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1、第七章第七章 无穷级数无穷级数1齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟 公元前五世公元前五世纪，以，以诡辩著称的古希腊哲学家著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无用他的无穷、连续以及部分和的知以及部分和的知识，引引发出以下著名的悖出以下著名的悖论： 如果如果让阿基里斯阿基里斯(Achilles，古希腊神古希腊神话中善跑的英雄中善跑的英雄)和和乌龟之之间举行一行一场赛跑，跑，让乌龟在阿基里斯前在阿基里斯前头1000米开始，假定米开始，假定阿基里斯能阿基里斯能够跑得比跑得比乌龟快快10倍，也永倍，也永远也追不上也追不上乌龟.齐诺的的理理论依据是：当比依据是：当比赛开始的开始的时候，阿基里
2、斯跑了候，阿基里斯跑了1000米，此米，此时乌龟仍然前于他仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个米；当阿基里斯跑了下一个100米米时，乌龟仍然前于他仍然前于他10米，米， 如此分析下去，如此分析下去，显然阿基里斯离然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永越来越近，但却是永远也追不上也追不上乌龟的的.这个个结论显然是然是荒谬荒谬的，但奇怪的是，的，但奇怪的是，这种推种推理在理在逻辑上却没有任何毛病上却没有任何毛病.那么，那么，问题究竟出在哪儿呢？究竟出在哪儿呢？ 2第一节第一节 无穷级数的概念无穷级数的概念 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研
3、究函数的性质以及进行数值它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。计算的一种工具。计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积31 1、级数的定义：、级数的定义： (常数项常数项)无穷级无穷级数数通项通项级数的级数的前前 n 项部分和数列项部分和数列42 2、级数的收敛与发散：、级数的收敛与发散：定义定义(设极限极限为S ) ， 则称称该该无无穷级数数收敛收敛， 且称且称 S 为该为该级数数的的和和，并，并记为记为 5解解例例1 1 讨论无无穷级数数 的收的收敛性性. . 所以级数收敛，且和为所以级数收敛，且和为 1。
4、6解解例例2 2所以所以级数数发散散. . 所以所以7解解收敛收敛发散发散例例3 3 讨论等比等比级数数( (几何几何级数数) ) 的收的收敛性性. . 8发散发散发散发散综上所述，综上所述，9齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟 阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面一一天他正在散步，忽然发现在他前面一千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：阿基里斯说：“胡说！我的
5、速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！我也马上就可以超过你！”乌龟说：乌龟说：“就照你说的，咱们来试就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：阿基里斯说：“哎
6、呀，我明明知哎呀，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事呢？呢？ 10AB 假定阿基里斯现在假定阿基里斯现在A处，乌龟现在处，乌龟现在B处处. 为了赶上乌龟，阿为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达当他到达B点时，乌龟已前进点时，乌龟已前进到到B1点；当他到达点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离了一段距离.因此，阿基
7、里斯是永远追不上乌龟的！因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！BB1B1B211 如果我如果我们从从级数的角度来分析数的角度来分析这个个问题，齐诺的的这个悖个悖论就会不攻自破就会不攻自破。 设阿基里斯的速度阿基里斯的速度为乌龟速度速度的的10倍倍，则则他跑完他跑完1000米米时，时，乌龟又爬了又爬了100米米；等；等阿基里斯跑完阿基里斯跑完这段路段路，乌龟又又向前爬了向前爬了10米米，依次依次类推推，阿基里斯需要阿基里斯需要追赶的全部路程追赶的全部路程为 12思考题：思考题：还有没有其他方法解此题？还有没有其他方法解此题？这里已经假定可以追上。这里已经假定可以追上。13研究课题研究课题1：无限循环
