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1、勾股定理在几何图形中的计算与应用 勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜斜边为边为c，那么，那么即即 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。于斜边的平方。abc勾股定理在几何图形中的计算与应用1.直角三角形三边有什么关系直角三角形三边有什么关系?2.如图如图,在在RtABC中中 C=90o已知已知a,b. C=_已知已知a, c. b=_已知已知b,c a=_ACBabc3.你能利用勾股定理解决什么样的实际问题你能利用勾股定理解决什么样的实际问题?勾股定理
2、在几何图形中的计算与应用练习:1、在ABC中，B=90若a=3，b=5，则c= 2 、在RtABC中，C=90,C的对边为c, c=7,b=3, 则a=_3、等腰直角三角形的腰长为3cm，则底边长为 .4、直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，则第三边长为 .5、直角三角形两直角边分别为6cm,8cm，那么这个直角三角形的斜边长为：_ 勾股定理在几何图形中的计算与应用1、在、在RtABC中，中，C=90， 若若a=5，b=12，则，则c=_； 若若c=61，b=60，则，则a=_； 若若a b=3 4，c=10则则SRtABC=_。 131124基础过关基础过关勾股定理在几何图形中的计算与应用2
3、、把直角三角形两条直角边同时扩大、把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的到原来的3倍，则其斜边（倍，则其斜边（ ）A.不变不变 ,B.扩大到原来的扩大到原来的3倍倍C.扩大到原来的扩大到原来的9倍倍 D.减小到原来的减小到原来的1/3B3 3、已知一个直角三角形的两边长分别为已知一个直角三角形的两边长分别为3 3和和4 4，则第，则第三边长的平方是三边长的平方是( )( ) A.25 A.25 B B.14.14 C.7 C.7 D.7D.7或或2525勾股定理在几何图形中的计算与应用ABCD7cm2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三
4、角形，其中最大的正方形的边长为都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则则正方形正方形A，B，C，D的面积之和为的面积之和为_cm2。49勾股定理在几何图形中的计算与应用(1)求出下列直角三角形中未知的边求出下列直角三角形中未知的边.问题问题: 在解决上述在解决上述 问题时问题时,每个每个 直角三角形直角三角形 需知需知 晓几个晓几个 条件条件? 直角三角形中哪条边最长直角三角形中哪条边最长? 检查：检查：3030ABCABC610CBA815245CBA2(2)在长方形在长方形ABCD中中,宽宽AB为为1m,长长BC为为2m,求求AC长长 勾股定理在几何图形中的计算与应用一个门框的尺
5、寸如图所示，一块长一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过的薄木板能否从门框内通过?为什么为什么?2m2mD DC CA AB B连结连结AC,在在RtABC中中,根据勾股定理根据勾股定理,因此因此,AC= 2.236因为因为AC_木板的宽木板的宽,所以木板所以木板_ 从门框内通过从门框内通过.大于大于能能勾股定理在几何图形中的计算与应用1m2m探究一探究一(1)一个门框的尺寸如图所示一个门框的尺寸如图所示.若有一块长若有一块长3米米,宽宽0.8米的薄木板米的薄木板,问问怎样从门框内通过怎样从门框内通过?若薄木板长若薄木板长3米米,宽宽1.5米呢米呢?若薄木板
6、长若薄木板长3米米,宽宽2.2米还能通过吗米还能通过吗?若能，怎么通过？若不能，为什么？若能，怎么通过？若不能，为什么？勾股定理在几何图形中的计算与应用、如图、如图:一个高一个高3 米米,宽宽4 米的大门米的大门,需在相对角需在相对角的顶点间加一个加固木板的顶点间加一个加固木板,则木板的长为则木板的长为 ( )A.3 米米 B.4 米米 C.5米米 D.6米米C试一试试一试:勾股定理在几何图形中的计算与应用如图，一个如图，一个m长的梯子长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙，斜靠在一竖直的墙AO上，这时上，这时AO的距离为的距离为2.5m，求梯子的底端求梯子的底端B距墙角距墙角O多少米？多少米？如果梯
7、子的顶端如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑0.5m至至，请请同学们同学们猜一猜，那么梯子底端猜一猜，那么梯子底端B也外移也外移0.5m吗？吗？算一算，底端滑动的距离近似值（保留两位小数算一算，底端滑动的距离近似值（保留两位小数)BOCDAABODCO勾股定理在几何图形中的计算与应用BOCDAABODCO在在tAOB中中oB2=_oB=_在在RtCOD中中OD2=_OD=_BD=_梯子的顶端沿墙下滑，梯子底端外移梯子的顶端沿墙下滑，梯子底端外移解解AB2-AO21.658mCD2-CO22.236mOD-OB0.58m0.58m勾股定理在几何图形中的计算与应用 2 2、如图有两颗树，一棵高、如图有
