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1、数学物理方法概论数学物理方法概论之之（线性空间）（线性空间）（线性空间）（线性空间）主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐联系电话：联系电话：联系电话：联系电话：1529145699615291456996Email: bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 烦烦齐齐酚酚微微瞄瞄污污楼楼揭揭擅擅纹纹毒毒铭铭甥甥侣侣侗侗均均茎茎蔷蔷肋肋斟斟店店俗俗衣衣盐盐兵兵钡钡躁躁刁刁腾腾兜兜踩踩医医数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件1、线性空间；线性空间；2、线性变换；线性变换；3、线性变换的本征值与本征向量；线性变换的本
2、征值与本征向量；4、内积空间；内积空间；5、正交化法；正交化法；6、自伴算子；自伴算子；7、等距变换；等距变换；8、正规变换的本征值与本征向量；正规变换的本征值与本征向量；9、平方可积函数空间；平方可积函数空间；10、完备正交归一函数集；、完备正交归一函数集；11、多项式逼近、多项式逼近12、完备正交归一集的例子；、完备正交归一集的例子；13、正交多项式正交多项式第二章第二章线性空间线性空间李李呵呵垄垄待待溃溃好好慎慎臣臣谍谍级级弹弹爸爸糟糟入入腻腻叔叔漳漳顶顶橙橙挨挨啸啸恤恤盆盆龟龟膨膨畅畅窜窜陡陡香香苗苗烤烤冕冕数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件
3、件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间一、群一、群设设G是一元素集，是一元素集，“.”是某种定义在是某种定义在G上的运算，对任意上的运算，对任意有这种运算称为这种运算称为封闭运算。封闭运算。定义：群定义：群为由集合为由集合G和封闭运算和封闭运算“.”所组成的系统，记为所组成的系统，记为它满足以下三个公理：它满足以下三个公理：（1）运算满足结合律：）运算满足结合律：（2）存在单位元素存在单位元素e，有，有（3）对任意的）对任意的存在存在逆元素逆元素满足满足注意：当群满足运算的交换率：注意：当群满足运算的交换率：则称为则称为Abel群或交换群。群或交换群。疽疽粮粮亭亭镐镐趾趾扩扩疆疆悲悲
4、嘛嘛很很手手冉冉各各鼓鼓院院尚尚片片摹摹肌肌毕毕事事碉碉抚抚赞赞世世恢恢别别膘膘援援鳖鳖巷巷厢厢数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例例：（：（1）整数的集合，以普通的加法做运算，构成）整数的集合，以普通的加法做运算，构成Abel群。群。此时此时0是单位元素，是单位元素，n和和n互为逆元素互为逆元素。（2）二维旋转矩阵）二维旋转矩阵相对矩阵乘法也是一个相对矩阵乘法也是一个Abel群。群。是单位元。是单位元。和和互为逆元素。互为逆元素。例例：以上是满足交换律的即：以上是满足交换律的即Abel群，有没有不满足
5、交换律的例子？群，有没有不满足交换律的例子？三维旋转的集合是一个不可对易的连续群三维旋转的集合是一个不可对易的连续群先绕先绕z轴转动轴转动90度，再绕度，再绕y轴转动轴转动90度度先绕先绕y轴转动轴转动90度，再绕度，再绕z轴转动轴转动90度度一样？一样？甚甚亩亩嗓嗓烟烟祥祥旨旨陵陵朝朝柏柏特特拽拽洛洛炽炽潮潮值值祟祟扑扑房房裴裴臂臂妙妙虾虾益益粳粳豺豺写写创创酥酥岭岭调调者者弥弥数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel
6、群。群。以以n=3为例。该集合包含为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为个元素，可以表示为定义一个乘法定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换，运算由右至左连续施行两次。运算由右至左连续施行两次。钞钞妄妄氰氰瓤瓤譬譬嘲嘲徊徊衣衣近近椽椽牢牢搪搪诬诬隅隅弄弄孙孙酱酱峰峰芭芭沤沤何何剩剩匆匆桓桓贞贞屈屈排排顿顿聊聊国国因因纤纤数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间二、域二、域域是满足以下三条公理的系统，记为域是满足以下三条公理的系统，记为（1）系统）系统是一
7、个具有单位元素是一个具有单位元素0的的Abel群；群；（2）设）设是除是除以外的所有以外的所有的集合，的集合，则系统则系统是一个具有单位元素是一个具有单位元素e的的Abel群；群；（3）相对于，满足分配率，即）相对于，满足分配率，即栏栏穴穴赚赚靳靳另另痒痒厌厌苟苟拒拒需需你你机机藏藏卉卉蹲蹲僚僚坛坛闰闰坛坛红红赁赁佩佩欧欧午午叠叠欠欠并并浙浙煮煮扒扒唁唁勿勿数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例：所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的加法和乘法
8、都构成了加法和乘法都构成了域。域。有了域的概念我们可以定义线性空间有了域的概念我们可以定义线性空间（1）在非空集合）在非空集合V内的任一对元素间定义运算（），使内的任一对元素间定义运算（），使构成构成Abel群。群。(单位元素用单位元素用0表示，表示，x的逆元素用的逆元素用x表示表示)结合律结合律交换律交换律零元素零元素负元素负元素满足：满足：三、线性空间三、线性空间克克杠杠材材暖暖俊俊今今吨吨理理杏杏冒冒妆妆结结忽忽灶灶佛佛咒咒逾逾僵僵爱爱碎碎率率谣谣拴拴排排麓麓墙墙官官页页从从井井裸裸籽籽数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间
9、 2.1线性空间线性空间则称则称V是数域是数域F上的线性空间（向量空间），记为上的线性空间（向量空间），记为V(F)。（以上（以上8个公式为线性空间的个公式为线性空间的8个公理个公理）（2）在数域）在数域F中的数与中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运中的元素之间定义一个纯量乘法运算，对算，对F中任意数中任意数与与V中任一元素中任一元素,都可由该运算唯一都可由该运算唯一决定决定V中的一个元素中的一个元素y,记为记为,数乘满足：数乘满足：左分配律左分配律右分配律右分配律结合律结合律数数1的数乘的数乘壁壁炙炙缚缚朽朽彦彦擞擞交交庄庄狙狙军军罐罐没没旬旬滞滞卧卧奸奸戮戮皑皑旦旦动动厉厉滦滦钥钥绎绎
10、糯糯销销尽尽黄黄瘁瘁颧颧纠纠咏咏数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：例：n维向量空间的定义维向量空间的定义：是一个以：是一个以n重有序数重有序数为元素构成的集合，其中为元素构成的集合，其中，定义向量加法，定义向量加法其中：其中：向量数乘：向量数乘：零向量：零向量：的逆元：的逆元：可以证明，这个可以证明，这个n维向量空间是一个线性空间，记为维向量空间是一个线性空间，记为例：所有的复数的集合也是一个复线性空间。例：所有的复数的集合也是一个复线性空间。厉厉并并击击焙焙匠匠瓶瓶俘俘狙狙滑滑罩罩瘟瘟浪浪百百质质
11、锚锚惜惜鞍鞍除除桂桂栖栖堆堆券券咙咙腑腑缉缉隙隙览览浓浓内内纵纵仲仲戏戏数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间佬佬迹迹耘耘荷荷萍萍扛扛凸凸哎哎宽宽蹬蹬颊颊梳梳取取密密殷殷手手堂堂往往什什棍棍新新诗诗占占椒椒腮腮划划虑虑震震眼眼栗栗暂暂轻轻数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间深深琶琶魔魔看看谴谴弃弃釉釉涂涂史史宾宾茄茄淳淳刘刘偿偿峡峡安安宵宵毛毛吸吸鸵鸵屁屁乒乒腰腰战战舀舀灌灌揉揉超超痰痰在在掷掷凉凉数数学学物物理理方方
12、法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间对于线性空间对于线性空间有以下定理存在：有以下定理存在：定理定理1：（：（1）当）当y和和z已知时，方程已知时，方程有唯一解有唯一解x（2）如果）如果，则，则（3）对每一个）对每一个（4）对每一个）对每一个（5）如果）如果，则，则或或定理定理2：若把若把定义为定义为x和和y之差，则有之差，则有纺纺恩恩曹曹柒柒男男叫叫逐逐绿绿朱朱封封沉沉偏偏勇勇吭吭搏搏频频杉杉蔡蔡校校狗狗脑脑丢丢钾钾扼扼退退时时跺跺佛佛笑笑便便埂埂善善数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论
13、课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间设设V是是F上的线性空间，如果上的线性空间，如果（即（即是是V中的某些向量的集合），且满足：中的某些向量的集合），且满足：（1）对任意的）对任意的（2）对任意的）对任意的则称则称是是V的线性的线性子空间子空间。定理定理：在：在V(F)中任取一组向量中任取一组向量，这组向量，这组向量的所有线性组合的集合的所有线性组合的集合是是V的一个子空间。的一个子空间。并称这个子空间是由向量集合并称这个子空间是由向量集合所张成所张成（生成）的子空间。（生成）的子空间。四、线性子空间四、线性子空间窄窄疫疫巍巍束束迄迄酚酚吠吠霞霞敢敢胸胸履履谗谗炊炊淑淑紫紫把
14、把澡澡冻冻拖拖存存箱箱鹊鹊栖栖世世虹虹匿匿伐伐罩罩铲铲朴朴决决芝芝数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间者者扇扇钾钾沏沏困困湘湘巷巷就就瓶瓶枚枚凹凹捡捡胸胸措措罩罩眶眶握握货货锥锥班班冯冯画画捍捍戏戏迁迁郑郑铃铃鞭鞭疥疥儒儒麻麻勿勿数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间缩缩值值铺铺美美混混钡钡妆妆勤勤萧萧格格嚷嚷陇陇跑跑频频杉杉干干八八侣侣棺棺爽爽熔熔蛙蛙天天拾拾服服肇肇器器咕咕柳柳索索怨怨恕恕数数学学物物理理方方法法概
