段，各各段段路路程程之之比比是是2：3：5，小小亮亮走走这这三三段段路路所所用用的的时时间间之之比比是是6：5：4。已已知知小小亮亮走走平平炉炉时时的的速速度度为为每每小小时时4.5千千米米，他他从从甲甲地地走走到到乙乙地地共共用用了了5小小时时。问：甲、乙两地相距多少千米？问：甲、乙两地相距多少千米？2、小小明明去去登登山山，上上午午6点点出出发发，走走了了一一段段平平坦坦的的路路，爬爬上上了了一一座座山山，在在山山顶顶停停了了1小小时时后后按按原原路路返返回回，中中午午11点点回回到到家家。已已知知他他走走平平路路的的速速度度为为每每小小时时4千千米米，
169、上上坡坡速速度度为为每每小小时时3千千米米，下下坡坡速速度度为为每每小小时时6千千米米。问问：小明一共走了多少千米？小明一共走了多少千米？3、青青青青从从家家到到学学校校正正好好要要翻翻一一座座小小山山，她她上上坡坡每每分分钟钟行行50米米，下下坡坡速速度度比比上上坡坡快快40%，从从就就秒秒到到学学校校的的路路程程为为2800米米，上上学学要要用用50分分钟钟。从从学学校回家要用多少时间？校回家要用多少时间？第第35周周 行程问题行程问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】 甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A、B两两地地出出发发，相相向向而而行行，出出发发时时他他们们的的速速度度比比是是3：2
170、。他他们们第第一一次次相相遇遇后后，甲甲的的速速度度提提高高了了20%，乙乙的的速速度度提提高高了了30%。这这样样，当当几几B地地时时，乙乙离离A地地还还有有14千千米米。那那么么A、B两两地地间间的距离是多少千米？的距离是多少千米？【思路导航】【思路导航】【练练习习3】1、甲甲、乙乙两两人人步步行行的的速速度度比比是是13：11，他他们们分分别别由由A、B两两地地同同时时出出发发相相向向而而行行，0.5小小时时后后相相遇遇。如如果果他他们们同同向向而而行行，那那么么甲甲追追上上乙乙需要几小时？需要几小时？2、从从A地地到到B地地，甲甲要要走走2小小时时，乙乙要要走走1小小时时40分分钟钟。
171、若若甲甲从从A地地出出发发8分钟后，乙从分钟后，乙从A地出发追甲。乙出发多久能追上甲？地出发追甲。乙出发多久能追上甲？3、甲甲、乙乙两两车车分分别别从从A、B两两地地出出发发，相相向向而而行行。出出发发时时，甲甲、乙乙的的速速度度比比是是5：4，相相遇遇后后，甲甲的的速速度度减减少少20%，乙乙的的速速度度增增加加20%，这这样样，当当甲甲到到达达B地地时时，乙乙离离A地地还还有有10千千米米。那那么么，A、B两两地地相相距距多多少少千千米米？第第35周周 行程问题行程问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲、乙乙两两班班学学生生到到离离校校24千千米米的的飞飞机机场场参参观观，一一辆辆汽
172、汽车车一一次次只只能能坐坐一一个个班班的的学学生生。为为了了尽尽快快到到达达机机场场，两两个个班班商商定定，由由甲甲班班先先坐坐车车，乙乙班班步步行行，同同时时出出发发。甲甲班班学学生生在在中中途途下下车车步步行行去去机机场场，汽汽车车立立即即返返回回接接途途中中步步行行的的乙乙班班同同学学。已已知知凉凉拌拌学学生生步步行行的的速速度度相相同同，汽汽车车的的速速度度是是步步行行的的7倍倍，汽汽车车应应在在距距机机场场多多少少千千米米处处返返回回接接乙乙班班同同学学，才才能能使使两两班班同同学同时到达机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？学同时到达机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？【思思
173、路路导导航航】如如图图35-4所所示示，汽汽车车到到达达甲甲班班学学生生下下车车的的地地方方又又返返回回到到与与乙乙班班学学生生相相遇遇的的地地点点，汽汽车车所所行行路路程程应应为为乙乙班班不不行行的的7倍倍，即即比比乙乙班班学学生生多多走走6倍倍，因因此此汽汽车车单单程程比比乙乙班班步步行行多多（62）=3（倍倍）。汽汽车车返返回回与与乙乙班班相相遇遇时时，乙乙班班步步行行的的路路程程与与甲甲班班学学生生步步行行到到机机场场的的路路程程相相等等。由由此此得得出出汽汽车车送送甲甲班班学学生生下下车车地地点点到到几几长长的的距距离离为为学学校校到到机机场场的的距距离离的的1/5。列算式为列算式为
174、 24（1+3+1）=4.8（千米）（千米）【练习【练习4】第第35周周 行程问题行程问题 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】 一一辆辆汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地，如如果果把把车车速速提提高高20%，可可以以比比原原定定时时间间提提前前1小小时时到到达达；如如果果按按原原速速行行驶驶120千千米米后后，再再将将速速度度提提高高25%，则可提前则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？【思思路路导导航航】此此题题是是将将行行程程、比比例例、百百分分数数三三种种应应用用题题综综合合在在了了一一起起。解解题题时时，我我们们可可先先求求出出改改车
175、车按按原原定定速速度度到到达达乙乙地地所所需需的的时时间间，再再求求出出甲甲、乙两地的路程。乙两地的路程。【练习【练习5】2、一一个个正正方方形形的的一一边边减减少少20%，另另一一边边增增加加2米米，得得到到一一个个长长方方形形。这这个长方形的面积与原正方形的面积想等。原正方形面积是多少平方米？个长方形的面积与原正方形的面积想等。原正方形面积是多少平方米？3、客客、货货车车同同时时从从甲甲、乙乙两两地地相相对对开开出出，相相遇遇时时客客、货货两两车车所所行行路路程程的的比比是是5：4，相相遇遇后后货货车车每每小小时时比比相相遇遇前前每每小小时时多多走走27千千米米。客客车车仍仍按按原原速速前
176、前进进，结结果果两两车车同同时时到到达达对对方方的的出出发发站站，已已知知客客车车一一共共行行了了10小小时时。甲、乙两地相距多少千米？甲、乙两地相距多少千米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 当当你你逆逆风风骑骑自自行行车车时时有有什什么么感感觉觉？是是的的，逆逆风风时时需需用用很很大大力力气气，因因为为面面对对的的是是迎迎面面吹吹来来的的风风。当当顺顺风风时时，借借着着风风力力，相相对对而而言言用用里里较较少少。在在你你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。解解答答这这类类题题的的要要素素有有下下列列几几点点：水水速速、流流速速、划划速
177、速、距距离离，解解答答这这类类题题与与和和差差问问题题相相似似。划划速速相相当当于于和和差差问问题题中中的的大大数数，水水速速相相当当于于小小数数，顺顺流速相当于和数，逆流速相当于差速。流速相当于和数，逆流速相当于差速。划速划速=（顺流船速（顺流船速+逆流船速）逆流船速）2；水速水速=（顺流船速（顺流船速逆流船速）逆流船速）2；顺流船速顺流船速=划速划速+水速；水速；逆流船速逆流船速=划速划速水速；水速；顺流船速顺流船速=逆流船速逆流船速+水速水速2；逆流船速逆流船速=逆流船速逆流船速水速水速2。【例例题题1】 一一条条轮轮船船往往返返于于A、B两两地地之之间间，由由A地地到到B地地是是顺顺水