8、两颗树，一棵高8m8m，另一棵高，另一棵高2m2m，两树相距，两树相距8m8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？另一棵树的树梢，至少飞了多少米？8m2m8mA AB BC CD DE E勾股定理在几何图形中的计算与应用一一大大楼楼发发生生火火灾灾，消消防防车车立立即即赶赶到到距距大大楼楼9 9米米处处，升升起起云云梯梯到到失失火火的的窗窗口口，已已知知发发生生火火灾灾的的窗窗口口距距地地面面有有14.214.2米米，云云梯梯底底部部距距地地面面2.22.2米米，问问云云梯梯至至少少需需要要搭搭出出多多少少米可以够到失火的窗口米可以够到失火的
9、窗口?ABCED帮一帮消防员 勾股定理在几何图形中的计算与应用DABC3 3、蚂蚁沿图中的折线从、蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到点爬到D D点，一共爬点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为了多少厘米？（小方格的边长为1 1厘米）厘米）GFE提示提示构构造造直直角角三三角角形形勾股定理在几何图形中的计算与应用勾股定理在几何图形中的计算与应用三、勾股定理的应用三、勾股定理的应用 1.已知：直角已知：直角ABC中，中，C=90， 若若a=3, b=4, 求求 c 的值。的值。（一）（一） 直接运用勾股定理求边直接运用勾股定理求边若若c-a=2, b=6，求，求 c 的值的值勾股定理在几何图形中的计算
10、与应用三、勾股定理的应用三、勾股定理的应用 （一）（一） 直接运用勾股定理求边直接运用勾股定理求边3 3、若直角三角形的三边长分别为、若直角三角形的三边长分别为2 2、 4 4、 x x，则，则x=_x=_ 2.已知直角三角形已知直角三角形ABC中中,(1)若若AC=8,AB=10,则则 = _. (2) 若若 =30,且且BC=5,则则AB=_(3)若若 =24,且且BC=6,则则AB边上的高边上的高为为_BAC24134.8勾股定理在几何图形中的计算与应用2、 如图，如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求，求AC的长。的长。解：解：ABD=90，DAB=30BD
11、= AD=4在在RtABD中中,根据勾股定理根据勾股定理在在RtABC中，中，又又AD=8ABCD308勾股定理在几何图形中的计算与应用3.在一棵树的在一棵树的20米的米的B处有两只猴子处有两只猴子,其中一其中一只猴子爬下树走到离树只猴子爬下树走到离树40米的米的A处处,另一只爬另一只爬到树顶到树顶D后直接约向后直接约向A处处,且测得且测得AD为为50米米,求求BD的长的长.勾股定理在几何图形中的计算与应用三、勾股定理的应用三、勾股定理的应用 （二）先构造，再运用（二）先构造，再运用A AB BC C5 55 56 61、如图，求、如图，求 ABC的面积的面积D D勾股定理在几何图形中的计算与
12、应用 已知已知:如图如图,等边等边ABC的高的高AD是是 . (1)求边长求边长; (2)求求SABC .ABCD练一练练一练勾股定理在几何图形中的计算与应用1、在等腰、在等腰ABC中，中，ABAC13cm ，BC=10cm,求求ABC的面积的面积和和AC边上的高。边上的高。ABCD131310H提示：利用面积相等的关系提示：利用面积相等的关系 练习勾股定理在几何图形中的计算与应用校园里有一块三角形空地，现准备在这校园里有一块三角形空地，现准备在这校园里有一块三角形空地，现准备在这校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出块空
13、地上种植草皮以美化环境，已经测量出块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是它的三边长分别是它的三边长分别是它的三边长分别是13131313、14141414、15151515米，若这种草米，若这种草米，若这种草米，若这种草皮每平方米售价皮每平方米售价皮每平方米售价皮每平方米售价120120120120元，则购买这种草皮至元，则购买这种草皮至元，则购买这种草皮至元，则购买这种草皮至少需要支出多少？少需要支出多少？少需要支出多少？少需要支出多少？ 151314ABCDx14-x勾股定理在几何图形中的计算与应用下图是学校的旗杆下图是学校的旗杆下图是学校的旗杆下图是学校的旗杆, , ,
14、,旗杆上的绳子垂到了地面旗杆上的绳子垂到了地面旗杆上的绳子垂到了地面旗杆上的绳子垂到了地面, , , ,并多出了一段并多出了一段并多出了一段并多出了一段, , , , 旗杆有多高呢？旗杆有多高呢？旗杆有多高呢？旗杆有多高呢？ 你能想个办法吗你能想个办法吗你能想个办法吗你能想个办法吗? ? ? ?请你与同伴交流设计方案请你与同伴交流设计方案请你与同伴交流设计方案请你与同伴交流设计方案? ? ? ? 小明发现旗杆上的绳子垂到小明发现旗杆上的绳子垂到小明发现旗杆上的绳子垂到小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多地面还多地面还多地面还多1 1 1 1米，当他们把绳子的下米，当他们把绳子的下米，当他们把绳子的