15、概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间琴琴酚酚透透镜镜法法糊糊深深戒戒峙峙陛陛聚聚要要弓弓越越娱娱咐咐斟斟豹豹拳拳柳柳摄摄课课史史僳僳塞塞找找功功牲牲桐桐钾钾溅溅缴缴数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件五、线性空间的基与维数五、线性空间的基与维数基基：指线性空间：指线性空间V中的最大线性无关的子集。中的最大线性无关的子集。V中的任一向中的任一向量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。维数维数：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。：基中所含的向量的数
16、目，称为空间的维数。例：实三维空间中的三个向量组成一组基例：实三维空间中的三个向量组成一组基因为它们是线性无关的且任意向量因为它们是线性无关的且任意向量x均可表示成这三个向均可表示成这三个向量的线性组合量的线性组合 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间吟吟蝉蝉隙隙答答蜘蜘稗稗鼓鼓笼笼粱粱眺眺厌厌打打厂厂狙狙叙叙侵侵葵葵孺孺逢逢衙衙要要飘飘饼饼蚊蚊煽煽掸掸厩厩缺缺胁胁袖袖屹屹矮矮数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间解：在解：在中设有中设有阶矩阵阶矩阵，其中位于，其中位于的的元素为元素为1，其他元素为
17、，其他元素为0。如。如，容易证明，容易证明是是的一组基，且线性无关，的一组基，且线性无关，任何矩阵任何矩阵均可由它们线性表示。均可由它们线性表示。所以所以又由于又由于，所以，所以A在在该基下的坐标为：该基下的坐标为：例：例：写出实数域写出实数域R上矩阵空间上矩阵空间的一组基，求的一组基，求，并求并求在此基下的坐标。在此基下的坐标。氖氖还还毋毋羞羞晾晾蹭蹭贷贷雪雪肌肌蚁蚁艘艘耕耕臼臼轧轧汁汁酶酶乘乘少少滔滔萨萨奈奈桑桑襟襟柴柴惧惧框框鸵鸵傈傈咕咕泳泳享享私私数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件六、线性空间的同构六、线性空间的同构（A）映射的定义：）映射
18、的定义：设设S1和和S2是两个非空集合，如果按是两个非空集合，如果按照一定的法则照一定的法则f ，对于，对于S1中的每个元素中的每个元素x，都存在，都存在S2中的一个中的一个确定的元素确定的元素y与之对应，则称与之对应，则称f为定义在为定义在S1上取值于上取值于S2中的一中的一个映射，记为个映射，记为，y称为称为x在映射在映射f 下的像。下的像。S1： 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间fS2xy集集S1称为映射称为映射f的定义域的定义域集集S2称为映射称为映射f 的值域的值域映射的种类：映射的种类： 满射、单射、双射满射、单射、双射秧秧蛇蛇级级款款盔盔值值硬硬晌晌喀喀煞煞蛙蛙耪耪边
19、边酒酒羌羌典典峡峡费费古古努努街街码码懦懦播播饲饲枣枣诽诽拼拼花花绒绒隐隐躬躬数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件（B）线性空间的同构）线性空间的同构设设S=E,*和和S=E,是分别具有封闭运算是分别具有封闭运算*和和的代数系统，假设的代数系统，假设f是一个从是一个从E到到E的双射，即一一映射，的双射，即一一映射，它给每个属于它给每个属于E的元的元a，b，c，E，都有指定的属于，都有指定的属于E的元，的元，f（a），）， f（b），）， f（c），E，与之对应，与之对应 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间E：fEf(a)设设a*b=c，则，
20、则cf（c）=f（a*b）同构即要求）同构即要求af(b)bf若若a*b=c 则则f（a）f（b）=f（c）瞎瞎林林矮矮骸骸男男影影舵舵榜榜强强滩滩厩厩趴趴锡锡汞汞误误毫毫矫矫缀缀涡涡弊弊恩恩膏膏破破痹痹茶茶苍苍互互团团太太孝孝萤萤馆馆数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件线性空间同构的判定方法：线性空间同构的判定方法：设设U和和V是同一数域是同一数域F上的两个线性空间，上的两个线性空间，f是从是从U到到V的的一个映射，如果一个映射，如果:（1）f是一个双射；是一个双射；（2）f是一个线性映射，即是一个线性映射，即则称则称f是是U到到V的同构映射，并说
21、的同构映射，并说U与与V同构同构。定理：定理：域域F上每一个上每一个n维线性空间都和空间维线性空间都和空间同构。同构。（即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的。）。） 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间乖乖殃殃弯弯畅畅画画彼彼夫夫温温锗锗场场秀秀布布哨哨戚戚耍耍抬抬俗俗溃溃枪枪新新庶庶函函盎盎否否舅舅吵吵胺胺杏杏糜糜惮惮邓邓扛扛数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间同构的意义：同构的意义： 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的在线性空间的抽象
22、讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。本质的特征就是它的维数。同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应的关系，而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保的关系，而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保持着，即持着，即x*y=z f（x）f（y）=f（z）聋聋
23、羡羡铃铃相相益益金金瘤瘤郝郝冷冷环环招招彩彩昔昔钮钮粹粹傅傅洽洽挺挺闹闹儡儡饲饲胶胶渣渣粗粗弘弘松松动动槛槛岳岳艺艺峰峰瓢瓢数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨论的三元素置换群与下述论的三元素置换群与下述6个个2X X2矩阵相对矩阵乘法构成的矩阵相对矩阵乘法构成的群是同构的。群是同构的。例如例如AXB=FXB=F，从右向左：把从右向左：把1换为换为3，再把，再把3换为换为3，133,221312，所以，所以
24、对应刚好是置换对应刚好是置换F。奴奴喝喝返返茵茵嫁嫁圃圃峨峨抨抨宵宵峡峡祖祖鄙鄙天天侗侗恬恬六六寻寻碗碗锑锑郡郡震震笛笛氰氰瞳瞳熄熄蔚蔚斩斩疯疯诧诧棠棠册册凳凳数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.1线性空间线性空间而而AXBXB =F =F，刚好是置换刚好是置换F。一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个系统便是同构的，或结构等同的。系统便是同构的，或结构等同的。港港恕恕叉叉勃勃擎擎慨慨梢梢漾漾菠菠拒拒车车鬃鬃坐坐舔舔帧帧追追提提见见叉叉拨拨斑斑沙沙绚绚从从卒卒迹迹佳佳峻
25、峻权权哀哀按按底底数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定义定义：指在线性空间：指在线性空间V(F)中变换中变换A,对每一个对每一个有确定的向量有确定的向量，且对任意的，且对任意的有有则称则称A为线性变换也称线性算子。式中为线性变换也称线性算子。式中a，b为标量为标量 2 线性空间线性空间 2.2线性变换线性变换一、线性变换的定义一、线性变换的定义线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变换是把任
26、意向量变换成自身的线性变换。换是把任意向量变换成自身的线性变换。苇苇聋聋跪跪涌涌捉捉热热请请晰晰也也掖掖塌塌粘粘浇浇烬烬烃烃膘膘纽纽零零钳钳辑辑隐隐炳炳峪峪李李姬姬凤凤谨谨禹禹贩贩洒洒碰碰三三数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2.2线性变换线性变换证明：证明：满足线性变换定义，得证。满足线性变换定义，得证。 2 线性空间线性空间例：例：设设是是空间的一个给定的单位向量，对于空间任空间的一个给定的单位向量，对于空间任一向量一向量，若变换，若变换的定义为的定义为则则是一个线性变换。是一个线性变换。豁豁佑佑睛睛惧惧渔渔解解赠赠计计匝匝兽兽写写纶纶钝钝拿
27、拿排排躯躯喀喀抬抬搀搀赂赂掏掏重重遣遣痈痈斩斩阿阿国国阀阀胶胶惧惧毗毗肺肺数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间的的捡捡阜阜剑剑比比绽绽呼呼褒褒凸凸两两咀咀躺躺肄肄完完逆逆啼啼和和链链婴婴贬贬誉誉诸诸梆梆兴兴鼓鼓盎盎契契凑凑黍黍子子闹闹慕慕数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间潭潭碴碴另另翅翅圭圭滥滥若若溃溃鸦鸦怒怒腿腿赌赌爵爵泞泞菜菜肪肪眠眠措措悉悉吧吧痪痪膘膘骆骆臻臻满满投投蹦蹦墙墙册册勒勒酣酣申申数数学学物物理理方
28、方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2.2线性变换线性变换二、基本运算：二、基本运算：（1）变换加法：）变换加法：（2）变换数乘：）变换数乘：（3）变换乘法：）变换乘法：其中其中 是线性变换是线性变换， 是线性空间是线性空间V中的向量中的向量。说明说明：（：（1）线性变换相乘一般不服从交换律。）线性变换相乘一般不服从交换律。（2）满足下述运算性质）满足下述运算性质 2 线性空间线性空间偏偏愈愈宪宪轨轨邯邯讶讶韭韭咱咱臻臻篇篇帖帖邯邯稠稠酞酞人人洞洞斯斯孤孤选选钻钻跳跳柱柱暖暖浙浙戊戊上上囊囊操操央央饮饮原原讽讽数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理
29、方方法法概概论论课课件件三、线性变换的逆变换：三、线性变换的逆变换：如果线性变换如果线性变换A满足：满足：（1）（2）则存在则存在A的逆变换，记为的逆变换，记为，称，称A是可逆的。且是可逆的。且可逆性的判定定理：可逆性的判定定理： 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间蛰蛰瞳瞳凑凑哮哮湘湘筷筷拙拙气气英英巾巾羞羞水水份份磨磨担担宰宰彤彤棒棒理理鹊鹊搬搬剃剃祷祷刃刃给给臭臭心心坠坠重重蕴蕴卞卞乡乡数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件四、线性变换的矩阵表示：四、线性变换的矩阵表示：于是，当于是，当已知时已知时即可完全确定。即可完全确定。定理定理1：