178、水航航行行，由由B地地到到A地地是是逆逆水水航航行行。已已知知船船在在静静水水中中的的速速度度是是每每小小时时20千千米米，由由A地地到到B地地用用了了6小小时时，由由B地地到到A地地所所用用的的时时间间是是由由A地地到到B地地所所用用时时间间的的1.5倍，求水流速度。倍，求水流速度。【思思路路导导航航】在在这这个个问问题题中中，不不论论船船是是逆逆水水航航行行，还还是是顺顺水水航航行行，其其行行驶驶的的路路程程相相等等，都都等等于于A、B两两地地之之间间的的路路程程；而而船船顺顺水水航航行行时时，其其形形式式的的速速度度为为船船在在静静水水中中的的速速度度加加上上水水流流速速度度，而而船船在
179、在怒怒水水航航行行时时的的行行驶驶速速度是船在静水中的速度与水流速度的差。度是船在静水中的速度与水流速度的差。解解：设设水水流流速速度度为为每每小小时时x千千米米，则则船船由由A地地到到B地地行行驶驶的的路路程程为为（20+x）6千千米米，船船由由B地地到到A地地行行驶驶的的路路程程为为（20x）61.5千千米。列方程为（米。列方程为（20+x）6=（20x）61.5 x=4【练练习习1】1、水水流流速速度度是是每每小小时时15千千米米。现现在在有有船船顺顺水水而而行行，8小小时时行行320千米。若逆水行千米。若逆水行320千米需几小时？千米需几小时？2、水水流流速速度度每每小小时时5千千米米
180、。现现在在有有一一船船逆逆水水在在120千千米米的的河河中中航航行行需需6小小时，顺水航行需几小时？时，顺水航行需几小时？第第36周周 流水行船问题流水行船问题 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】有有一一船船行行驶驶于于120千千米米长长的的河河中中，逆逆行行需需10小小时时，顺行要顺行要6小时，求船速和水速。小时，求船速和水速。【思路导航】【思路导航】这这题题条条件件中中有有行行驶驶的的路路程程和和行行驶驶的的时时间间，这这样样可可分分别别算算出出船船在在逆逆流流时时的的行行驶驶速速度度和和顺顺流流时时的的行行驶驶速速度度，再再根根据据和和差差问问题题就就可可以以算算出出船船速速和和水水速速
181、。列式为列式为逆流速：逆流速：12010=12（千米（千米/时）时）顺流速：顺流速：1206=12（千米（千米/时）时）船速：（船速：（20+12）2=16（千米（千米/时）时）水速：（水速：（2012）2=4（千米（千米/时）时）【练练习习2】1、有有只只大大木木船船在在长长江江中中航航行行。逆逆流流而而上上5小小时时行行5千千米米，顺顺流流而而下下1小小时时行行5千千米米。求求这这只只木木船船每每小小时时划划船船速速度度和和河河水水的的流流速速各各是是多多少？少？2、有有一一船船完完成成360千千米米的的水水程程运运输输任任务务。顺顺流流而而下下30小小时时到到达达，但但逆逆流流而上则需而
182、上则需60小时。求河水流速和静水中划行的速度？小时。求河水流速和静水中划行的速度？3、一一海海轮轮在在海海中中航航行行。顺顺风风每每小小时时行行45千千米米，逆逆风风每每小小时时行行31千千米米。求求这艘海轮每小时的划速和风速各是多少？这艘海轮每小时的划速和风速各是多少？第第36周周 流水行船问题流水行船问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】 轮轮船船以以同同一一速速度度往往返返于于两两码码头头之之间间。它它顺顺流流而而下下，行行了了8小小时时；逆逆流流而而上上，行行了了10小小时时。如如果果水水流流速速度度是是每每小小时时3千米，求两码头之间的距离。千米，求两码头之间的距离。【思路导航】【
183、思路导航】在同一线段图上做下列游动性示意图在同一线段图上做下列游动性示意图36-1演示：演示：因因为为水水流流速速度度是是每每小小时时3千千米米，所所以以顺顺流流比比逆逆流流每每小小时时快快6千千米米。如如果果怒怒六六时时也也行行8小小时时，则则只只能能到到A地地。那那么么A、B的的距距离离就就是是顺顺流流比比逆逆流流8小小时时多多行行的的航航程程，即即68=48千千米米。而而这这段段航航程程又又正正好好是是逆逆流流2小小时时所所行行的的。由由此此得得出出逆逆流流时时的的速速度度。列算式为（列算式为（3+3）8（108）10=240（千米）（千米）【练练习习3】1、一一走走轮轮船船以以同同样样
184、的的速速度度往往返返于于甲甲、乙乙两两个个港港口口，它它顺顺流流而而下下行行了了7小小时时，逆逆流流而而上上行行了了10小小时时。如如果果水水流流速速度度是是每每小小时时3.6千千米米，求甲、乙两个港口之间的距离。求甲、乙两个港口之间的距离。2、一一艘艘渔渔船船顺顺水水每每小小时时行行18千千米米，逆逆水水每每小小时时行行15千千米米。求求船船速速和和水水速速各是多少？各是多少？3、沿沿河河有有上上、下下两两个个市市镇镇，相相距距85千千米米。有有一一只只船船往往返返两两市市镇镇之之间间，船船的的速速度度是是每每小小时时18.5千千米米，水水流流速速度度每每小小时时1.5千千米米。求求往往返返
185、依依次次所所需需的的时间。时间。第第36周周 流水行船问题流水行船问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】汽汽船船每每小小时时行行30千千米米，在在长长176千千米米的的河河中中逆逆流流航航行要行要11小时到达，返回需几小时？小时到达，返回需几小时？【思路导航】【思路导航】依依据据船船逆逆流流在在176千千米米的的河河中中所所需需航航行行时时间间是是11小小时时，可可以以求求出出逆逆流流的的速速度度。返返回回原原地地是是顺顺流流而而行行，用用行行驶驶路路程程除除以以顺顺流速度，可求出返回所需的时间。流速度，可求出返回所需的时间。逆流速：逆流速：17611=16（千米（千米/时）时）所需时间：所
186、需时间：17630+（3016）=4（小时）（小时）【练练习习4】1、当当一一机机动动船船在在水水流流每每小小时时3千千米米的的河河中中逆逆流流而而上上时时，8小小时时行行48千米。返回时水流速度是逆流而上的千米。返回时水流速度是逆流而上的2倍。需几小时行倍。需几小时行195千米？千米？2、已已知知一一船船自自上上游游向向下下游游航航行行，经经9小小时时后后，已已行行673千千米米，此此船船每每小小时时的划速是的划速是47千米。求此河的水速是多少？千米。求此河的水速是多少？3、一一只只小小船船在在河河中中逆逆流流航航行行3小小时时行行3千千米米，顺顺流流航航行行1小小时时行行3千千米米。求求这
187、只船每小时的速度和河流的速度各是多少？这只船每小时的速度和河流的速度各是多少？第第36周周 流水行船问题流水行船问题 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】 有有甲甲、乙乙两两船船，甲甲船船和和漂漂流流物物同同时时由由河河西西向向东东而而行行，乙乙船船也也同同时时从从河河东东向向西西而而行行。甲甲船船行行4小小时时后后与与漂漂流流物物相相距距100千千米米，乙乙船船行行12小小时时后后与与漂漂流流物物相相遇遇，两两船船的的划划速速相相同，河长多少千米？同，河长多少千米？【思路导航】【思路导航】漂漂流流物物和和水水同同速速，甲甲船船是是划划速速和和水水速速的的和和，甲甲船船4小小时时后后，距距漂漂流
188、流物物100千千米米，即即每每小小时时行行1004=25（千千米米）。乙乙船船12小小时时后后与与漂漂流流物物相相遇遇，所所受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为船速：船速：1004=25（千米（千米/时）时）河长：河长：2512=300（千米）（千米）【练练习习5】1、有有两两只只木木排排，甲甲木木排排和和漂漂流流物物同同时时由由A地地向向B地地前前行行，乙乙木木排排也也同同时时从从B地地向向A地地前前行行，甲甲木木排排5小小时时后后与与漂漂流流物物相相距距75千千米米，乙乙木木排排行行15小小时时后后与与漂漂
