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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 柯西中值定理和 不定式极限一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一定式极限的问题.般的中值定理，本节用它来解决求不二、不定式极限 返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.5(柯西中值定理柯西中值定理) 设函数设函数 , 在区在区间间 上满足上满足:(i) f(x) , g(x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续上连续;(iii)(iv)则在开区间则在开区间 内必定内必定 (至少至少) 存在一点存在一点 , 使得使得一、柯西中值定理(ii) f(x) , g(x) 在开区间在开区间 (a, b)
2、上可导上可导;返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页几何意义首先将首先将 f , g 这两个函数视为以这两个函数视为以 x 为参数的方程为参数的方程它在它在 O- uv 平面上表示一段曲线平面上表示一段曲线. 由由拉格朗日定拉格朗日定理理恰好等于曲线端点弦恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率的斜率(见下图见下图):的几何意义的几何意义, 存在一点存在一点 ( 对应于参数对应于参数 ) 的导数的导数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 作辅助函数作辅助函数显然显然, 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件, 所以存在点所以存在
3、点使得使得 , 即即从而从而返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 设函数设函数 f 在区间在区间 a, b(a 0) 上连续上连续, 在在(a, b)证证 设设 , 显然显然 f (x), g(x) 在在 a, b 上上满足满足柯西中值定理的条件柯西中值定理的条件,于是存在于是存在, 使得使得变形后即得所需的等式变形后即得所需的等式.上可导上可导, 则存在则存在, 使得使得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在极限的四则运算中在极限的四则运算中, 往往遇到分子往往遇到分子, 分母均为无分母均为无二、不定式极限究这类极限究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则这种方法
4、统称为洛必达法则.称为不定式极限称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂，各种结果均会发生比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统我们将这类极限统穷小量穷小量 ( (无穷大量无穷大量) ) 的表达式的表达式. 这种表达式的极限这种表达式的极限返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.6则则证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注根据归结原理根据归结原理返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页结论同样结论同样成立成立. .例例解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2解解存在性存在性. .返
5、回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算更简洁些代换，其目的就是使得计算更简洁些.例例3解解法则法则. 但若作适当变换但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些在计算上会显得更简洁些. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4解解 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.7则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证从而有从而有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页另一方面，另一方面， 上式的右边的第一个因子有界上式的右边的第一
6、个因子有界; 第二个因子对固定第二个因子对固定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就证明了这就证明了的的 x 有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注件要作相应的改变件要作相应的改变.例例5解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6解解例例7解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(3) 式不成立式不成立. 这就说明这就说明:我们再举一例我们再举一例:例例8解解 因为因为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 A = 1. 若错误使用洛必达法则：若错误使用洛必达法则：这就产生了错误的结果这就产生了错误的结果. 这说明这
7、说明: 在使用洛必达法在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是则前，必须首先要判别它究竟是否是3. 其他类型的不定式极限其他类型的不定式极限返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解但若采用不同的转化方式但若采用不同的转化方式:很明显很明显, 这样下去将越来越复杂这样下去将越来越复杂, 难以求出结果难以求出结果.例例9返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解由于由于因此因此 例例10返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解例例11返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以，原式所以，原式 = = e0 = = 1. .例例12返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例13解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例14证证 先设先设 A 0. 因为因为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据洛必达法则，有根据洛必达法则，有同样可证同样可证 A 0 的情形的情形.所以由本章第节例，得所以由本章第节例，得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 6.7 中的条件中的条件是可以去掉的是可以去掉的, ,为什么？为什么？由由上面的讨论，得到上面的讨论，得到复习思考题