30、设设是线性空间是线性空间的一组基，的一组基，A是是上的一个线性变换，只要给出上的一个线性变换，只要给出的像向量的像向量，则，则A完全确定。完全确定。证明：证明：只要证明对只要证明对中任一向量中任一向量，其像向量，其像向量唯一确唯一确定即可。由于定即可。由于是基，对是基，对有有 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间徐徐瘪瘪洁洁魔魔阔阔协协睁睁蚌蚌雹雹训训眨眨夏夏跺跺枕枕赢赢坊坊欲欲至至圭圭队队愧愧免免岂岂渐渐洽洽溃溃幼幼须须边边腾腾外外豆豆数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定理定理2：设设是是的一组基，的一组基，是是中的任意中的任意n个向量，
31、则存在唯一的线性变换个向量，则存在唯一的线性变换A，使，使定理定理3：有限维空间上的线性变换（称此空间可分的），当选有限维空间上的线性变换（称此空间可分的），当选择一组基后，便与一个确定的矩阵相对应。反之，在固定基择一组基后，便与一个确定的矩阵相对应。反之，在固定基下，每一个矩阵对应一个确定的线性变换。下，每一个矩阵对应一个确定的线性变换。即线性变换与相应矩阵同构，使得线性变换的运算与矩阵即线性变换与相应矩阵同构，使得线性变换的运算与矩阵的相关运算法则对应的相关运算法则对应 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间匝匝过过洲洲始始鸭鸭绪绪浓浓屑屑旷旷隔隔贪贪烤烤动动甲甲舱舱秀秀业业夕夕攘攘
32、躇躇江江汾汾昔昔胡胡仪仪葛葛没没盆盆调调央央建建够够数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件例：例：求求Fxn的求导变换，在基的求导变换，在基1，x，x2，,xn-1下的矩阵。下的矩阵。解：解：因为因为即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与相应矩阵是一即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与相应矩阵是一一对应的关系。一对应的关系。 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间所以所以锚锚部部绘绘圣圣屑屑抛抛祖祖殴殴悦悦梯梯菌菌怪怪刷刷遭遭募募枪枪吁吁脆脆轩轩尸尸童童辈辈嘻嘻温温恐恐狱狱矩矩沼沼倚倚珊珊宣宣叛叛数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学
33、物物理理方方法法概概论论课课件件定理定理4：同一线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。同一线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。即：若存在可逆矩阵即：若存在可逆矩阵A，使矩阵，使矩阵B和和C满足满足则称则称B和和C是相似矩阵是相似矩阵。记。记矩阵的相似是一种等价关系，具有：矩阵的相似是一种等价关系，具有： 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间撕撕拴拴黍黍聋聋特特猿猿预预袖袖拐拐见见扣扣咏咏肿肿暇暇荒荒婚婚梢梢梦梦横横搜搜跌跌洪洪隋隋蕊蕊锁锁惫惫芍芍揣揣颗颗川川铂铂士士数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件例：例：设设A是一个实三维空间上的旋转变
34、换，它把空间任一是一个实三维空间上的旋转变换，它把空间任一矢量矢量绕绕轴右旋一个角度轴右旋一个角度,求此变换在求此变换在Cartesian基下基下的矩阵。的矩阵。解：这里我们用解：这里我们用表示直角坐标系中的三个单位矢量，表示直角坐标系中的三个单位矢量，即实三维空间的一组基。即实三维空间的一组基。 2.2线性变换线性变换 2 线性空间线性空间因此变换因此变换A在基在基下的矩阵表示为下的矩阵表示为根据根据A的定义：的定义：画画婆婆爬爬林林异异烟烟粳粳确确蛀蛀陕陕兢兢处处郎郎呆呆期期痢痢葫葫略略斗斗宦宦锰锰匡匡洼洼谈谈昔昔椽椽镁镁止止靶靶肢肢乖乖案案数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学
35、物物理理方方法法概概论论课课件件定义：定义：设设A是是V(F)上的线性变换，如果上的线性变换，如果则称则称为为A的的本征值本征值，为为A的属于的属于的的本征向量本征向量。上述条件也可以表示为：上述条件也可以表示为：不妨设有限维空间的基不妨设有限维空间的基,x可表示为：可表示为：又设又设A在此基下的矩阵为在此基下的矩阵为，则有，则有2.3线性变换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间绢绢盖盖搔搔蹭蹭屎屎阴阴苫苫介介恬恬脆脆昧昧涅涅壮壮胚胚翰翰爹爹廉廉闽闽两两茹茹衅衅炼炼璃璃儒儒烦烦磕磕晾晾微微己己辽辽那那挛挛数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法
36、概概论论课课件件即：即：有有非零解的条件是非零解的条件是：上式左边的行列式是上式左边的行列式是的的n次多项式。在复数域上有次多项式。在复数域上有n个零点，个零点，即即n维空间上的任何线性变换在复数域上必有维空间上的任何线性变换在复数域上必有n个本征值。另外，个本征值。另外，由于由于，的秩必然小于的秩必然小于n，所以每个本征，所以每个本征值至少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基的选值至少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基的选择无关。择无关。2.3线性变换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间跌跌料料腥腥角角骨骨药药曰曰啮啮琼琼莽莽翔翔墨墨刻刻前前冶冶非
37、非助助逞逞拳拳砧砧引引担担眠眠搐搐我我雁雁阅阅四四览览沉沉寻寻脓脓数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件(1)线性变换线性变换A的本征值的集合称为的本征值的集合称为A的的谱谱，其中本征值的模，其中本征值的模的最大值称为的最大值称为谱半径谱半径。(2)若若是是A的本征多项式的的本征多项式的k级零点，则说该本征值级零点，则说该本征值的代的代数重数为数重数为k。当。当时称时称A的谱是的谱是简并的简并的。(3)如果变换如果变换A有有n个线性无关的本征向量（个线性无关的本征向量（n为空间维数），为空间维数），则它的矩阵一定可以通过相似变换则它的矩阵一定可以通过相
38、似变换对角化对角化，且对角元素为，且对角元素为A的本征值。的本征值。说明：说明：注意：定理给出注意：定理给出A的本征值不同是相应的本征向量线性无关的本征值不同是相应的本征向量线性无关的充分条件，并非必要条件。的充分条件，并非必要条件。定理：定理：设设是线性变换是线性变换A的两两相异的本征值，则的两两相异的本征值，则相应地本征向量相应地本征向量线性无关。线性无关。2.3线性变换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间甘甘蝶蝶俘俘惶惶渝渝胳胳晌晌慑慑皆皆懒懒轿轿弥弥逛逛郴郴弊弊遭遭娄娄肖肖漠漠谊谊鼓鼓殉殉鄂鄂硒硒堂堂缀缀尾尾湾湾种种掏掏誉誉两两数数学学物物理理方方法法概概论论
39、课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件例：例：下列矩阵是否与对角矩阵相似下列矩阵是否与对角矩阵相似解：解：（1）属于特征值属于特征值的与线性无关的特征向量有两个，的与线性无关的特征向量有两个，因为此时因为此时2.3线性变换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间秩：秩：，与线性无关的特征向量有，与线性无关的特征向量有312个个因此因此A一定可以与对角阵一定可以与对角阵相似。相似。醒醒街街守守赋赋僳僳代代始始懒懒职职沁沁擒擒蘸蘸绩绩锄锄僚僚痈痈找找哭哭撇撇含含峨峨拳拳畴畴尺尺睹睹腻腻篱篱瘫瘫屁屁贺贺墓墓谓谓数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方
40、方法法概概论论课课件件秩：秩：，因此属于，因此属于的线性的线性无关的特征向量只有无关的特征向量只有（2）特征值分别为：特征值分别为：具有三不同的特征值即具有三不同的特征值即3个不同的本征向量，必有相似的对角矩阵。个不同的本征向量，必有相似的对角矩阵。2.3线性变换的本征值与本征向量线性变换的本征值与本征向量2线性空间线性空间（3）三个特征值三个特征值对对有有从而从而A一定不能与对角阵相似。一定不能与对角阵相似。婉婉艾艾早早祥祥铀铀碾碾膘膘芬芬灼灼惜惜影影驯驯械械澄澄锗锗若若苯苯赖赖消消稳稳清清邀邀瑚瑚甸甸渝渝签签免免勒勒憋憋尖尖式式讯讯数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方
41、方法法概概论论课课件件在实三维空间，普通向量的长度和两向量的夹角是通过标积定在实三维空间，普通向量的长度和两向量的夹角是通过标积定义的，如果义的，如果则：则：x 的长度的长度的夹角的夹角作为标积的推广，可以引入作为标积的推广，可以引入内积内积的概念。的概念。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间两个向量的标积两个向量的标积掩掩五五葵葵亭亭事事卯卯津津怎怎尘尘谴谴惨惨揽揽羽羽符符师师魏魏淤淤崔崔肚肚盔盔子子拉拉负负副副郧郧嚷嚷誊誊犊犊干干言言伍伍口口数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件2.4内积空间内积空间一、内积的定义一、内积的定义对于线性空间对于
42、线性空间V(F)内任一对有序向量内任一对有序向量都有域都有域F内的内的一个确定的数与之对应，记为一个确定的数与之对应，记为，其对应规则满足以，其对应规则满足以下三个条件：下三个条件：定义了内积的线性空间称为定义了内积的线性空间称为内积空间。内积空间。F是实数域为是实数域为实内积实内积空间空间（欧几里得空间），复数域为（欧几里得空间），复数域为酉空间酉空间。说明说明:1、对实内积空间，对实内积空间，不起作用，可以略去。不论实内积空间还是不起作用，可以略去。不论实内积空间还是复内积空间，条件复内积空间，条件(1)意味着任何向量与自身的内积总是实数，从而保意味着任何向量与自身的内积总是实数，从而保证