189、流流物物相相遇遇，两两木木排排的的划划速速相相同同，A、B两两地地长长多多少少千千米米？2、有有一一条条河河在在降降雨雨后后，每每小小时时水水的的流流速速在在中中流流和和沿沿岸岸不不同同。中中流流每每小小时时59千千米米，沿沿岸岸每每小小时时45千千米米。有有一一汽汽船船逆逆流流而而上上，从从沿沿岸岸航航行行15小小时时走走完完570千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？3、有有一一架架飞飞机机顺顺风风而而行行4小小时时飞飞360千千米米。今今出出发发至至某某地地顺顺风风去去，逆逆风风会会，返返回回的的时时间间比比去去的的时时间间多多3小小时时。已已知
190、知逆逆风风速速为为75千千米米/小小时时，求求距距目目的的地多少千米？地多少千米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 同同学学们们都都熟熟悉悉“田田忌忌与与齐齐王王赛赛马马”的的故故事事，这这个个故故事事给给我我们们的启示是：田忌采用了的启示是：田忌采用了“扬长避短扬长避短”的策略，取得了胜利。的策略，取得了胜利。生生活活中中的的许许多多事事物物都都蕴蕴含含着着数数学学道道理理，人人们们在在竞竞赛赛和和争争斗斗中中总总是是玩玩游游戏戏，大大至至体体育育比比赛赛、军军事事较较量量等等，人人们们在在竞竞赛赛和和争争斗斗中中总总是是希希望望自自己己或或自自己己的的一一方方获获取取胜胜利利，这这
191、就就要要求求参参与与竞竞争争的的双双方方都都要要制制定定出出自自己己的的策策略略，这这就就是是所所谓谓“知知己己知知彼彼，百百战战不不殆殆”。哪哪一一方方的的策策略略更更胜胜一一筹筹，哪哪一一方方就就会会取取得得最最终终的胜利。的胜利。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。【例例题题1】 两两个个人人做做一一个个移移火火柴柴的的游游戏戏，比比赛赛的的规规则则是是：两两人人从从一一堆堆火火柴柴中中可可轮轮流流移移走走1至至7根根火火柴柴，直直到到移移尽尽为为止止。挨挨到到谁谁移移走走最最后后一一根根火火柴柴就就算算谁谁输输。如如果果开开始始时时有有1000根根火
192、火柴柴，首首先先移移火火柴柴的的人人在在第第一一次次移移走走多多少根时才能在游戏中保证获胜。少根时才能在游戏中保证获胜。【思思路路导导航航】先先移移火火柴柴的的人人要要取取胜胜，只只要要取取走走第第999根根火火柴柴，即即利利用用逆逆推法就可得到答案。推法就可得到答案。设设先先移移的的人人为为甲甲，后后移移的的人人为为乙乙。甲甲要要取取胜胜只只要要取取走走第第999根根火火柴柴。因因此此，只只要要取取到到第第991根根就就可可以以了了（如如乙乙取取1根根甲甲就就取取7根根；如如乙乙取取2根根甲甲就就取取6根根。依依次次类类推推，甲甲取取的的与与乙乙取取的的之之和和为为8根根火火柴柴）。由由此此
193、继继续续推推下下去去，甲甲只只要要取第取第983根，第根，第975根，根，第第7根就能保证获胜。根就能保证获胜。所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。根火柴。 【练练习习1】1、一一堆堆火火柴柴40根根，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流去去拿拿，谁谁拿拿到到最最后后一一根根谁谁胜胜。每每人人每每次次可可以以拿拿1至至3根根，不不许许不不拿拿，乙乙让让甲甲先先拿拿。问问：谁谁能能一一定定取取胜？他要取胜应采取什么策略？胜？他要取胜应采取什么策略？2、两两人人轮轮流流报报数数，规规定定每每次次报报的的数数都都是是不不超超过过8的的自自然然数数，把把
194、两两人人报报的的数累加起来，谁先报到数累加起来，谁先报到88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？3、把把1994个个空空格格排排成成一一排排，第第一一格格中中放放一一枚枚棋棋子子，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流移移动动棋棋子子，每每人人每每次次可可后后移移1格格、2格格、3格格，谁谁先先移移到到最最后后一一格格谁谁胜胜。先先移移者者确保获胜的方法是什么？确保获胜的方法是什么？第第37周周 对策问题对策问题 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】 有有1987粒粒棋棋子子。甲甲、乙乙两两人人分分别别轮轮流流取取棋棋子子，每每次次最最少少取取1粒粒，最最多多取取
195、4粒粒，不不能能不不取取，取取到到最最后后一一粒粒的的为为胜胜者者。现现在在两两人人通通过过抽抽签签决决定定谁谁先先取取。你你认认为为先先取取的的能能胜胜，还还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？是后取的能胜？怎样取法才能取胜？【思路导航】【思路导航】从从结结局局开开始始，倒倒推推上上去去。不不妨妨设设甲甲先先取取，乙乙后后取取，剩剩下下1至至4粒粒，甲甲可可以以一一次次拿拿完完。如如果果剩剩下下5粒粒棋棋子子，则则甲甲不不能能一一次次拿拿完完，乙乙胜胜。因因此此甲甲想想取取胜胜，只只要要在在某某一一时时刻刻留留下下5粒粒棋棋子子就就行行了了。不不妨妨设设甲甲先先取取，则则甲甲能能取取胜胜。甲甲第
196、第一一次次取取2粒粒，以以后后无无论论乙乙拿拿几几粒粒，甲甲只只要要使使自自己己的的粒粒数数与与乙乙拿拿的的粒粒数数之之和和正正好好等等于于5，这这样样，每每一一轮轮后后，剩剩下下的的棋棋子子粒粒数数总总是是5的的倍倍数数，最最后后总总能能留下留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。粒棋子，因此，甲先取必胜。【练练习习2】1、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流从从1993粒粒棋棋子子中中取取走走1粒粒或或2粒粒或或3粒粒，谁谁取取到到最最后后一一粒粒的的是是胜胜利利者者，你你认认为为先先取取的的能能获获胜胜，还还是是后后取取的的能能获获胜胜，应采取什么策略？应采取什么策略？2、有有1997根根火火柴柴，甲甲、
197、乙乙两两人人轮轮流流取取火火柴柴，每每人人每每次次可可取取1至至10根根，谁谁能能取取到到最最后后一一根根谁谁为为胜胜利利者者，甲甲先先取取，乙乙后后取取。甲甲有有获获胜胜的的可可能能吗吗？取取胜的策略是什么？胜的策略是什么？3、盒盒子子里里有有47粒粒珠珠子子，两两人人轮轮流流取取，每每次次最最多多取取5粒粒，最最少少取取1粒粒，谁谁最最先先把把盒盒子子的的珠珠子子取取完完，谁谁就就胜胜利利，小小明明和和小小红红来来玩玩这这个个取取珠珠子子的的游游戏戏，先名先、小红后，谁胜？取胜的策略是什么？先名先、小红后，谁胜？取胜的策略是什么？第第37周周 对策问题对策问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题
198、题3】 在在黑黑板板上上写写有有999个个数数：2，3，4，1000。甲甲、乙乙两两人人轮轮流流擦擦去去黑黑板板上上的的一一个个数数（甲甲先先擦擦，乙乙后后擦擦），如如果果最最后后剩剩下下的的两两个个数数互互质质，则则甲甲胜胜，否否则则乙乙胜胜。谁谁必必胜胜？必胜的策略是什么？必胜的策略是什么？【思路导航】【思路导航】甲甲先先擦擦去去1000，剩剩下下的的998个个数数，分分为为499个个数数对对：（2，3），（4，5），（6，7），（998，999）。可可见见每每一一对对数数中中的的两两个个数数互互质质。如如果果乙乙擦擦去去某某一一对对中中的的一一个个，甲甲则则接接着着擦擦去去这这对对中中的