8、小数转化为分数：无限循环小数转化为分数14解解例例4 4小课题小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。15循环小数转化为分数的方法：循环小数转化为分数的方法：第一型：第一型：16例如：例如：17第二型：第二型：18例如：例如：19第二节第二节 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质也收也收敛，且有，且有性质性质1证证20说明：说明：证证矛盾矛盾. .21性质性质2证证2223性质性质3 去掉、添加或改去掉、添加或改变级数中的有限数中的有限项，不会影，不会影响它的响它的敛散性散性. . 这是因为，这是因为，去掉、添加或改去掉、添加或改变级数中的有限数中
9、的有限项后所得后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个常数，所以具有相同的敛散性。常数，所以具有相同的敛散性。注意：注意：原原级数数若若收收敛，则，则改改变级数中的有限数中的有限项后，一后，一般要改变它的和般要改变它的和. .24性质性质4 收收敛级数级数任意加括号后仍收任意加括号后仍收敛，且其和不变且其和不变. .证证例如，例如，25证证性质性质4 收收敛级数级数任意加括号后仍收任意加括号后仍收敛，且其和不变且其和不变. .注注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论推论 发散级数去括号仍发散级数
10、去括号仍发散。发散。例如例如26性质性质5 (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)证证27说明说明：1 1、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散；、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散； 级数级数发散；发散； 级数级数发散。发散。282 2、必要条件不充分：、必要条件不充分：再举一个重要例子：再举一个重要例子： 但级数发散。但级数发散。 调和级数调和级数 29调和级数增加的速度非常缓慢，例如调和级数增加的速度非常缓慢，例如 那么调和级数到底的收敛还是发散？那么调和级数到底的收敛还是发散？ 调和级数调和级数 证明：证明：调和级数发散。调和级数发散。于是于是矛盾，矛盾，调和级数调和级数 假设调和
11、级数收敛，其和为假设调和级数收敛，其和为 S ，所以级数发散。所以级数发散。证证因为因为31 进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。 这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔坚韧不拔”的的级数，另一方面它又提醒我们：人不可级数，另一方面它又提醒我们：人不可“貌相貌
12、相”，级，级数的敛散性不可凭数的敛散性不可凭“想象想象”，需要严格的证明。，需要严格的证明。调和级数调和级数 例例1 1 判断下列判断下列级数的数的敛散性：散性： 因为因为都收敛，都收敛， 故原级数收敛，故原级数收敛，解解且和为且和为33收敛；收敛；发散。发散。例例1 1 判断下列判断下列级数的数的敛散性：散性： 34第三节第三节 正项级数正项级数1 1、定义：、定义：这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数。2 2、正项级数收敛的充要条件：、正项级数收敛的充要条件：定理定理( (一一) ) 正项级数的收敛问题正项级数的收敛问题35( (二二) )比较判别法比较判别法证明证明定理定理(1)36
13、( (一一) )比较判别法比较判别法证明证明(2)是是(1)的等价命题。的等价命题。注注：定理的条件可放：定理的条件可放宽为： 定理定理37解解例例1 1所以原所以原级数收数收敛. . 38解解例例2 2故原故原级数数发散；散； 于是有于是有 39所以所以于是于是40重要参考级数：重要参考级数：几何级数，几何级数，p - - 级数，调和级数。级数，调和级数。比较：比较：41解解例例3 3例例4 4解解所以原级数发散。所以原级数发散。所以原级数收敛。所以原级数收敛。42比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式：43证明证明44可知两级数有相同的敛散性。可知两级数有相同的敛散性。45证明证明由比
14、由比较判别判别法可知，法可知， ( (注意：注意：单向单向) ) 由由(2)即得即得结论。 46例例5 5例例6 6所以原级数发散。所以原级数发散。所以原级数收敛。所以原级数收敛。解解解解47例例7 7例例8 8发散发散解解所以原级数发散。所以原级数发散。解解所以原级数收敛。所以原级数收敛。48常用等价无穷小：常用等价无穷小：49解解例例1 1所以原所以原级数收数收敛. . 50例例9 9解解51例例1010收敛，收敛，解解所以原级数收敛。所以原级数收敛。52例例1111所以原级数收敛。所以原级数收敛。53例例1212解解所以原级数收敛。所以原级数收敛。所以原级数发散。所以原级数发散。54证证