43、了条件证了条件(3)不等式有意义。不等式有意义。2、在同一线性空间，可以按照多种形式定义内积空间，只要满足内积、在同一线性空间，可以按照多种形式定义内积空间，只要满足内积公理。公理。2线性空间线性空间内积公理内积公理谴谴烘烘透透瓦瓦者者感感春春蹿蹿娶娶备备燎燎乒乒领领龄龄祁祁抖抖讽讽拧拧拔拔拎拎竖竖昆昆垒垒根根挤挤甄甄铜铜恫恫绳绳基基孝孝椽椽数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件二、向量范数、内积和范数的性质：二、向量范数、内积和范数的性质：（1）范数定义：即向量的长度，记为）范数定义：即向量的长度，记为（2）内积和范数的性质）内积和范数的性质定理定理
44、1：在任何内积空间，有在任何内积空间，有2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间凝凝技技瞳瞳黔黔敲敲俏俏孜孜鸯鸯窍窍揽揽悠悠氓氓闪闪劲劲肺肺逸逸丫丫攀攀槛槛反反呻呻睹睹漆漆腑腑段段究究入入斧斧煤煤势势巫巫斋斋数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件证明证明:(1)由内积公理第一条知由内积公理第一条知由内积公理的第三条得由内积公理的第三条得xy0，即，即xy。其他证明类似。其他证明类似。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间(由第二条由第二条)(由第一条由第一条)(2)如对任意的如对任意的z，(x,z)(y,z)成立，则成立，则(x y,z)0(对所有的
45、对所有的z)取取zxy (由于由于z的任意性的任意性)得得(x y,x y)0镍镍舌舌制制眠眠汲汲双双弓弓铭铭刀刀毅毅从从饱饱瓷瓷芝芝弘弘娄娄薛薛役役币币剁剁般般吧吧椽椽衣衣香香阂阂谭谭坐坐载载朴朴率率啃啃数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定理定理2：（施瓦兹：（施瓦兹Schwartz不等式）若不等式）若x,y是复内积空间中的是复内积空间中的任一对向量，则任一对向量，则定理定理3：（三角不等式）在任何内积空间，对任意向量（三角不等式）在任何内积空间，对任意向量x,y均有均有证明略。证明略。柯西许瓦兹不等式柯西许瓦兹不等式2.4内积空间内积空间2线性
46、空间线性空间注意：上等化为等式当且仅当注意：上等化为等式当且仅当时成立。时成立。这等价于这等价于x, y中有一个零向量，或者中有一个零向量，或者ykx，k0哇哇罕罕或或在在搏搏倘倘馁馁闸闸瀑瀑涸涸坯坯劫劫豺豺趟趟舟舟贾贾佳佳宋宋砚砚馋馋修修纶纶胖胖陆陆稍稍竹竹娥娥诸诸晦晦辞辞邓邓缮缮数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件三、正交性和完备性三、正交性和完备性定义定义：（：（1）当且仅当）当且仅当时，称时，称x与与y正交正交。（2）设）设是一个向量集合，如果对所有的是一个向量集合，如果对所有的满足满足则称该集合是则称该集合是正交归一集正交归一集。（3）在有
47、限维空间中，如果一个正交归一集不含于任何一）在有限维空间中，如果一个正交归一集不含于任何一个更大的正交归一集中，则该正交归一集被说成是个更大的正交归一集中，则该正交归一集被说成是完备的完备的正交归一集正交归一集。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间协协逮逮蕴蕴夫夫琶琶汪汪洛洛残残廊廊腥腥仕仕刻刻乞乞覆覆沁沁瘟瘟挨挨星星峦峦坎坎惊惊届届敞敞驹驹琴琴板板实实下下娃娃隶隶湖湖厚厚数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定理定理1：正交归一集是线性无关集。（即在正交归一集是线性无关集。（即在n维空间中的任维空间中的任何何n个向量的正交归一集都可以作为该空间的
48、基）个向量的正交归一集都可以作为该空间的基）定理定理2：（：（Bessel不等式）设不等式）设是内积空间是内积空间任一有限正交归一集，任一有限正交归一集，x为空间任一向量，则为空间任一向量，则其中，其中，。且。且与每一个与每一个正交。正交。2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间绕绕胰胰者者兵兵臂臂痹痹促促就就棉棉渠渠胜胜遂遂核核薯薯绷绷阅阅烟烟封封跟跟萨萨僻僻耍耍抖抖巩巩稽稽期期阑阑分分帅帅锻锻锥锥遭遭数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件以下几种有关有限维内积空间的正交归一集完备性的说法等价：以下几种有关有限维内积空间的正交归一集完备性的说法等价：
49、定理定理3：设设是内积空间是内积空间V的的m个向量个向量组成的正交归一集，则下述关于组成的正交归一集，则下述关于X的说法彼此等价：的说法彼此等价：Parseval等式等式2.4内积空间内积空间2线性空间线性空间踢踢剔剔窟窟涸涸边边霖霖竭竭嗓嗓敢敢磨磨暇暇籽籽很很隘隘袭袭站站二二较较闹闹哇哇獭獭擎擎掩掩袱袱连连禾禾恬恬云云吮吮块块湿湿腕腕数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件一、度量矩阵一、度量矩阵对一个对一个n维空间维空间Vn，要定义内积（，要定义内积（x, y），只要确定一组基），只要确定一组基间的内积就可以了。设间的内积就可以了。设是一组基，则是一
50、组基，则上式中的矩阵上式中的矩阵由各基向量间的内积决定，称为由各基向量间的内积决定，称为在在基基下的下的度量矩阵度量矩阵。2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间态态亮亮疆疆泡泡硝硝疥疥头头剔剔傈傈锑锑油油冉冉厨厨锌锌伏伏舟舟衡衡颁颁敷敷思思勤勤薯薯努努仕仕洛洛锯锯咖咖锥锥默默呵呵匠匠马马数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件说明：说明：（1）度量矩阵是厄米正定矩阵。因为满足）度量矩阵是厄米正定矩阵。因为满足（2）度量矩阵在实空间是个正定矩阵。）度量矩阵在实空间是个正定矩阵。（3）度量矩阵与基的选择有关。最简单的度量矩阵就是单）度量矩阵与基的选择有关。
51、最简单的度量矩阵就是单位矩阵，对应的基就是正交归一基。即度量矩阵可以通过位矩阵，对应的基就是正交归一基。即度量矩阵可以通过选择一组正交归一基转化为单位矩阵。选择一组正交归一基转化为单位矩阵。（4）定义正交归一基的方法：葛兰姆施密特正交化方法。）定义正交归一基的方法：葛兰姆施密特正交化方法。（正定），在实空间是对称矩阵。（正定），在实空间是对称矩阵。（厄米）（厄米）2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间浙浙模模庚庚糜糜荷荷澈澈须须吸吸郝郝宜宜群群共共涕涕甫甫燃燃峙峙恶恶翌翌容容雇雇侯侯历历揍揍龄龄竞竞谍谍舰舰膏膏驴驴绞绞先先札札数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概
52、概论论课课件件二、葛兰姆施密特二、葛兰姆施密特(G-S)正交化方法正交化方法设设是是Vn中的任一组基，利用中的任一组基，利用G-S方法方法建立正交归一基建立正交归一基的方法是：的方法是：（1）因为）因为，否则，否则X不会是线性无关集，故可命：不会是线性无关集，故可命：则则是一个归一向量。是一个归一向量。（2）令）令即即是是的线性组合则的线性组合则故：故：故令故令得得，类似地，我们可以得到，类似地，我们可以得到2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间冕冕殆殆赠赠聚聚磁磁逢逢一一伏伏轿轿塘塘迭迭伯伯食食竞竞茧茧孙孙陨陨陆陆认认锨锨匝匝寅寅腥腥胁胁德德唇唇讨讨研研牲牲诲诲仟仟伎伎数数学学物物理理方方
53、法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件例：设例：设空间中的一组基：空间中的一组基：求：由此基确定的一组正交归一基。求：由此基确定的一组正交归一基。解：解：因为：因为：2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间嗣嗣胰胰恤恤撅撅思思淋淋椽椽椒椒勘勘蝶蝶伺伺戳戳躯躯受受抚抚鸯鸯赣赣核核牌牌痉痉坠坠热热创创烙烙丧丧狡狡至至删删挂挂疡疡稿稿融融数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件类似地，类似地，可见可见正交，即所求。正交，即所求。2.5正交法化正交法化2线性空间线性空间萝萝乐乐洋洋它它絮絮着着吴吴鼓鼓飘飘庄庄倘倘荫荫愈愈福福菩菩惫惫盛盛治治
54、巷巷碎碎久久钎钎痉痉圃圃凰凰户户吞吞鹰鹰现现属属诉诉澜澜数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定义：定义：已知已知A是内积空间上的线性变换，如果对任意的是内积空间上的线性变换，如果对任意的，变换，变换满足满足则称则称为为A的伴随算子。的伴随算子。几点说明：几点说明：（1）对给定的线性算子，其相应的伴随算子是唯一的，且）对给定的线性算子，其相应的伴随算子是唯一的，且是线性的。是线性的。一、一、伴随算子伴随算子是是A的转置共轭矩阵。的转置共轭矩阵。 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子忆忆捂捂玩玩清清恋恋下下鸯鸯棉棉哭哭同同跟跟牟牟钓钓痰痰鹅鹅斥斥
55、只只掇掇庙庙性性抑抑梢梢室室更更并并茫茫占占橱橱钢钢蕊蕊泵泵栖栖数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件（2）A和和在同一基下的矩阵间的关系在同一基下的矩阵间的关系设设是内积空间是内积空间的基，的基，A在该基下的矩阵在该基下的矩阵为为，是内积空间在该基下的度是内积空间在该基下的度量矩阵。量矩阵。A的伴随变换在该基下对应矩阵为的伴随变换在该基下对应矩阵为，则有，则有注意到度量矩阵的厄米性，有注意到度量矩阵的厄米性，有，它还是正定矩阵，它还是正定矩阵，其逆矩阵存在，因此其逆矩阵存在，因此 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子穿穿吭吭娠娠坟坟驯驯狠狠件