199、的另另一一个个，这这样样乙乙、甲甲轮轮流流去去擦擦，总总是是一一对对数数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。【练练习习3】1、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流从从分分别别写写有有1，2，3，99的的99张张卡卡片片中中任任意意取取走走一一张张，先先取取卡卡的的人人能能否否保保证证在在他他取取走走的的第第97张张卡卡片片时时，使使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？2、两两个个人人进进行行如如下下游游戏戏，即即两两个个人人轮轮流流从从数数列列1，2，3，100，101勾勾去去九九个个数
200、数。经经过过这这样样的的11次次删删除除后后，还还剩剩下下两两个个数数。如如果果这这两两个个数数的的差差是是55，这这时时判判第第一一个个勾勾数数的的人人获获胜胜。问问第第一一个个勾勾数数的的人人能能否否获获胜胜？获胜的策略是什么？获胜的策略是什么？3、在在黑黑板板上上写写n1（n3）个个数数：2，3，4，n。甲甲、乙乙两两人人轮轮流流在在黑黑板板上上擦擦去去一一个个数数。如如果果最最后后剩剩下下的的两两个个数数互互质质，则则乙乙胜胜，否否则则甲甲胜胜。N分分别别取取什什么么值值时时：（1）甲甲必必胜胜？（2）乙乙必必胜胜？必必胜胜的的策策略略是是什什么么？第第37周周 对策问题对策问题 疯狂
201、操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲、乙乙两两人人轮轮流流在在黑黑板板上上写写下下不不超超过过10的的自自然然数数，规规定定禁禁止止在在黑黑板板上上写写已已写写过过的的数数的的约约数数，最最后后不不能能写写的的人人为为失失败败者者。如如果果甲甲第第一一个个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。【思路导航】【思路导航】这这里里关关键键是是第第一一次次写写什什么么数数，总总共共只只有有10个个数数，可可通通过过归归纳纳试试验验。甲甲不不能能写写1，否否则则乙乙写写6，乙乙可可获获胜胜；甲甲不不能能写写3，5，7，否否则则乙乙写写8，乙乙可可获获胜胜；甲甲不不能能写写
202、4，9，10，否否则则乙乙写写6，乙乙可可获获胜胜。因因此此，甲甲先先写写6或或8，才才有可能获胜。有可能获胜。甲甲可可以以获获胜胜。如如甲甲写写6，去去掉掉6的的约约数数1，2，3，6，乙乙只只能能写写4，5，7，8，9，10这这六六个个数数中中的的一一个个，将将这这六六个个数数分分成成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。【练练习习4】1、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流在在黑黑板板上上写写上上不不超超过过14的的自自然然数数。书书写写规规则则是是：不不允允许许写写黑黑板板上上已已写写
203、过过的的数数的的约约数数，轮轮到到书书写写人人无无法法再再写写时时就就是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取什么对策？是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取什么对策？2、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流从从分分别别写写有有3，4，5，11的的9张张卡卡片片中中任任意意取取走走一一张张，规规定定取取卡卡人人不不能能取取已已取取过过的的数数的的倍倍数数，轮轮到到谁谁无无法法再再取取时时，谁谁就就输。现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？应采取的对策是什么？输。现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？应采取的对策是什么？3、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流在在2004粒粒棋棋子子中中取取走走1粒粒，3粒粒，5粒粒
204、或或7粒粒棋棋子子。甲甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？先取，乙后取，取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？第第37周周 对策问题对策问题 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】 有有一一个个33的的棋棋盘盘以以及及9张张大大小小为为一一个个方方格格的的卡卡片片如如图图37-1所所示示，9张张卡卡片片分分别别写写有有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这这几几个个数数。小小兵兵和和小小强强两两人人做做游游戏戏，轮轮流流取取一一张张卡卡片片放放在在9格格中中的的一一格格，小小兵兵计计算算上上、下下两两行行6个个数数的的和和；小小强强计计算左、右两列算左、右两列6
205、个数的和，和数大的一方取胜。小兵一定能取胜吗？个数的和，和数大的一方取胜。小兵一定能取胜吗？【思路导航】【思路导航】如如图图37-1所所示示，由由于于4个个角角的的数数是是两两人人共共有有的的，因因而而和和数数的的大大小小只只与与放放在在A，B，C，D这这4个格中的数有关。个格中的数有关。小小兵兵要要获获胜胜，必必须须采采取取如如下下策策略略，尽尽可可能能把把大大数数填填入入A或或C格格，尽尽可可能能将将小小数数填填入入B格或格或D格。格。由由于于1+103+9，即即B+DA+C，小小兵兵应应先先将将1放放在在B格格，如如小小强强把把10放放进进D格格，小小兵兵再再把把9放放进进A格格，这这时
206、时不不论论小小强强怎怎么么做做，C格格中中一一定定是是大大于于或或等等于于3的的数数，因因而而小小兵兵获获胜胜。如如小小强强把把3放放进进A格格，小小兵兵只只需需将将9放放到到C格格，小小兵兵也也一一定定获获胜胜。100=180（次）。（次）。ABCD【练练习习5】1、在在55的的棋棋盘盘的的右右上上角角放放一一枚枚棋棋子子，每每一一步步只只能能向向左左、想想下下或或向向左左下对角线走一格。两人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？下对角线走一格。两人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？2、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流往往一一个个圆圆桌桌面面上上放放同同样样大大小小的的硬硬币币，规规则则是是每每人
207、人每每次次只只能能放放一一枚枚，硬硬币币不不能能重重叠叠，谁谁放放完完最最后后一一枚枚硬硬币币而而使使对对方方再再无无处处可可放放，谁谁就就获获胜胜。如如果甲先放，那么他怎样才能取胜？果甲先放，那么他怎样才能取胜？3、两两人人轮轮流流在在33的的方方格格中中画画“”和和“”，规规定定每每人人每每次次至至少少画画一一格格，至至多多画画三三格格，所所有有的的格格画画满满后后，谁谁画画的的符符号号总总数数为为偶偶数数，谁谁就就获获胜胜。谁谁有有获获胜胜的的策策略略？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 同同余余这这个个概概念念最最初初是是由由伟伟大大的的德德国国数数学学家家高高斯斯发发现现的的。