15、下米，当他们把绳子的下端拉开端拉开端拉开端拉开5 5 5 5米后，发现下端刚好接触米后，发现下端刚好接触米后，发现下端刚好接触米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度地面，你能帮他们把旗杆的高度地面，你能帮他们把旗杆的高度地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？和绳子的长度计算出来吗？和绳子的长度计算出来吗？和绳子的长度计算出来吗？ ABCxx+1x+1勾股定理在几何图形中的计算与应用如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE解：由题意可知，DE为AB的垂直平分线。连接BE，则在 B
16、CE中，C=90由勾股定理可得：CE2=BE2 BC2 =AE2 BC2 =(AC CE)2 BC2解得：CE=3.2cm勾股定理在几何图形中的计算与应用 折叠问题折叠问题2 2、矩形纸片、矩形纸片D D中，中，D D4cm4cm，AB=10cmAB=10cm，按，按如图方式折叠，折痕是如图方式折叠，折痕是EFEF，求，求DEDE的长度？的长度？A AB BC CD DE EF F（B B）（C C）勾股定理在几何图形中的计算与应用如图如图, ,折叠长方形折叠长方形（四个角都是直角，（四个角都是直角，对边相等）对边相等）的一边，使点的一边，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，若
17、处，若AB=8AB=8，AD=10.AD=10.（1 1）你能说出图中哪些线段的长）你能说出图中哪些线段的长? ?（2 2）求）求ECEC的长的长. .1 10 04 46 68 81 10 0x xEFDCBA8 8- -x x8 8- -x x勾股定理在几何图形中的计算与应用3 3、在波平如静的湖面上在波平如静的湖面上, ,有一朵美丽的红莲有一朵美丽的红莲 , ,它高它高出水面出水面1 1米米 , ,一阵大风吹过一阵大风吹过, ,红莲被吹至一边红莲被吹至一边, ,花朵花朵齐及水面齐及水面, ,如果知道红莲移动的水平距离为如果知道红莲移动的水平距离为2 2米米 , ,问问这里水深多少这里水深
18、多少? ?x+1x+1B BC CA AH H1 12 2? ?x xx x2 2+2+22 2=(x+1)=(x+1)2 2勾股定理在几何图形中的计算与应用试一试：试一试： 在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长有一个水池，水面是一个边长为为10尺的正方形，在水池的中尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出央有一根新生的芦苇，它高出水面水面1尺，如果把这根芦苇垂尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池达岸
19、边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是的深度和这根芦苇的长度各是多少？多少？DABC勾股定理在几何图形中的计算与应用无障碍设施建设是社会文明进步的重要标志，是城市管理无障碍设施建设是社会文明进步的重要标志，是城市管理人性化、现代化的必要举措，是上海成为现代化国际大都市不人性化、现代化的必要举措，是上海成为现代化国际大都市不可或缺的环境条件。可或缺的环境条件。20072007年在上海举行第年在上海举行第1212届夏季特殊奥林匹克运动会届夏季特殊奥林匹克运动会如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为每格楼梯的高为11.25cm11
20、.25cm，宽，宽20cm20cm，你能求出通道的，你能求出通道的长度吗？长度吗？ACB在在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90 ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2(勾股定理勾股定理）解：解：AC=11.254=45cm,BC=203=60cmAC=11.254=45cm,BC=203=60cm通道的长度为通道的长度为75cm.75cm.4560勾股定理在几何图形中的计算与应用ACB在在RtADCRtADC中，中， ADC=30 ADC=30, AD=2AC=90cmAD=2AC=90cm（）（）解：解：AC=45cm,BC=60cmAC=45cm,BC=60c
21、mD若放缓坡度，使若放缓坡度，使ADC=30,ADC=30,则点则点D D还要距离点还要距离点B B多远多远？30DB=DC-BC= .DB=DC-BC= .20072007年将在上海举行第年将在上海举行第1212届夏季特殊奥林匹克运动会届夏季特殊奥林匹克运动会如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为每格楼梯的高为11.25cm11.25cm，宽，宽20cm20cm，你能求出通道的长，你能求出通道的长度吗？度吗？4560勾股定理在几何图形中的计算与应用 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个个56