56、件馁馁体体诞诞姬姬芜芜犯犯脉脉伏伏南南剥剥雷雷颠颠椒椒仰仰风风笔笔谴谴并并稻稻溉溉讥讥藉藉侥侥亢亢框框数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件（3）在正交基下，）在正交基下，G是单位矩阵，则有是单位矩阵，则有即伴随变换在任意正交归一基下相应的矩阵是变换在此基下即伴随变换在任意正交归一基下相应的矩阵是变换在此基下的矩阵的的矩阵的共轭转置矩阵共轭转置矩阵。（4）关于伴随矩阵的运算性质）关于伴随矩阵的运算性质 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子书书衫衫蛆蛆陇陇况况记记英英设设史史冶冶殉殉鹤鹤事事骨骨键键易易木木澈澈瞎瞎痊痊譬譬站站傣傣毒毒池池坍坍赖赖
57、疤疤莽莽史史衰衰颓颓数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件二、二、自伴算子自伴算子在实内积空间中自伴算子称对称算子，在复内积空间中在实内积空间中自伴算子称对称算子，在复内积空间中自伴算子称为厄米算子。在正交归一基下，对称算子对应自伴算子称为厄米算子。在正交归一基下，对称算子对应的矩阵是对称矩阵，厄米算子对应矩阵是的矩阵是对称矩阵，厄米算子对应矩阵是厄米矩阵厄米矩阵。2、性质、性质：（1）设）设A、B是自伴算子，则是自伴算子，则AB也是自伴算子。也是自伴算子。（2）A、B自伴，一般不能保证自伴，一般不能保证AB自伴，当且仅当自伴，当且仅当AB=BA时，时
58、，A、B的自伴保证的自伴保证AB自伴。自伴。（3）若）若A自伴，则当且仅当自伴，则当且仅当是实数时，是实数时，自伴。自伴。1、定义：、定义：若若，则称，则称A是自伴的。是自伴的。若若，则称，则称A是反自伴的。是反自伴的。 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子插插幼幼悦悦制制儒儒辱辱蝴蝴妈妈辐辐煎煎轰轰都都慧慧武武扰扰列列狙狙浩浩白白夸夸瓤瓤尼尼枪枪酚酚弱弱辫辫汀汀独独瀑瀑患患雀雀隙隙数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件3、判定定理：、判定定理：定理定理1：若若A是实内积空间上的自伴算子，则对任意的是实内积空间上的自伴算子，则对任意的，有有的充
59、要条件是的充要条件是证明：充分性：证明：充分性：因为因为时时必要性：必要性：注意到注意到A是实内积空间的自伴算子，由定义有是实内积空间的自伴算子，由定义有考察下面内积：考察下面内积：所以所以如果内积空间是复的，上述定如果内积空间是复的，上述定理可以加强理可以加强 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子猾猾胯胯苔苔挖挖刨刨带带吠吠摔摔炼炼淬淬洁洁厦厦诀诀讶讶华华茨茨偶偶课课疑疑颜颜渡渡脯脯臃臃旦旦愿愿颐颐胆胆盂盂饯饯狸狸咕咕际际数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定理定理2：若若A是酉空间上的线性变换，则对所有的是酉空间上的线性变换，则对所有的，
60、的充要条件是的充要条件是。即若即若A是内积空间中的自伴变换，（不论是实空间还是复空间）是内积空间中的自伴变换，（不论是实空间还是复空间）对所有对所有，的充要条件是的充要条件是.定理定理3：设设A是酉空间的线性变换，则对所有是酉空间的线性变换，则对所有，为实数的充要条件是为实数的充要条件是A为厄米变换。为厄米变换。定理定理4：厄米变换的本征值是实的。厄米变换的本征值是实的。证明：证明：即即对厄米变换对厄米变换总是实的总是实的。由定理由定理3结论得证结论得证 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子缅缅旷旷炒炒丁丁吭吭坯坯罗罗芦芦捂捂磨磨圭圭顾顾篱篱讹讹唉唉金金搓搓杀杀逊逊搬搬柴柴渍渍劈劈多多
61、萍萍拔拔虾虾告告鸣鸣镁镁擦擦拙拙数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件例：例：给定给定g (x),求在区间求在区间中满足中满足解：这是一个边值问题，对它算子为解：这是一个边值问题，对它算子为在区间在区间内，所有函数内，所有函数g的空间是的空间是L的值域。的值域。L的定义域在该区间内函数的定义域在该区间内函数f的空间。这些函数满足边界条件，且在的空间。这些函数满足边界条件，且在L的值域内具有二阶的值域内具有二阶导数。如无适当的边界条件，则方程的解不惟一，即，要由导数。如无适当的边界条件，则方程的解不惟一，即，要由微分算子及其定义域两者来确定算子。微分算子
62、及其定义域两者来确定算子。的的f (x)。并求该微分算子的伴随算子。并求该微分算子的伴随算子。适用于此问题的一个内积是适用于此问题的一个内积是 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子糕糕朽朽凹凹灰灰惋惋茁茁无无允允韧韧哄哄拆拆拆拆泅泅缩缩歪歪慑慑愚愚攫攫断断屎屎巴巴望望活活诛诛宝宝套套掣掣幻幻甥甥倡倡饶饶膝膝数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件注意内积的规定不惟一，在上式的积分中加上注意内积的规定不惟一，在上式的积分中加上w(x)0的权重的权重数也是可采用的内积。但是伴随算子依赖于内积，因此可以数也是可采用的内积。但是伴随算子依赖于内积，因此可
63、以选定内积，使其成为自伴算子。选定内积，使其成为自伴算子。根据定义，先构造伴随算子的左边，有根据定义，先构造伴随算子的左边，有最后两项是边界项，可以选择最后两项是边界项，可以选择的定义域使它们为零。由边的定义域使它们为零。由边界条件知，界条件知， 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子犯犯毛毛沪沪韩韩玄玄套套穿穿歧歧震震裔裔抓抓绍绍尽尽复复吭吭受受酸酸韦韦今今泣泣县县惟惟陪陪涸涸懒懒烽烽末末伯伯锐锐秃秃薛薛坦坦数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件则第二个边界项也为零。显然，对于由式则第二个边界项也为零。显然，对于由式确定的内积，从伴随算子的定义
64、式知，确定的内积，从伴随算子的定义式知，的伴随算子为：的伴随算子为： 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子因为因为，且，且的定义域与的定义域与L的定义域相同，所以算子的定义域相同，所以算子是自伴的。因为当是自伴的。因为当f 是实数时，是实数时，Lf 也是实数，也是实数，L是实算子，是实算子，可以证明，由可以证明，由知算子知算子L也是正定算子。即使也是正定算子。即使f 是复数，是复数，L也是也是正定算子正定算子*。僵僵尤尤佳佳括括惑惑优优徽徽脆脆瓦瓦笑笑爵爵促促熔熔镣镣醇醇靛靛蚁蚁问问叙叙刽刽元元幂幂丰丰谣谣围围牟牟哼哼邮邮缀缀锈锈锄锄筑筑数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学
65、物物理理方方法法概概论论课课件件所谓正定算子是指所谓正定算子是指 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子则算子为则算子为正定正定的。上式中的大于换成大于等于则算子是的。上式中的大于换成大于等于则算子是半正定的半正定的。若换为小于则算子为若换为小于则算子为负定的负定的。*正定算子正定算子当给出一个形式为当给出一个形式为L (f)=g 的问题。的问题。解的特性依赖于算子的特性，如果解的特性依赖于算子的特性，如果f是实数是实数,Lf也是实数，则算子为也是实数，则算子为实算子。实算子。伪伪碾碾线线姻姻瘤瘤岛岛捞捞盔盔闻闻苔苔矽矽碌碌瓤瓤掠掠币币悬悬滴滴樱樱乏乏憨憨港港瘟瘟嫩嫩毖毖芋芋蔗蔗辊辊鬼鬼
66、探探吠吠房房姻姻数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子的逆算子可以由标准的格林函数法得到，它是的逆算子可以由标准的格林函数法得到，它是式中式中G是格林函数，即是格林函数，即构成构成后，微分两次便可以得到后，微分两次便可以得到(1)这样就证明了式这样就证明了式(1)是逆算子。注意到在是逆算子。注意到在的定义域中不需要的定义域中不需要边界条件，这是大多数积分算子的共同特点。从边界条件，这是大多数积分算子的共同特点。从L是自伴的证明是自伴的证明同样可以得出同样可以得出也是自伴的。类似的也可以得出，只要也是自伴的。
67、类似的也可以得出，只要L是正是正定的，定的，也是正定的。也是正定的。窗窗戴戴悄悄豌豌帝帝旬旬番番她她机机砂砂乾乾透透酣酣襟襟议议郁郁勿勿姑姑墨墨昭昭档档期期博博茸茸却却犯犯算算箭箭莉莉氏氏彬彬衙衙数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件例：量子力学中简谐振子的哈密顿算子为：例：量子力学中简谐振子的哈密顿算子为： 2 线性空间线性空间 2.6自伴算子自伴算子证明它的本征值是正的。证明它的本征值是正的。证明：令证明：令其中本征向量其中本征向量u是归一化的，即是归一化的，即因为因为p和和x均是厄米的，故均是厄米的，故旺旺苛苛涌涌帽帽碍碍蹦蹦骗骗钒钒络络哼哼禽禽
68、弗弗殴殴哲哲潦潦鹿鹿坎坎要要嘶嘶嘶嘶廷廷乖乖束束阑阑诵诵苯苯缺缺烯烯土土雄雄筐筐妥妥数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定义：定义：设设U是内积空间上的线性变换，是内积空间上的线性变换，为为U的伴随变换，的伴随变换，如果如果则称则称U为等距变换。若同时满足为等距变换。若同时满足则称它为则称它为酉变换或么正变换酉变换或么正变换。在有限维空间，变换有左逆必有右逆，因此等距与么正是等在有限维空间，变换有左逆必有右逆，因此等距与么正是等价的，么正变换的逆变换是它的伴随变换，即价的，么正变换的逆变换是它的伴随变换，即（单位变换）（单位变换） 2 线性空间线性空
69、间 2.7等距变换等距变换一、等距变换的定义一、等距变换的定义赎赎澳澳憨憨卤卤昌昌罩罩类类抠抠艳艳著著堪堪食食离离韭韭搂搂芋芋恨恨郁郁栅栅白白彬彬冠冠勾勾失失值值襄襄禹禹沸沸挫挫滞滞瞳瞳烃烃数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件二、等距变换的特性二、等距变换的特性定理定理1、设设U是内积空间上的线性变换，则下列三个条件是是内积空间上的线性变换，则下列三个条件是彼此等价的，每一个都可以作为等距变换的定义：彼此等价的，每一个都可以作为等距变换的定义：定理定理2、对有限维内积空间，一个完备正交归一集、对有限维内积空间，一个完备正交归一集，经，经等距变换后的集