208、同同余余的的定定义义是是这这样样的的：两两个个整整数数a，b，如如果果它它们们除除以以同同一一自自然然数数m所所得得的的余余数数想想同同，则则称称a，b对对于于模模m同同余余。记记作作：ab（mod）。读读做做：同同余余于于模模。比比如如，12除除以以5，47除除以以5，它它们们有有相相同同的的余余数数2，这这时时我我们们就就说说，对对于于除数除数5，12和和47同余，记做同余，记做1247（mod5）。）。同余的性质比较多，主要有以下一些：同余的性质比较多，主要有以下一些：性性质质（1）：对对于于同同一一个个出出书书，两两个个数数之之和和（或或差差）与与它它们们的的余余数数之之和和（或或差差
209、）同同余余。比比如如：32除除以以5余余数数是是2，19除除以以5余余数数是是4，两两个个余余数数的的和和是是2+4=6。“32+19”除除以以5的的余余数数就就恰恰好好等等于于它它们们的的余余数数和和6除除以以5的的余余数数。也也就就是是说说，对对于于除除数数5，“32+19”与与它它们们的的余余数数和和“2+4”同同余余，用用 符符 号号 表表 示示 就就 是是 ： 322（ mod 5） ， 194（ mod 5） ，32+192+41（mod5） 性质（性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。性性质质（3）：对
210、对于于同同意意个个除除数数，如如果果有有两两个个整整数数同同余余，那那么么它它们们的的差差就就一一定能被这个除数整除。定能被这个除数整除。性性质质（4）：对对于于同同意意个个除除数数，如如果果两两个个整整数数同同余余，那那么么它它们们的的乘乘方方仍仍然然同余。同余。应应用用同同余余性性质质几几萼萼体体的的关关键键是是要要在在正正确确理理解解的的基基础础上上灵灵活活运运用用同同余余性性质质。把把求求一一个个较较大大的的数数除除以以某某数数的的余余数数问问题题转转化化为为求求一一个个较较小小的的数数除除以以这这个个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题
211、变容易。【例题【例题1】 求求199259除以除以7的余数。的余数。【思路导航】【思路导航】应应用用同同余余性性质质（2）可可将将199259转转化化为为求求1992除除以以7和和59除除以以7的的余余数数的的乘乘积积，使使计计算算简简化化。1992除除以以7余余4，59除除以以7余余3。根根据据同同余余性性质质，“43”除除以以7的的余余数数与与“199259”除除以以7的的余余数数应应该该是是相相同同的的，通通过过求求“43”除除以以7的的余余数数就就可可知道知道199259除以除以7的余数了。的余数了。因为因为199259435（mod 7）所以所以199259除以除以7的余数是的余数是
212、5。 【练习【练习1】1、求、求4217364除以除以6的余数。的余数。2、求、求133965512除以除以13的余数。的余数。3、求、求87943765283除以除以11的余数。的余数。第第38周周 应用同余问题应用同余问题 疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】已已知知2001年年的的国国庆庆节节是是星星期期一一，求求2010年年的的国国庆庆节是星期几？节是星期几？【思思路路导导航航】一一星星期期有有7天天，要要求求2010年年的的国国庆庆节节是是星星期期几几，就就要要求求从从2001年年到到2010年年的的国国庆庆节节的的总总天天数数被被7除除的的余余数数就就行行了了。但但在在甲甲酸酸中中，
213、如如果果我我们们能能充充分分利利用用同同余余性性质质，就就可可以以不必算出这个总天数。不必算出这个总天数。2001年年国国庆庆节节到到2010年年国国庆庆节节之之间间共共有有2个个闰闰年年7个个平平年年，即即有有“3662+3657”天天。因因为为3662224（mod 7），3657170（mod 7），3662+365722+174+04（mod 7）【练习【练习2】1、已知、已知2002年元旦是星期二。求年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？年元旦是星期几？2、已已知知2002年年的的“七七月月一一日日”是是星星期期一一。求求2015年年的的“十十月月一一日日”是是星期几？星期几？3
214、、今天是星期四，再过、今天是星期四，再过365的的15次方是星期几？次方是星期几？第第38周周 应用同余问题应用同余问题 疯狂操练三疯狂操练三【例题【例题3】求求2001的的2003次方除以次方除以13的余数。的余数。【思思路路导导航航】2001除除以以13余余12，即即200112（mod 13）。根根据据同同余余性性质质（4），可可知知2001的的2003次次方方12的的2003次次方方（mod 13），但但12的的2003次次方方仍仍然然是是一一个个很很大大的的值值，要要求求它它的的余余数数比比较较困困难难。这这时时的的关关键键就就是是要要找找出出12的的几几次次方方对对模模13与与1是
215、是同同余余的的。经经试试验验可可知知12的的平平方方1（mod 13），而而200321001+1。所所以以（12的的平平方方）的的1001次次方方1的的1001（mod 13），即即12的的2002次次方方1（mod 13），而而12的的2003次次方方 12的的 2002次次 方方 12。 根根 据据 同同 余余 性性 质质 （ 2） 可可 知知 12的的 2002次次 方方1211212（mod 13） 因因为为：2001的的2003次次方方12的的2003次次方方（mod 13）12的平方的平方1（mod 13），而），而200321001+112的的2003次方次方12的的2002次
216、方次方1211212（mod 13）所以所以2001的的2003次方除以次方除以13的余数是的余数是12。【练习【练习3】1、求、求12的的200次方除以次方除以13的余数。的余数。2、求、求3的的92次方除以次方除以21余几。余几。3、9个个小小朋朋友友坐坐成成一一圈圈，要要把把35的的7次次方方粒粒瓜瓜子子平平均均分分给给他他们们，最最后后剩剩下下几粒？几粒？第第38周周 应用同余问题应用同余问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】自自然然数数16520，14903，14177除除以以m的的余余数数相相同同，m最最大大是是多多少？少？【思路导航】【思路导航】自自然然数数16520，1490
217、3，14177除除以以m的的余余数数相相同同，换换句句话话说说就就是是165201490314177（mod m）。根根据据同同余余性性质质（3），这这三三个个饿饿数数同同余余，那那么么它它们们的的差差就就能能被被m整整除除。要要求求m最最大大是是多多少少，就就是是求求它它们们差差的的最最大公约数是多少？大公约数是多少？因为因为1652014903=1617=37的平方的平方111652014177=2343=31171 1490314177=726=2311的平方的平方M是这些差的公约数，是这些差的公约数，m最大是最大是311=33。【练练习习4】1、若若2836、4582、5164、652
218、2四四个个整整数数都都被被同同一一个个两两位位数数相除，所得的余数相同。除数是多少？相除，所得的余数相同。除数是多少？2、一一个个整整数数除除226、192、141都都得得到到相相同同的的余余数数，且且余余数数不不为为0，这这个个整数是几？整数是几？3、当当1991和和1769除除以以某某一一个个自自然然数数m时时，余余数数分分别别为为2和和1，那那么么m最最小小是多少？是多少？第第38周周 应用同余问题应用同余问题 疯狂操练五疯狂操练五【例题【例题5】某数用某数用6除余除余3，用，用7除余除余5，用，用8除余除余1，这个数最小是几？，这个数最小是几？【思路导航】【思路导航】我我们们可可从从较