15、例例1313由基本不等式由基本不等式55( (三三) )比值判别法比值判别法 (达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法) 证略证略56例例14 14 判别级数下列级数的敛散性判别级数下列级数的敛散性 所以级数收敛。所以级数收敛。解解解解所以级数收敛。所以级数收敛。57解解解解所以级数发散所以级数发散. .所以级数收敛所以级数收敛. .58解解练习：练习：所以级数收敛。所以级数收敛。59解解所以用比值法无法判断所以用比值法无法判断. .用比较法，用比较法，所以原级数收敛。所以原级数收敛。60例例1515解解61( (四四) )根值判别法根值判别法 (柯西根值判别法柯西根值判别法) 证略证略62例例
16、1616解解所以所以级数收数收敛. . 例例1717解解所以所以级数收数收敛. . 63解解例例1818级数数发散。散。64第四节第四节 任意项级数，绝对收敛任意项级数，绝对收敛定义：定义：正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数。定理定理( (莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) ) 称称莱布尼茨莱布尼茨型级数型级数 如果交错级数如果交错级数 满足条件满足条件( (一一) )交错级数交错级数 65证证另一方面，另一方面， 由条件由条件(2)可知，可知， 即原即原级数收数收敛， 由条件由条件(1)可知，可知， 注意：注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的莱布尼兹判别法所
17、给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件充分条件，而非必要条件。定理定理( (莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) ) 如果交错级数如果交错级数 满足条件满足条件67例例1919解解这是交是交错级数，数， 由由莱布尼茨莱布尼茨定理知，级数收敛。定理知，级数收敛。一般地，一般地，称为交错称为交错 p - - 级数级数. 所以级数收敛。所以级数收敛。证明级数证明级数 收敛。收敛。68解解由莱布尼茨定理知级数收敛。由莱布尼茨定理知级数收敛。练习练习69( (二二) )任意项级数的任意项级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项
18、级数。定理：定理：绝对收敛必收敛。绝对收敛必收敛。70证明证明定理：定理：71说明：说明：(1) 定理不可逆：级数收敛，未必绝对收敛；定理不可逆：级数收敛，未必绝对收敛；72这是因是因为它它们的依据是的依据是 说明：说明：73例例20 20 判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散. . 解解故原故原级数数绝对收收敛. . 解解故故级数数绝对收收敛. . 74解解故故级数数发散发散. . 解解所以所以原原级数数绝对收收敛。75例例2121解解76例例2222解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛;77由莱布尼茨定理，由莱布尼茨定理， 此交错级数收敛，此交错
19、级数收敛，故原级数条件收敛故原级数条件收敛78例例2323解解而原而原级数数为莱布尼莱布尼兹级数，故收数，故收敛，即，即条件收条件收敛。79例例2424解解所以级数发散；所以级数发散；故级数绝对收敛；故级数绝对收敛；80小结：小结：判定数项级数敛散性的思路：判定数项级数敛散性的思路：正项？正项？Y比较判别法比较判别法比值判别法比值判别法N绝对收敛？绝对收敛？YENDN若用比值若用比值法，发散法，发散若用比较法，若用比较法，莱布尼茨定理莱布尼茨定理N发散发散Y81第五节第五节 幂级数幂级数 ( (一一) )幂级数及其收敛半径和收敛域幂级数及其收敛半径和收敛域1 1、幂级数的定义、幂级数的定义级数
20、级数称为关于称为关于 x 的幂级数。的幂级数。822 2、幂级数的收敛半径和收敛域、幂级数的收敛半径和收敛域83证证O定理定理 ( (阿贝尔阿贝尔Abel定理定理) ) 84由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知, , 证证85由由(1)结论结论,几何说明：几何说明：收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域这与所设矛盾这与所设矛盾. . 86此时正数此时正数 R 称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.规定规定问题：问题：如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?（2）在整个数）在整个数轴上收上收敛； 87定理定理直接地讲，就是直接地讲，就是88证证89证毕证毕.90求