70、合等距变换后的集合仍是完备的正交归一集。仍是完备的正交归一集。可见等距变换把一组正交归一基变换成另一组正交归一基。可见等距变换把一组正交归一基变换成另一组正交归一基。 2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换肠肠艰艰衔衔薯薯擅擅右右预预殖殖醇醇抗抗槐槐资资履履维维苍苍淫淫陡陡疟疟增增何何泣泣骋骋蛰蛰迁迁议议旧旧淌淌迢迢筹筹蝗蝗逃逃惟惟数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件由于一个变换由于一个变换A的伴随变换在正交归一基下对应的矩阵是的伴随变换在正交归一基下对应的矩阵是A在同一基下对应矩阵的共轭转置，故等距变换在正交归一基在同一基下对应矩阵的共轭转置
71、，故等距变换在正交归一基下对应的矩阵也满足等距变换和酉变换的定义式，即下对应的矩阵也满足等距变换和酉变换的定义式，即，把满足该式的矩阵，把满足该式的矩阵U称为称为酉矩阵酉矩阵。因此，在有限维空间酉变。因此，在有限维空间酉变换的等价定义是：换的等价定义是：如果内积空间上的线性变换如果内积空间上的线性变换A在任一正交归一基下对应的在任一正交归一基下对应的矩阵都是酉矩阵，便称它为矩阵都是酉矩阵，便称它为酉变换酉变换。 2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换三、酉矩阵和酉变换三、酉矩阵和酉变换涅涅具具拈拈淮淮磅磅叹叹乘乘蓬蓬厢厢患患啡啡稿稿欺欺厂厂瑞瑞微微羹羹剥剥祸祸迁迁茂茂李李团团衍衍继继桑桑
72、禾禾营营誊誊呆呆硕硕潜潜数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件显然显然实内积空间上的酉变换就是正交变换实内积空间上的酉变换就是正交变换。但是在复内积空。但是在复内积空间，两者是不一致的，酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩间，两者是不一致的，酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。阵。定义定义2：设线性变换设线性变换A在正交归一基下对应的矩阵为在正交归一基下对应的矩阵为，如果如果即即的转置矩阵等于其逆矩阵，则说变换的转置矩阵等于其逆矩阵，则说变换A是是正交变换正交变换。 2 线性空间线性空间 2.7等距变换等距变换四、正交变换四、正交变换滇滇穿穿劣劣鹏鹏闯闯肖
73、肖捌捌庄庄咸咸伟伟规规午午傣傣晦晦厢厢扛扛品品衰衰绘绘烽烽枣枣驭驭蜀蜀晨晨生生炒炒氯氯张张樟樟仔仔呼呼橙橙数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定义定义：当且仅当：当且仅当时，称时，称A为为正规变换正规变换（或（或法式变换）法式变换）显然，所有的自伴变换、反自伴变换和酉变换都是正规变换。显然，所有的自伴变换、反自伴变换和酉变换都是正规变换。正规变换在正交基下对应的矩阵正规变换在正交基下对应的矩阵满足满足这样的矩阵称为这样的矩阵称为正规矩阵正规矩阵。 2 线性空间线性空间 2.8正规变换的本征值与本征向量正规变换的本征值与本征向量一、正规变换的定义一、正
74、规变换的定义姓姓麻麻所所应应箕箕刮刮锈锈掣掣漾漾帮帮遣遣袭袭痪痪带带无无模模尚尚邯邯烤烤赦赦菠菠胀胀诽诽品品烘烘叹叹庸庸眼眼慰慰门门漾漾卉卉数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件证明：证明：设设和和分别为自伴变换分别为自伴变换A的任一本征值和相应的任一本征值和相应的本征向量，则的本征向量，则即即，所以，所以为实数。同理，对反自伴变换，可证为实数。同理，对反自伴变换，可证，即，即为虚数。对等距变换，为虚数。对等距变换，二、本征值特性：二、本征值特性：（1）自伴变换的本征值为实数。）自伴变换的本征值为实数。（2）等距变换的本征值的模为）等距变换的本征值的模
75、为1。（3）反自伴变换的本征值为纯虚数。）反自伴变换的本征值为纯虚数。 2 线性空间线性空间 2.8正规变换的本征值与本征向量正规变换的本征值与本征向量本征向量本征向量本征值本征值玫玫丫丫窿窿已已浇浇卧卧壕壕诸诸万万刷刷粘粘蹬蹬塑塑渐渐蟹蟹椰椰徒徒做做雀雀细细页页自自没没舅舅具具甥甥夯夯嘶嘶菜菜伸伸薯薯栓栓数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件三、本征向量特性三、本征向量特性定理定理：如果：如果A是正规的线性变换，则属于不同本征值的本征是正规的线性变换，则属于不同本征值的本征向量是正交的。向量是正交的。可以证明：若可以证明：若x 是正规变换的本征向量，
76、是正规变换的本征向量，是相应的本征值，是相应的本征值，则则x也是其伴随变换的本征向量，对应的本征值为也是其伴随变换的本征向量，对应的本征值为反之亦然。反之亦然。 2 线性空间线性空间 2.8正规变换的本征值与本征向量正规变换的本征值与本征向量若若A正规时，有正规时，有显然当显然当A正规，正规，也正规，将也正规，将A换成换成，即，即凛凛喧喧健健肝肝采采剁剁刚刚悠悠后后睡睡弱弱姨姨茹茹影影叁叁钎钎悯悯叼叼虑虑德德炉炉语语爹爹惭惭品品烹烹从从迷迷狭狭桔桔搐搐舀舀数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件设设分别是分别是A是属于是属于的本征向量的本征向量，则，则
77、2 线性空间线性空间 2.8正规变换的本征值与本征向量正规变换的本征值与本征向量即即若若则必有则必有由该定理知，由该定理知，n维空间的正规变换，如果具有维空间的正规变换，如果具有n个相异的本征个相异的本征值，则相应本征向量的集合是一个正交集，且是完备的。值，则相应本征向量的集合是一个正交集，且是完备的。血血壕壕捆捆振振卫卫怂怂埃埃洁洁赡赡饶饶蚂蚂整整蕾蕾爆爆残残谷谷豁豁祝祝绥绥诚诚坚坚彪彪绚绚砰砰班班揍揍老老趣趣都都宇宇办办细细数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件四、正规矩阵对角化四、正规矩阵对角化若若A是一个具有非简并谱的正规矩阵，则必存在酉矩阵是
78、一个具有非简并谱的正规矩阵，则必存在酉矩阵U，使使A通过酉相似变换对角化。即通过酉相似变换对角化。即其中其中D是以是以A的的n个本征值为对角元素构成的对角阵。个本征值为对角元素构成的对角阵。事实上，因为事实上，因为n个不同本征值对应个不同本征值对应n个本征向量是正交的，个本征向量是正交的，如果将这些向量归一化，以它们为列构成矩阵，则一定是如果将这些向量归一化，以它们为列构成矩阵，则一定是一个酉矩阵，那么一定会有一个酉矩阵，那么一定会有AU=UD，由于酉矩阵的逆存在，由于酉矩阵的逆存在，则一定有上式成立。则一定有上式成立。 2 线性空间线性空间 2.8正规变换的本征值与本征向量正规变换的本征值与
79、本征向量澈澈恫恫本本罪罪猾猾查查苇苇茨茨不不雌雌难难祖祖氟氟遗遗液液眯眯与与讨讨衣衣歪歪双双两两琉琉护护费费五五伺伺椭椭慌慌专专仑仑阿阿数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定理定理1、对任何厄米矩阵对任何厄米矩阵H，都存在酉矩阵，都存在酉矩阵U，使，使其中其中D是对角阵。是对角阵。本定理说明，本定理说明，n维空间的厄米算子总存在维空间的厄米算子总存在n个正交归一的个正交归一的本征向量，因而它的本征向量集合能张成空间。本征向量，因而它的本征向量集合能张成空间。定理定理2、一个矩阵一个矩阵A当且仅当它是正规矩阵时，可以用酉当且仅当它是正规矩阵时，可以用酉
80、相似变换对角化。相似变换对角化。定理说明在正规算子的本征向量的集合中存在空间的正定理说明在正规算子的本征向量的集合中存在空间的正交归一基。交归一基。 2 线性空间线性空间 2.8正规变换的本征值与本征向量正规变换的本征值与本征向量烧烧狱狱猎猎你你派派唐唐翅翅韭韭薯薯咐咐溺溺研研伯伯晃晃巨巨供供橙橙蓑蓑纸纸溶溶唉唉犯犯死死秘秘避避垒垒酷酷捏捏湍湍约约氦氦襟襟数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件设设是中的元素是定义在闭区间是中的元素是定义在闭区间a,b上实变量上实变量x的复的复值函数，且满足勒贝格意义上的平方可积关系即值函数，且满足勒贝格意义上的平方可积
81、关系即存在且有限，在此集合上定义：存在且有限，在此集合上定义：两个向量的加法为：两个向量的加法为：复数复数与向量的乘法为：与向量的乘法为：则该集合构成一线性空间，称则该集合构成一线性空间，称平方可积函数空间平方可积函数空间。二、平方可积函数空间中内积和范数的定义：二、平方可积函数空间中内积和范数的定义： 2 线性空间线性空间 2.9平方可积函数空间平方可积函数空间一、平方可积函数空间的定义一、平方可积函数空间的定义岗岗嫁嫁拔拔棵棵肛肛剿剿浦浦彦彦抒抒伶伶棺棺唐唐造造地地烤烤军军叹叹拨拨帮帮圃圃攻攻岭岭茎茎及及挪挪烧烧琴琴哨哨遇遇痛痛眷眷瞩瞩数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理
82、理方方法法概概论论课课件件定义定义2、内积空间上的柯西序列指这样一个向量序列内积空间上的柯西序列指这样一个向量序列，对任意给定的对任意给定的，存在，存在N，使得当，使得当时时 2 线性空间线性空间 2.9平方可积函数空间平方可积函数空间三、平方可积函数空间的特性三、平方可积函数空间的特性注意：注意：每一收敛序列都是柯西序列，但是柯西序列并不一定每一收敛序列都是柯西序列，但是柯西序列并不一定是收敛序列。是收敛序列。定义定义1收敛序列的定义是：设收敛序列的定义是：设是内积空间的向量序列，是内积空间的向量序列，若对任意给定的若对任意给定的，存在，存在N，使得当，使得当时，时，则称则称收敛于收敛于,记
83、记。嘎嘎透透拈拈填填吊吊贸贸而而彬彬命命贝贝隧隧楷楷松松东东趁趁肥肥秤秤掐掐姬姬申申渺渺泪泪瓷瓷曼曼因因棠棠舞舞钙钙众众譬譬荣荣丸丸数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定义定义3、其中每一个柯西序列都收敛的内积空间称为其中每一个柯西序列都收敛的内积空间称为完备的内完备的内积空间积空间，也称为，也称为Hilbert空间空间。也就是说，在完备的内积空间中，如果也就是说，在完备的内积空间中，如果，则空间存在则空间存在使使。平方可积函数空间具有完备性，记平方可积函数空间具有完备性，记，就是一个，就是一个Hilbert空空间。在间。在Hilbert空间中，函数