219、较大大的的除除数数开开始始尝尝试试。首首先先考考虑虑与与1模模8同同余余的的数数，91（mod 8），但但9输输以以7余余数数不不是是5，所所以以某某数数不不是是9。171（mod 8），17除除以以7的的 余余 数数 也也 不不 是是 5。 251（ mod 8） ， 25除除 以以 7的的 余余 数数 也也 不不 是是 5。331（mod 8），33除除以以7的的余余数数正正好好是是5，而而且且33除除以以6余余数数正正好好是是3，所所以以这这个个数数最最小小是是33。上上面面的的方方法法实实际际是是一一种种列列举举法法，也也可可以以简简化化为为下下面的格式：面的格式：被被8除除余余1的的
220、数数有有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，其其中中被被7除除余余5的的数数有有：33，89，这这些些数数中中被被6除除余余3的的数数最最小小是是33。【练练习习5】1、某某数数除除以以7余余1，除除以以5余余1，除除以以12余余9。这这个个数数最最小小是是几几？2、某数除以、某数除以7余余6，除以，除以5余余1，除以，除以11余余3，求此数最小值。，求此数最小值。3、在在一一个个圆圆圈圈上上有有几几十十个个孔孔（如如图图38-1），小小明明像像玩玩跳跳棋棋那那样样从从A孔孔出出发发沿沿逆逆时时针针方方向向每每隔隔几几个个孔孔跳跳一一步步，希希望望一一圈圈以以后后
221、能能跑跑回回A孔孔，他他先先试试着着每每隔隔2孔孔跳跳一一步步，也也只只能能跳跳到到B孔孔。最最后后他他每每隔隔6孔孔跳跳一一步步，正正好好跳跳回回A孔孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？问：这个圆圈上共有多少个孔？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 牛牛吃吃草草问问题题是是牛牛顿顿问问题题，因因牛牛顿顿提提出出而而得得名名的的。“一一堆堆草草可可供供10头头牛牛吃吃3天天，供供6头头牛牛吃吃几几天天？”这这题题很很简简单单，用用3106=5（天天），如如果果把把“一一堆堆草草”换换成成“一一片片正正在在生生长长的的草草地地”，问问题题就就不不那那么么简简单单了了。因因为为草草每每天天走走在
222、在生生长长，草草的的数数量量在在不不断断变变化化。这这类类工工作作总总量量不不固固定定（均均匀匀变变化化）的的问问题题就是就是“牛吃草牛吃草”问题。问题。解解答答这这类类题题的的关关键键是是要要想想办办法法从从变变化化中中找找到到不不变变的的量量。牧牧场场上上原原有有的的草草是是不不变变的的，新新长长出出的的草草虽虽然然在在变变化化，因因为为是是匀匀速速生生长长，所所以以每每天天新新长长出出的的草草是是不不变变的的。正正确确计计算算草草地地上上原原有有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。的草及每天长出的草，问题就容易解决了。【例例题题1】 一一片片青青草草地地，每每天天都都匀匀速速长长出出青
223、青草草，这这片片青青草草可可供供27头头牛牛吃吃6周或周或23头牛吃头牛吃9周，那么这片草地可供周，那么这片草地可供21头牛吃几周？头牛吃几周？【思路导航】【思路导航】这这片片草草地地上上的的草草的的数数量量每每天天都都在在变变化化，解解题题的的关关键键应应找找到到不不变变量量即即原原来来的的草草的的数数量量。因因为为总总草草量量可可以以分分成成两两部部分分：原原有有的的草草与与新新长长出出的的草草。新新长长出出的的草草虽虽然然在在变变，但但应应注注意意到到是是匀匀速速生生长长，因因而而这这片片草草地地每每天天新新长长出的草的数量也是不变的。出的草的数量也是不变的。假假设设1头头牛牛一一周周吃
224、吃的的草草的的数数量量为为1份份，那那么么27头头牛牛6周周需需要要吃吃276=162（份份），此此时时新新草草与与原原有有的的草草均均被被吃吃完完；23头头牛牛9周周需需吃吃239=207（份份），此此时时新新草草与与原原有有的的草草也也均均被被吃吃完完。而而162份份是是原原有有的的草草的的数数量量与与6周周新新长长出出的的草草的的数数量量的的总总和和；207份份是是原原有有的的草草的的数数量量与与9周周新新长长出出的的草草的的数数量量的的总总和和，因因此此每每周周新新长长出出的的草草的的份份数数为为：（207-162）（9-6）=15（份份），所所以以，原原有有草草的的数数量量为为：16
225、2-156=72（份份）。这这片片草草地地每每周周新新长长草草15份份相相当当于于可可安安排排15头头牛牛专专吃吃新新长长出出来来的的草草，于于是是这这片片草草地地可可供供21 头牛吃头牛吃72（21-15）12（周）（周）【练练习习1】1、一一片片草草地地，每每天天都都匀匀速速长长出出青青草草，如如果果可可供供24头头牛牛吃吃6天天，20头牛吃头牛吃10天，那么可供天，那么可供19头牛吃几天？头牛吃几天？2、牧牧场场上上一一片片草草地地，每每天天牧牧草草都都匀匀速速生生长长，这这片片牧牧草草可可供供10头头牛牛吃吃20天天，或者可供或者可供15头牛吃头牛吃10天，问可供天，问可供25头牛吃几
226、天？头牛吃几天？3、牧牧场场上上的的青青草草每每天天都都在在匀匀速速生生长长，这这片片青青草草可可供供27头头牛牛吃吃6周周或或23头头牛吃牛吃9周，那么这片草地可供周，那么这片草地可供21头牛吃几周？头牛吃几周？第第39周周 牛吃草问题牛吃草问题 疯狂操练二疯狂操练二 【例例题题2】由由于于天天气气逐逐渐渐冷冷起起来来，牧牧场场上上的的草草不不仅仅不不长长大大，反反而而以以固固定定速速度度在在减减少少。已已知知某某块块草草地地上上的的草草可可供供20头头牛牛吃吃5天天或或可可供供15头头牛牛吃吃6天天。照此计算，可供多少头牛吃照此计算，可供多少头牛吃10天？天？【思路导航】【思路导航】与与例
227、例1不不同同的的是是，不不仅仅没没有有新新长长出出的的草草，而而且且原原有有的的草草还还在在减减少少，但但是是，我们同样可以利用与例我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设设1头头牛牛1天天吃吃的的草草为为1份份，20头头牛牛5天天吃吃100份份，15头头牛牛6天天吃吃90份份，100-90=10（份份），说说明明寒寒冷冷的的天天气气使使牧牧场场1天天减减少少青青草草10份份，也也就就是是寒寒冷冷导导致致的的每每天天减减少少的的草草量量相相当当于于10头头牛牛在在吃吃草草。由由“草草地地上上的的草草可可供供20头头牛牛吃吃
228、5天天”，再再加加上上寒寒冷冷导导致致的的每每天天减减少少的的草草量量相相当当于于10头头牛牛同同时时在在吃吃草草，所所以以原原有有草草两两有有（20+10）5=150（份份），由由15010=15知知道道，牧牧场场原原有有的的草草可可供供15头头牛牛吃吃10天天。由由寒寒冷冷导导致致的的原原因因占占去去10头头牛牛吃吃的的草草，所所以以可供可供5头牛吃头牛吃10天。天。【练练习习2】1、由由于于天天气气逐逐渐渐冷冷起起来来，牧牧场场上上的的草草每每天天以以均均匀匀的的速速度度在在减减少少。经经计计算算，牧牧场场上上的的草草可可供供20头头牛牛吃吃5天天或或可可供供16头头牛牛吃吃6天天。那那
229、么么，可供可供11头牛吃几天？头牛吃几天？2、由由于于天天气气逐逐渐渐冷冷起起来来，牧牧场场上上的的草草以以固固定定速速度度在在减减少少。已已知知牧牧场场上上的的草草可可供供33头头牛牛吃吃5天天或或可可供供24头头牛牛吃吃6天天。照照此此计计算算，这这个个牧牧场场可可供供多多少少头牛吃头牛吃10天？天？3、经经测测算算，地地球球上上的的资资源源可可供供100亿亿人人生生活活100年年，或或可可供供80亿亿人人生生活活300年年。假假设设地地球球新新生生成成的的资资源源增增长长速速度度是是一一样样的的，那那么么，为为满满足足人人类类不不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？断发展的需要，地球最