21、下列幂级数的收敛半径和收敛域。求下列幂级数的收敛半径和收敛域。例例1 1解解发散；发散；收敛。收敛。91求下列幂级数的收敛半径和收敛域。求下列幂级数的收敛半径和收敛域。例例1 1一般，一般，92解解收收敛半径半径端点端点处：收收敛；发散发散；例例2 293解解收收敛半径半径端点端点处明显发散，明显发散，例例3 394例例4 4解解例例5 5解解95发散；发散；发散，发散，故收敛域为故收敛域为 (-1, 3) .例例6 6解解96缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛；级数收敛；例例7 7解解直接应用比值判别法，直接应用比值判别法，级数发散；级数发散；97级数收敛，级数收敛，所以原级数的收敛域为所
22、以原级数的收敛域为级数收敛；级数收敛；级数发散；级数发散；98( (二二) )幂级数的性质幂级数的性质幂级数的加减法：幂级数的加减法：加法：加法：减法：减法：99幂级数和函数的分析性质幂级数和函数的分析性质100且收敛半径仍为且收敛半径仍为R. . (2) 逐项求导后，原来逐项求导后，原来收敛的端点收敛的端点可能可能变发散。变发散。101注注：逐项积分后，原来发散的端点：逐项积分后，原来发散的端点可能可能变收敛。变收敛。且收敛半径仍为且收敛半径仍为R. . 102解解例例8 8收收敛半径半径端点端点处明显发散，明显发散，103解解例例8 8所以所以两边两边从从 0 到到 x 积分分, 104(
23、1)(1)解解逐逐项求求导, , 所以所以例例9 9 求下列幂级数的收敛域及和函数：求下列幂级数的收敛域及和函数：105(2)(2)解解收收敛半径半径106(3)(3)解解107简便写法：简便写法：解解(3)(3)108(4)(4)解解109第六节第六节 泰勒公式与泰勒级数泰勒公式与泰勒级数( (一一) )泰勒公式泰勒公式110不足：不足：问题：问题：1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计。、误差不能估计。111分析：分析：2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交112n 阶接触阶接触113拉格朗日型余
24、项拉格朗日型余项114证明证明：且且115116则由上式得则由上式得证毕证毕117118此时泰勒公式称为此时泰勒公式称为麦克劳林公式麦克劳林公式。麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式119( (二二) )泰勒级数泰勒级数定义定义的的泰勒级数泰勒级数。 的的麦克劳林级数麦克劳林级数。120第七节第七节 某些初等函数的幂级数展开式某些初等函数的幂级数展开式问题：问题：2. 如果能展开，怎么展开如果能展开，怎么展开?3. 展开式是否唯一展开式是否唯一?1. f (x) 在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?与求和函数的相反问题：求幂级数，在其收敛域内以与求和函数
25、的相反问题：求幂级数，在其收敛域内以 f (x) 为和函数为和函数函数的幂级数展开函数的幂级数展开。121上式两端逐项求导，得上式两端逐项求导，得122且展开式是唯一的。且展开式是唯一的。123证证由泰勒公式由泰勒公式直接获证。直接获证。124( (一一) )直接展开法直接展开法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤：步骤：先讨论展开成先讨论展开成麦克劳林麦克劳林级数。级数。2、写出写出幂幂级数数 ，并求其收敛域，并求其收敛域 D. . 如果是如果是，则 f (x)在在 D 上可展开成上可展开成麦克劳林麦克劳林级数数 125例例1 1解解对任意固定的任意固定的 x, 由比值法，由比值法， 126
26、对任意固定的任意固定的 x, 由比值法，由比值法， 即即证得得 127128例例2 2解解129130例例3 3收敛域为：收敛域为：( ( 不为正整数不为正整数) )推导略推导略131特特别, , 双阶乘双阶乘132133( (二二) )间接展开法间接展开法间接展开法是根据展开式的唯一性，利用已间接展开法是根据展开式的唯一性，利用已知展开式，通过知展开式，通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等恒等变形变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方法，求出函等方法，求出函数的幂级数展开式。数的幂级数展开式。134利用逐项求导公式，得利用逐项求导公式，得例例4 4解解根据已知展开式根据
27、已知展开式135例例5 5解解两两边从从 0 到到 x 积分分，得得 136例例6 6解解两两边从从 0 到到 x 积分分，得得 137例例7 7解解所以所以 138所以所以例例8 8解法解法1 1注意注意两两边从从 0 到到 x 积分分，得得 139例例8 8解法解法2 2140常用的函数幂级数展开式常用的函数幂级数展开式141( ( 不为正整数不为正整数) )142例例9 9解解143例例1010解解144例例1111解解两边逐项求导，得两边逐项求导，得145以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：的泰勒级数：其收敛域为其收敛域为D， 一般利用麦克劳林级数间接展开。一般利用麦克劳林级数间接展开。146例例1212解解147例例1313解解148例例1414解解而而149150例例1515解解151例例1616解解152END153