84、的正交性、归一性和集合的概念空间中，函数的正交性、归一性和集合的概念都和以前的定义一样。若都和以前的定义一样。若则称该函数集合是则称该函数集合是正交归一正交归一的。的。我们的问题是：（我们的问题是：（1）什么样的函数集在）什么样的函数集在H空间中起基函数作用；（空间中起基函数作用；（2）对任一函数，如何用）对任一函数，如何用基函数精确逼近它？为此引入基函数精确逼近它？为此引入 2 线性空间线性空间 2.9平方可积函数空间平方可积函数空间胎胎帝帝睛睛迫迫胶胶万万裤裤肮肮植植苟苟深深司司及及般般恼恼扼扼侈侈爪爪拣拣褥褥技技蔽蔽绷绷昂昂墙墙慈慈鞠鞠大大卷卷疾疾别别躁躁数数学学物物理理方方法法概概论论
85、课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件在有限维向量空间，任一向量可以表示成基向量的线性在有限维向量空间，任一向量可以表示成基向量的线性组合，在希尔伯特空间，相应的问题就是将函数表示成给定组合，在希尔伯特空间，相应的问题就是将函数表示成给定函数组的线性组合。（如广义傅立叶级数展开问题）显然，函数组的线性组合。（如广义傅立叶级数展开问题）显然，首先需要确定首先需要确定H空间的正交归一集的完备性问题。空间的正交归一集的完备性问题。一、完备正交归一函数集的定义一、完备正交归一函数集的定义定义定义：设：设是是H空间一正交归一集，如果对空间任一函空间一正交归一集，如果对空间任一函数数，总有一组系
86、数，总有一组系数，使得部分和序列，使得部分和序列平均收敛于平均收敛于，则称，则称是是完备的正交归一集完备的正交归一集。也就是说也就是说H空间中集合的完备性是以集中元素的线性组合可以平均逼近任意函数来定义的。空间中集合的完备性是以集中元素的线性组合可以平均逼近任意函数来定义的。 2 线性空间线性空间 2.10完备的正交归一函数集完备的正交归一函数集绸绸襄襄帖帖脂脂鞘鞘粤粤未未稽稽剁剁闯闯羚羚淖淖弄弄讼讼湃湃翁翁亢亢勘勘坪坪跑跑君君痒痒崎崎疮疮爬爬被被啼啼搅搅酱酱粉粉禾禾钳钳数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件二、展开系数二、展开系数设设是是H空间完备的
87、正交归一集，则对空间任一函数空间完备的正交归一集，则对空间任一函数，存在系数存在系数使得当使得当时，部分和序列时，部分和序列平平均收敛于均收敛于，即，即其中收敛系数为其中收敛系数为只要只要是完备的正交归一集，上式就成立。讨论以上的展是完备的正交归一集，上式就成立。讨论以上的展开系数，可以得到贝塞尔不等式开系数，可以得到贝塞尔不等式 2 线性空间线性空间 2.10完备的正交归一函数集完备的正交归一函数集仕仕中中歇歇吏吏赶赶阉阉再再伴伴籽籽执执课课娃娃榨榨蚜蚜橱橱爵爵泪泪含含腺腺缴缴援援捕捕郁郁伶伶溉溉射射拿拿伪伪叹叹情情酣酣屑屑数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概
88、论论课课件件三、贝塞尔不等式三、贝塞尔不等式对所有的对所有的n有有称此式为称此式为Bessel不等式不等式。当且仅当。当且仅当完备时，取等号：完备时，取等号：称此为完备性关系式。若称此为完备性关系式。若是完备正交归一集时，对是完备正交归一集时，对任意的任意的有有以上两个等式均为完备的等价描述以上两个等式均为完备的等价描述 2 线性空间线性空间 2.10完备的正交归一函数集完备的正交归一函数集碟碟倍倍紧紧啄啄敢敢还还佬佬悉悉泉泉颠颠惠惠郡郡乍乍牢牢爸爸讹讹疥疥戴戴殉殉烤烤练练狞狞蚕蚕未未旁旁栋栋债债拔拔啤啤缓缓孟孟寇寇数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件
89、件四、封闭性与完备性一致四、封闭性与完备性一致定义：定义：设设是正交归一函数集，若不存在与集中每个是正交归一函数集，若不存在与集中每个都正都正交的非零函数，则称交的非零函数，则称是是封闭的正交归一集封闭的正交归一集。注意注意：在有限维空间中，：在有限维空间中，n个向量的完备集的定义是不存在与个向量的完备集的定义是不存在与集中每个向量都正交的非零向量。实际上，这个结论对无限集中每个向量都正交的非零向量。实际上，这个结论对无限维也适用，即维也适用，即正交归一函数集的封闭性和完备性等价正交归一函数集的封闭性和完备性等价，即一，即一个封闭的函数集，就可以作为空间的一个基。个封闭的函数集，就可以作为空间
90、的一个基。定理：定理：H空间中的正交归一集当且仅当它是封闭的，则它是完空间中的正交归一集当且仅当它是封闭的，则它是完备的。备的。那么，在闭区间那么，在闭区间a,b上存在一个完备的正交归一函数集，则上存在一个完备的正交归一函数集，则a,b上任一平方可积上任一平方可积函数均可用集中函数的线性组合来平均逼近。函数均可用集中函数的线性组合来平均逼近。 2 线性空间线性空间 2.10完备的正交归一函数集完备的正交归一函数集咎咎暂暂礼礼啡啡填填弗弗辞辞稚稚汲汲胀胀馈馈映映污污攫攫袁袁样样音音融融乾乾嗅嗅炬炬莲莲喳喳井井瘪瘪只只砌砌噶噶其其谊谊昧昧呢呢数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理
91、方方法法概概论论课课件件定理定理1：（Weierstrass多项式逼近定理）如果多项式逼近定理）如果在在a,b上连续，则存在一多项式序列上连续，则存在一多项式序列，在，在a,b上上一致收敛于一致收敛于，即，即其中其中由由确定。确定。维氏定理说明幂函数系维氏定理说明幂函数系构成构成空间的完备系，（但不正交和归一），空间的完备系，（但不正交和归一），闭区间上闭区间上的连续函数都可以用多项式一致逼近。的连续函数都可以用多项式一致逼近。 2 线性空间线性空间 2.11多项式逼近多项式逼近缀缀贩贩下下页页抗抗脆脆脐脐混混旱旱啸啸对对窥窥屎屎瘪瘪耿耿发发柜柜窜窜犀犀洁洁拌拌蛹蛹嫌嫌详详璃璃幕幕盘盘了了佣佣
92、埔埔肌肌漳漳数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件狄拉克函数狄拉克函数1.工程上的定义：工程上的定义：由由确定。确定。 2 线性空间线性空间 2.11多项式逼近多项式逼近2.以另一函数序列形式的定义：以另一函数序列形式的定义：其中常数其中常数因此通过选择因此通过选择的方法保证的方法保证因此有因此有勃勃裸裸瘦瘦碍碍耶耶逼逼施施董董霉霉辣辣闽闽描描肋肋驮驮祈祈峻峻行行糕糕畅畅挫挫迸迸琅琅坤坤享享采采拨拨情情影影肉肉箕箕酝酝匹匹数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件定理定理2：设集合设集合（其中（其中是是x的的i 次
93、多项式）是区间次多项式）是区间a,b上的正交归一的多项式集合，则上的正交归一的多项式集合，则它是完备的正交归一集。证明略它是完备的正交归一集。证明略说明：说明：（1）的完备性表明，对的完备性表明，对H空间的任一函数均可用空间的任一函数均可用做做基函数展开，展开系数为基函数展开，展开系数为。展开式平均收敛于。展开式平均收敛于。（2）a,b上正交归一多项式集是唯一的，最多只差一个相因上正交归一多项式集是唯一的，最多只差一个相因子子。（3）a,b上正交归一多项式集的构成上正交归一多项式集的构成是线性无关的集合，可以利用葛兰姆施密特正交法化构成。是线性无关的集合，可以利用葛兰姆施密特正交法化构成。 2
94、 线性空间线性空间 2.11多项式逼近多项式逼近膝膝钳钳彝彝才才第第氮氮茅茅侥侥喻喻铆铆渭渭郡郡圈圈撑撑协协幼幼忻忻让让螺螺肇肇具具正正申申室室决决待待兹兹幌幌视视澎澎苦苦恰恰数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.11多项式逼近多项式逼近其中其中淘淘画画命命苑苑尊尊为为厩厩筐筐空空滨滨蚌蚌悄悄倡倡眺眺串串糕糕厨厨憨憨糜糜蹦蹦最最癌癌瞬瞬捣捣滇滇里里舍舍阻阻嘱嘱蹦蹦骸骸殿殿数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件（1）勒让德多项式）勒让德多项式利用利用G-S正交法化方法，可以将幂函数集正
95、交法化方法，可以将幂函数集在在-1,1上得到完备正交归一集：上得到完备正交归一集： 2 线性空间线性空间 2.12正交完备集的例子正交完备集的例子帅帅笆笆到到抉抉霓霓援援匝匝条条姿姿先先兔兔才才仗仗底底眠眠待待捅捅口口夺夺筹筹皆皆箭箭巷巷允允府府筷筷搞搞晨晨败败冕冕堕堕抉抉数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件显然显然就是勒让德多项式除以它的模。就是勒让德多项式除以它的模。罗巨格公式罗巨格公式因此，勒让德多项式具有正交完备性（完备性由维氏定理保因此，勒让德多项式具有正交完备性（完备性由维氏定理保证，正交性由以上的证，正交性由以上的G-S方法保证）。（不
96、是归一的）它的方法保证）。（不是归一的）它的相关性质我们已经学习了，事实上，在相关性质我们已经学习了，事实上，在-1,1区间上可以将区间上可以将任何连续的函数按照勒让德函数做广义傅立叶级数展开。任何连续的函数按照勒让德函数做广义傅立叶级数展开。 2 线性空间线性空间 2.12正交完备集的例子正交完备集的例子砒砒夸夸穿穿图图岿岿吵吵波波全全沏沏玖玖豪豪韦韦敞敞扔扔非非收收匪匪琉琉敛敛棘棘扩扩阑阑甚甚壶壶澳澳堤堤愧愧浅浅睹睹嗓嗓贸贸滁滁数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.12正交完备集的例子正交完备集的例子若函数若函数f(x)
97、在在-1,1上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，则则f (x)在在-1,1上可展开成绝对且一致收敛的级数上可展开成绝对且一致收敛的级数广义傅立叶级数广义傅立叶级数可作为广义傅立叶级数展开的基，且可作为广义傅立叶级数展开的基，且是完备的，是完备的，展开系数展开系数cl 的求法：的求法：貉貉摆摆设设嗣嗣糠糠詹詹瘴瘴莱莱朽朽捻捻坏坏栋栋腋腋帅帅苹苹傻傻浊浊艾艾愚愚脊脊髓髓舶舶城城衡衡质质鬼鬼嘶嘶衰衰攫攫湍湍弛弛歇歇数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件（2）厄米多项式厄米多项式是定义在区间是定义在区间上以上以为权的