230、多能养活多少亿人？第第39周周 牛吃草问题牛吃草问题 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】自自动动扶扶梯梯以以均均匀匀速速度度由由下下往往上上行行驶驶着着，两两位位性性急急的的孩孩子子要要从从扶扶梯梯上上楼楼。已已知知男男孩孩每每分分钟钟走走20级级台台阶阶，女女孩孩每每分分钟钟走走15级级台台阶阶，结结果果男男孩孩用用5分分钟钟到到达达楼楼上上，女女孩孩用用了了6分分钟钟到到达达楼楼上上。问问：该该扶扶梯梯共共有有多多少少级级台阶？台阶？【思路导航】【思路导航】 与与前前两两个个题题比比较较，“总总的的草草量量”变变成成了了“扶扶梯梯的的台台阶阶总总数数”，“草草”变变成了成了“台阶台阶”，“
231、牛牛”变成了变成了“速度速度”，也可以看成是牛吃草问题。，也可以看成是牛吃草问题。上上楼楼的的速速度度可可以以分分为为两两部部分分：一一部部分分是是男男、女女孩孩自自己己的的速速度度，另另一一部部分分是是自自动动扶扶梯梯的的速速度度。男男孩孩5分分钟钟走走了了205=100（级级），女女孩孩6分分钟钟走走了了156=90（级级），女女孩孩比比男男孩孩少少走走了了10090=10（级级），多多用用了了65=1（分分钟钟），说说明明电电梯梯1分分钟钟走走10级级。因因男男孩孩5分分钟钟到到达达楼楼上上，他他上上楼楼的的速速 度度 是是 自自 己己 的的 速速 度度 与与 扶扶 梯梯 的的 速速 度
232、度 之之 和和 。 所所 以以 ， 扶扶 梯梯 共共 有有（20+10）5=150（级）（级）【练练习习3】1、自自动动扶扶梯梯以以均均匀匀速速度度行行驶驶着着，渺渺小小明明和和小小红红从从扶扶梯梯上上楼楼。已已知知小小明明每每分分钟钟走走25级级台台阶阶，小小红红 每每分分钟钟走走20级级台台阶阶，结结果果小小明明用用5分分钟钟，小小红红用用了了6分分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？2、两两个个顽顽皮皮的的孩孩子子逆逆着着自自动动扶扶梯梯的的方方向向行行走走。在在20秒秒钟钟里里，男男孩孩可可走走27级级台台阶阶，女女孩孩可可走走24级级台台阶阶，
233、男男孩孩走走了了2分分钟钟到到达达另另一一端端，女女孩孩走走了了3分分钟钟到到达达另另一一端端，该该扶梯共有多少级台阶？扶梯共有多少级台阶？3、两两只只蜗蜗牛牛由由于于耐耐不不住住阳阳光光的的照照射射，从从井井顶顶逃逃向向井井底底。白白天天往往下下爬爬，两两只只蜗蜗牛牛白白天天爬爬行行的的速速度度是是不不同同的的。一一只只每每天天白白天天爬爬20分分米米，另另一一只只爬爬15分分米米。黑黑夜夜里里往往下下滑滑，两两只只蜗蜗牛牛滑滑行行的的速速度度却却是是相相同同的的。结结果果一一只只蜗蜗牛牛恰恰好好用用了了5个个昼昼夜夜到到达达井井底，另一只蜗牛恰好用了底，另一只蜗牛恰好用了6个昼夜到达井底。
234、那么，井深多少米？个昼夜到达井底。那么，井深多少米？第第39周周 牛吃草问题牛吃草问题 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】 一一只只船船有有一一个个漏漏洞洞，水水以以均均匀匀的的速速度度进进入入船船内内，发发现现漏漏洞洞时时已已经经进进了了一一些些水水。如如果果用用12人人舀舀水水，3小小时时舀舀完完。如如果果只只有有5个个人人舀舀水水，要要10小时才能舀完。现在要想小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？小时舀完，需要多少人？【思路导航】【思路导航】已已漏漏进进的的水水，加加上上3小小时时漏漏进进的的水水，每每小小时时需需要要（123）人人舀舀完完，也也就就是是36人人用用1小小时时才
235、才能能舀舀完完。已已漏漏进进的的水水，加加上上10小小时时漏漏进进的的水水，每每小小时时需需要要（510）人人舀舀完完，也也就就是是50人人用用1小小时时才才能能舀舀完完。通通过过比比较较，我我们们可可以以得得出出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。小时内漏进的水及船中已漏进的水。1小时漏进的水，小时漏进的水，2个人用个人用1小时能舀完：小时能舀完：（510123）（103）=2已漏进的水：（已漏进的水：（122）3=30已漏进的水加上已漏进的水加上2小时漏进的水，需小时漏进的水，需34人人1小时完成：小时完成： 30+22=34用用2小时来舀完这些水需要小时来舀完这些水需要17人：人：342=
236、17（人）（人）【练练习习4】1、有有一一水水池池，池池底底有有泉泉水水不不断断涌涌出出。用用10部部抽抽水水机机20小小时时可可以以把把水水抽抽干干，用用15部部相相同同的的抽抽水水机机10小小时时可可以以把把水水抽抽干干。那那么么用用25部部这这样的抽水机多少小时可以把水抽干？样的抽水机多少小时可以把水抽干？2、有有一一个个长长方方形形的的水水箱箱，上上面面有有一一个个注注水水孔孔，底底面面有有一一个个出出水水孔孔，两两孔孔同同时时打打开开后后，如如果果每每小小时时注注水水30立立方方分分米米，7小小时时可可以以注注满满水水箱箱；如如果果每每小小时时注注水水45立立方方分分米米，注注满满水
237、水箱箱可可少少用用2.5小小时时。那那么么每每小小时时由由底底面面小小孔孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？3、有有一一水水井井，连连续续不不段段涌涌出出泉泉水水，每每分分钟钟涌涌出出的的水水量量相相等等。如如果果用用3台台抽抽水水机机来来抽抽水水，36分分钟钟可可以以抽抽完完；如如果果使使用用5台台抽抽水水机机，20分分钟钟抽抽完完。现现在在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？第第39周周 牛吃草问题牛吃草问题 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】有有三三块块草草地地，面面积积分分别别为为5，6，和和
238、8公公顷顷。草草地地上上的的草草一一样样厚厚，而而且且长长得得一一样样快快。第第一一块块草草荐荐地地可可供供11头头牛牛吃吃10天天，第第二二块块草草地地可可供供12头牛吃头牛吃14天。问第三块草地可供天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？头牛吃多少天？【思路导航】【思路导航】前前几几天天我我们们接接触触的的是是在在同同一一块块草草地地上上，同同一一个个水水池池中中，现现在在是是三三块块面面积积不不同同的的草草地地。为为了了解解决决这这个个问问题题，只只需需将将三三块块草草地地的的面面积积统统一一起起来来。即即5，6，8=120这这样样，第第一一块块5公公顷顷可可供供11头头牛牛吃吃10天天，
239、1205=24，变变为为120公公顷顷草草地地可可供供1124=264（头头）牛牛吃吃10天天第第二二块块6公公顷顷可可供供12头头牛牛吃吃14天天，1206=20，变变为为120公公顷顷草草地地可可供供1220=240（头头）牛牛吃吃14天天。1208=15。第第39周周 牛吃草问题牛吃草问题 疯狂操练五疯狂操练五【思路导航】【思路导航】问题变成：问题变成：120公顷草地可供公顷草地可供1915=285（头）牛吃几天？（头）牛吃几天？因因为为草草地地面面积积相相同同，可可忽忽略略具具体体公公顷顷数数，原原题题可可变变为为：一一块块草草地地匀匀速速生生长长，可可供供264头头牛牛吃吃10天天或