22、cm36cm23cm56cm36cm23cm的长方体空间。一位旅客的长方体空间。一位旅客携带一件长携带一件长 的画卷，这件画卷能平放入的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？行李架吗？ 365623ACEBDFGH5636ABCD解：解：四边形四边形ABCDABCD是长方形（是长方形（已知已知）B=90 B=90 （长方形的四个角都是直角长方形的四个角都是直角）在在RtABCRtABC中，中，ACAC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2(勾股定理勾股定理）得得6566.6,6566.6,长长65cm65cm的画卷能放入行李架的画卷能放入行李架65cm勾股定理在几何图形中的计算与应用圆柱圆柱(锥
23、锥)中的最值问题中的最值问题例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC = 6 1 = 5 ，BC = 24 = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169,AB=13(m) .21BAC勾股定理在几何图形中的计算与应用聪明的葛藤聪明的葛藤 葛葛藤藤是是一一种种刁刁钻钻的的植植物物，它它自自己己腰腰杆杆不不硬硬
24、，为为了了得得到到阳阳光光的的沐沐浴浴，常常常常会会选选择择高高大大的的树树木木为为依依托托，缠缠绕绕其其树树干干盘盘旋旋而而上上。如如图图(1)所示。所示。 葛葛藤藤又又是是一一种种聪聪明明的的植植物物，它它绕绕树树干干攀攀升升的的路路线线，总总是是沿沿着着最最短短路路径径螺螺旋旋线线前前进进的的。若若将将树树干干的的侧侧面面展展开开成成一一个个平平面面，如如图图（2），可可清清楚楚的的看看出出葛葛藤藤在这个平面上是沿直线上升的。在这个平面上是沿直线上升的。（1）（2）数学奇闻勾股定理在几何图形中的计算与应用有有 一棵树直立在地上，树高一棵树直立在地上，树高2丈，粗丈，粗3尺，有一尺，有一根
25、葛藤从树根处缠绕而上，缠绕根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（请问这根葛藤条有多长？（1丈等于丈等于10尺）尺）ABC20尺37=21（尺）聪明的葛藤勾股定理在几何图形中的计算与应用例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图 ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1421 AC1 =42+32 =25 ;ABB1CA1C1412 AC1 =62+12 =37
26、 ;AB1D1DA1C1412 AC1 =52+22 =29 . 四、长方体中的最值问题四、长方体中的最值问题勾股定理在几何图形中的计算与应用如图：正方体的棱长为如图：正方体的棱长为cm，一只蚂蚁，一只蚂蚁欲从正方体底面上的顶点欲从正方体底面上的顶点A沿正方体的沿正方体的表面到顶点表面到顶点C处吃食物，那么它需要爬处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？行的最短路程的长是多少？ABCDABCD勾股定理在几何图形中的计算与应用9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于分别等于cm，cm和和cm，A和和B是这个台阶是这个台阶的两个相
27、对的端点，的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着点出发，沿着台阶面爬到台阶面爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？BAABC勾股定理在几何图形中的计算与应用7 .7 .观察下列表格：观察下列表格：列列举举猜想猜想3 3、4 4、5 53 32 2=4+5=4+55 5、1212、13135 52 2=12+13=12+137 7、2424、25257 72 2=24+25=24+251313、b b、c c13132 2=b+c=b+c请你结合该表格及相关知识，求出请你
28、结合该表格及相关知识，求出b b、c c的值的值. .即即b=b= ，c=c= 8485勾股定理在几何图形中的计算与应用ABCDE 如图，RtABERtECD，AB=a，CD=b，AE=c。试证明：勾股定理在几何图形中的计算与应用 4如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，D点在点在CB延长线上，延长线上，求证：求证：AD2-AB2=BDCDABCD证明：证明：过过A作作AEBC于于EEAB=AC，BE=CE在在Rt ADE中，中， AD2=AE2+DE2在在Rt ABE中，中， AB2=AE2+BE2 AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)= DE2- BE2= (DE+BE)( DE- BE)= (DE+CE)( DE- BE)=BDCD勾股定理在几何图形中的计算与应用