240、或供供240头头牛牛吃吃14天天， 那那么么可可供供285头头牛牛齿齿及及天天？即每天新长出的草：（？即每天新长出的草：（2401426410）（1410）=180（份）（份）草地原有草：（草地原有草：（264180）10=840（份）（份）可供可供285头牛吃的时间：头牛吃的时间：840（285180）=8（天）（天）【练练习习5】1、某某车车站站在在检检票票前前若若干干分分钟钟就就开开始始排排队队，每每分分钟钟来来的的旅旅客客人人数数一一样样多多。从从开开始始检检票票到到等等候候检检票票的的队队伍伍消消失失，同同时时开开4个个检检票票口口需需30分分钟钟，同同时时开开5个个检检票票口口需需
241、20分分钟钟。如如果果同同时时打打开开7个个检检票票口口，那那么么需需多多少少分钟？分钟？2、快快、中中、慢慢三三车车同同时时从从A地地出出发发，追追赶赶一一辆辆正正在在行行驶驶的的自自行行车车，三三车车的的速速度度分分别别是是嵋嵋小小时时24千千米米、20千千米米、19千千米米。快快车车追追上上自自行行车车用用了了6小小时，中车追上自行车用了时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？小时，慢车追上自行车用多少小时？3、一一个个牧牧场场上上的的青青草草每每天天都都匀匀速速生生长长。这这片片青青草草可可供供17头头牛牛吃吃30天天，或或供供19头头牛牛吃吃24天天。现现有有一一群
242、群牛牛吃吃了了6天天后后卖卖掉掉4头头，余余下下的的牛牛又又吃吃了了2天天将将草吃完。这群牛原来有多少头？草吃完。这群牛原来有多少头？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 当当方方程程的的个个数数比比方方程程中中未未知知数数的的个个数数少少时时，我我们们就就称称这这样样的的方方程程为为不不定定方方程程。如如5x3y9就就是是不不定定方方程程。这这种种方方程程的的解解是是不不确确定定的的。如如果果不不加加限限制制的的话话，它它的的解解有有无无数数个个；如如果果附附加加一一些些限限制制条条件件，那那么么它它的的解解的的个个数就是有限的了。如数就是有限的了。如5x3y9的解有：的解有：如如果果限
243、限定定x、y的的解解是是小小于于5的的整整数数，那那么么解解就就只只有有x3，Y2这这一一组组了了。因因此此，研研究究不不定定方方程程主主要要就就是是分分析析讨讨论论这这些些限限制制条条件件对对解解的的影影响响。解解不不定定方方程程时时一一般般要要将将原原方方程程适适当当变变形形，把把其其中中的的一一个个未未知知数数用用另另一一个个未未知知数数来来表表示示，然然后后再再一一定定范范围围内内试试验验求求解解。解解题题时时要要注注意意观观察察未未知知数数的的特特点点，尽尽量量缩缩小小未未知知数数的的取取值值范范围围，减减少少试试验验的的次次数数。对对于于有有3个个未未知知数数的的不不定定方方程程组
244、组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解解答答应应用用题题时时，要要根根据据题题中中的的限限制制条条件件（有有时时是是明明显显的的，有有时时是是隐隐蔽蔽的的）取适当的值。取适当的值。【例题【例题1】 求求3x+4y23的自然数解。的自然数解。【思路导航】【思路导航】【练习【练习1】1、求、求3x+2y25的自然数解。的自然数解。2、求、求4x+5y37的自然数解。的自然数解。3.求求5x3y16的最小自然数解。的最小自然数解。第第40周周 不定方程不定方程 疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】【练习【练习2】第第4
245、0周周 不定方程不定方程 疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】 一一个个商商人人将将弹弹子子放放进进两两种种盒盒子子里里，每每个个大大盒盒子子装装12个个，每每个个小小盒盒子子装装5个个，恰恰好好装装完完。如如果果弹弹子子数数为为99，盒盒子数大于子数大于9，问两种盒子各有多少个？，问两种盒子各有多少个？【思思路路导导航航】两两种种盒盒子子的的个个数数都都应应该该是是自自然然数数，所所以以要要根根据据题题意意列列出出不定方程，再求出它的自然数解。不定方程，再求出它的自然数解。 设大盒子有设大盒子有x个，小盒子有个，小盒子有y个，则个，则 12x+5y99（x0，y0，x+y9） y（9912y）
246、5【练练习习3】1、某某校校6（1）班班学学生生48人人到到公公园园划划船船。如如果果每每只只小小船船可可坐坐3人人，每只大船可坐每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）2、甲甲级级铅铅笔笔7角角钱钱一一枝枝，乙乙级级铅铅笔笔3角角钱钱一一枝枝，小小华华用用六六元元钱钱恰恰好好可可以以买买两种不同的铅笔共几枝？两种不同的铅笔共几枝？3、小小华华和和小小强强各各用用6角角4分分买买了了若若干干枝枝铅铅笔笔，他他们们买买来来的的铅铅笔笔中中都都是是5分分一一枝枝和和7分分一一枝枝的的两两种种，而而且且小小华华买买来来的的铅铅笔笔比比
247、小小强强多多，小小华华比比小小强强多多买买来多少枝？来多少枝？同步教材免费视频同步教材免费视频第第40周周 不定方程不定方程 疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】买买三三种种水水果果30千千克克，共共用用去去80元元。其其中中苹苹果果每每千千克克4元元，橘橘子子每每千千克克3元元，梨梨每每千千克克2元元。问问三三种种水水果果各各买买了了多少千克？多少千克？【思路导航】【思路导航】【练练习习4】1、有有红红、黄黄、蓝蓝三三种种颜颜色色的的皮皮球球共共26只只，其其中中蓝蓝皮皮球球的的只只数数是黄皮球的是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？倍，蓝皮球有多少只？2、用用10元元钱钱买买25枝枝笔笔。已已知知
248、毛毛笔笔每每枝枝2角角，彩彩色色笔笔每每枝枝4角角，钢钢笔笔每每枝枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）3、晓晓敏敏在在文文具具店店买买了了三三种种贴贴纸纸；普普通通贴贴纸纸每每张张8分分，荧荧光光纸纸每每张张1角角，高高级级纸纸每每张张2角角。她她一一共共用用了了一一元元两两角角两两分分钱钱。那那么么，晓晓敏敏的的三三种种贴贴纸纸的的总总数最少是多少张？数最少是多少张？第第40周周 不定方程不定方程 疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】 某某次次数数学学竞竞赛赛准准备备例例2枝枝铅铅笔笔作作为为奖奖品品发发给给获获得得一一、二二、三三等等奖奖的的学学生生。
249、原原计计划划一一等等奖奖每每人人发发6枝枝，二二等等奖奖每每人人发发3枝枝，三三等等奖奖每每人人发发2枝枝。后后又又改改为为一一等等奖奖每每人人发发9枝枝，二二等等奖奖每每人人发发4枝枝，三三等等奖奖每每人人发发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？【思路导航】【思路导航】 【练练习习5】1、某某人人打打靶靶，8发发打打了了53环环，全全部部命命中中在在10环环、7环环和和5环环。他命中他命中10环、环、7环和环和5环各几发？环各几发？2、篮篮子子里里有有煮煮蛋蛋、茶茶叶叶蛋蛋和和皮皮蛋蛋30个个，价价值值24元元。已已知知煮煮蛋蛋每每个个0.60元元，茶叶蛋每个茶叶蛋每个1元，皮蛋每个元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？元。问篮子里最多有几个皮蛋？同步教材免费视频同步教材免费视频