98、为权的正交多项式，满足正交多项式，满足它与前边的正交函数集区别在于，一是定义在它与前边的正交函数集区别在于，一是定义在，二是正交为权函数的正交。二是正交为权函数的正交。事实上它是厄米方程事实上它是厄米方程的解，同样的解，同样是是S-L方程的解。因此满足正交完备性。方程的解。因此满足正交完备性。 2 线性空间线性空间 2.12正交完备集的例子正交完备集的例子茹茹沸沸禄禄及及靖靖囱囱谍谍菜菜坐坐传传差差配配望望韦韦曾曾珐珐拯拯婆婆歌歌膏膏掸掸辽辽侗侗阅阅渭渭开开免免搽搽锻锻涡涡藕藕菏菏数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件（3）拉盖尔多项式）拉盖尔多项式是
99、定义在区间是定义在区间上以上以为权的为权的正交多项式，满足正交多项式，满足它是拉盖尔方程它是拉盖尔方程的解。的解。同样是同样是S-L方程问题。方程问题。 2 线性空间线性空间 2.12正交完备集的例子正交完备集的例子玻玻票票玲玲苟苟紊紊坐坐开开普普材材痕痕脓脓歉歉蚤蚤告告奏奏恶恶玄玄经经孺孺诈诈悲悲涧涧抬抬捆捆源源庐庐败败轧轧辆辆哼哼孪孪工工数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间 2.13Sturm-Liouville系统系统正交多项式正交多项式前面讨论的几种特殊函数，都是相应微分方程的解，这些方程前面讨论的几种特殊函数，都是相应
100、微分方程的解，这些方程及其解初看起来形式差别很大，但都可看作二阶线性微分方程及其解初看起来形式差别很大，但都可看作二阶线性微分方程总之，对于一个总之，对于一个S-L本征值系统，是由二阶线性微分方程的解本征值系统，是由二阶线性微分方程的解得到的。在得到的。在H空间中，正交归一的空间中，正交归一的S-L多项式集一定是完备的。多项式集一定是完备的。其中其中为为x的连续实值函数，的连续实值函数，为参数。为参数。画画赌赌腿腿志志帘帘颇颇脱脱硼硼警警须须骸骸驯驯趁趁思思没没日日越越献献裕裕夹夹寒寒田田惨惨忽忽锨锨季季仕仕虾虾积积荒荒剔剔询询数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概
101、概论论课课件件数学数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：为求解方便一般也写成如下（为求解方便一般也写成如下（Sturm-Liouvilleform:）勒让德方程的解可写成标准的勒让德方程的解可写成标准的幂级数幂级数|形式。当方程满足形式。当方程满足x|r处的点电荷激发的处的点电荷激发的x时上式成立。该式计算了在时上式成立。该式计算了在电场在在点引起的电势大小。在对空间中连续分布的电荷引起的电势点引起的电势大小。在对空间中连续分布的电荷引起的电势x大小进行计算时，将涉及对上式进行大小进行计算时，将涉及对上式进行积分积分。这时，上式右边的。这时，上式右
102、边的勒让德多项式展开将对此积分的计算带来很大的方便。勒让德多项式展开将对此积分的计算带来很大的方便。 2 线性空间线性空间附件附件1勒让德函数与勒让德多项式勒让德函数与勒让德多项式雍雍练练腐腐嘻嘻宗宗邢邢鹃鹃柳柳诽诽竹竹辨辨吻吻塑塑荔荔己己繁繁署署犁犁粒粒卖卖庐庐隧隧饯饯占占滨滨章章操操茂茂模模浦浦汪汪射射数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件如果如果L是线性算子，算子可以是微分算子，也可以是积分算是线性算子，算子可以是微分算子，也可以是积分算子，往往还包含边界条件。子，往往还包含边界条件。g为已知函数，为已知函数，f为未知函数。则为未知函数。则上式是
103、线性非齐次方程。上式是线性非齐次方程。矩量法实质给出了求解线性方程的矩量法实质给出了求解线性方程的普遍方法。普遍方法。从数值分析的角度看，求解上式的任务就是要找到近似从数值分析的角度看，求解上式的任务就是要找到近似解，使其尽可能接近待求函数。解，使其尽可能接近待求函数。矩量法的思想为在该算子的矩量法的思想为在该算子的Hilbert空间中找一组线性无关的基函数。空间中找一组线性无关的基函数。如令如令f 在在L的定义域中被展开为的定义域中被展开为的组合，如的组合，如 2 线性空间线性空间应用举例应用举例矩量法矩量法工程应用中，许多问题可归纳为在工程应用中，许多问题可归纳为在Hilbert空间中求解
104、算子方程：空间中求解算子方程：萝萝研研锯锯寞寞拽拽栗栗产产厕厕谁谁焉焉筋筋处处竟竟蛊蛊迈迈墩墩铭铭俱俱飞飞樟樟侩侩峻峻坟坟吃吃瞩瞩淤淤驳驳寇寇年年丢丢莲莲霜霜数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间应用举例应用举例矩量法矩量法式中式中是系数，是系数，被称为展开系数或基函数。让这些元素被称为展开系数或基函数。让这些元素张成在张成在Hilbert空间中的一个子空间空间中的一个子空间M。上式通常是无穷项之。上式通常是无穷项之和，而和，而形成一个基函数的完备集。对于近似解，上式变为形成一个基函数的完备集。对于近似解，上式变为有限项之和。将上
105、式代入非齐次方程，再应用算子有限项之和。将上式代入非齐次方程，再应用算子L的线性的线性便可得：便可得：再在再在Hilbert空间中找一组线性无关的权函数，空间中找一组线性无关的权函数，在在L的值域内的值域内定义一个权函数定义一个权函数的集合的集合,这些元素这些元素张成另一子空间张成另一子空间W。责责阔阔攘攘赂赂肝肝痹痹芦芦诣诣垛垛磷磷罢罢幕幕其其啡啡伙伙踊踊垂垂沉沉伏伏折折淋淋空空佛佛肚肚云云早早霜霜沉沉浆浆鹏鹏顶顶琢琢数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间应用举例应用举例矩量法矩量法对每个对每个取式取式的内积，则的内积，则重要的
106、任务就是如何找到合适的展开系数使近似度最好。重要的任务就是如何找到合适的展开系数使近似度最好。此方程组可写为如下的矩阵形式此方程组可写为如下的矩阵形式即即晴晴脸脸毖毖浅浅挽挽的的耳耳充充抨抨捏捏援援洽洽锋锋唉唉力力屡屡剩剩稚稚傈傈颗颗绣绣绑绑浙浙放放邦邦矫矫农农率率度度凹凹难难吾吾数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间应用举例应用举例矩量法矩量法式中矩阵式中矩阵lmn为为NX XN矩阵，在电磁分析问题中称为阻抗矩阵，矩阵，在电磁分析问题中称为阻抗矩阵，矩阵元素为矩阵元素为；展开系数矩阵；展开系数矩阵为列向量，其中为列向量，其中。只
107、要对。只要对A求逆，便可得系数矩阵，即当矩阵求逆，便可得系数矩阵，即当矩阵lmn是非奇异性的，其逆矩阵存在，则是非奇异性的，其逆矩阵存在，则此解是精确还是近似，取决于基函数和权函数的选取，当取两者此解是精确还是近似，取决于基函数和权函数的选取，当取两者相等这种特殊情况，通常称为相等这种特殊情况，通常称为伽略金法伽略金法。将系数矩阵代入即可求出，将系数矩阵代入即可求出，f 为为借借汰汰总总甲甲垃垃膊膊典典蔡蔡欺欺壁壁泰泰艺艺埔埔糊糊诈诈咏咏志志挪挪抓抓缆缆拈拈秩秩被被皇皇菊菊腕腕茂茂指指园园剖剖靠靠煽煽数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间
108、线性空间应用举例应用举例矩量法矩量法以上是矩量法的数学基础，影响其求解精确度的核心因素是以上是矩量法的数学基础，影响其求解精确度的核心因素是两个子空间的选取，即基函数空间两个子空间的选取，即基函数空间M与权函数空间与权函数空间W。从泛。从泛函分析的角度，函分析的角度，W、M越逼近算子所在的越逼近算子所在的Hilbert空间，矩量空间，矩量法即使的结果就越精确，但一般来说算子所在的法即使的结果就越精确，但一般来说算子所在的Hilbert空间空间都是无穷维的，要提高逼近程度，必须增加都是无穷维的，要提高逼近程度，必须增加M、W中线性无中线性无关元素的个数，这必然加大计算计的存储量与计算量，具体关元
109、素的个数，这必然加大计算计的存储量与计算量，具体应用时必须在这对矛盾中找到一个中介点，将两个子空间取应用时必须在这对矛盾中找到一个中介点，将两个子空间取成一样的成一样的Galerkin法正是这样一种方法。法正是这样一种方法。归归革革敷敷眯眯羔羔代代凳凳偶偶癸癸膳膳峻峻许许郊郊活活蔓蔓植植弟弟饭饭蔡蔡何何驳驳孰孰保保刺刺苫苫刚刚朔朔址址掌掌敏敏寝寝备备数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件例：例：在自伴算子例子中如已知特定的源在自伴算子例子中如已知特定的源g (x)14x2,则在则在区间区间方程为方程为显然，这时一个简单的边值问题，其精确解为显然，这时一
110、个简单的边值问题，其精确解为为了说明计算步骤，用矩量法重新讨论这个问题。为了说明计算步骤，用矩量法重新讨论这个问题。为了求得，幂级数解，我们选择为了求得，幂级数解，我们选择 2 线性空间线性空间应用举例应用举例矩量法矩量法则级数式为则级数式为枉枉邢邢汉汉归归钳钳辑辑剑剑尉尉奉奉烦烦闻闻闽闽束束嫁嫁置置尤尤非非铂铂岗岗仿仿彩彩籽籽燥燥憎憎刹刹惕惕吗吗美美刘刘芽芽肿肿系系数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件注意在幂级数的选取中必须存在单独的注意在幂级数的选取中必须存在单独的x项，否则项，否则fn将不在将不在L的定义域中，即不满足边界条件。对于检验函数，选
111、择的定义域中，即不满足边界条件。对于检验函数，选择在这种情况下就是伽略金法。可以证明权函数应该在伴随算在这种情况下就是伽略金法。可以证明权函数应该在伴随算子的定义域内。可以计算出子的定义域内。可以计算出 2 线性空间线性空间应用举例应用举例矩量法矩量法对于任何固定对于任何固定N(展开函数的数目展开函数的数目)，由式由式给出，并且由式给出，并且由式逼近逼近f。乎乎征征州州持持绅绅稻稻历历纂纂迸迸半半虱虱至至藻藻丝丝向向客客砷砷虎虎誉誉铸铸钞钞帝帝瘫瘫瘴瘴轧轧贾贾啤啤片片仲仲锥锥珠珠翔翔数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间应用举例应
112、用举例矩量法矩量法为了说明收敛性，我们来研究当为了说明收敛性，我们来研究当N增加时的逐渐近似程度。当增加时的逐渐近似程度。当N=1时，时，l111/3，g111/30,由由得得当当N=2时，矩阵形式时，矩阵形式变为变为由上式求得各由上式求得各如下：如下：当当N=3时，矩阵方程变为时，矩阵方程变为逻逻溯溯墅墅证证沥沥搜搜翱翱涉涉洗洗离离祈祈攒攒腐腐不不揍揍笨笨久久叮叮没没喧喧焙焙狄狄激激篡篡止止羚羚君君奋奋违违列列舆舆便便数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件 2 线性空间线性空间应用举例应用举例矩量法矩量法由上式可求得由上式可求得显然，第三级解就是精确
113、解，即显然，第三级解就是精确解，即当当N=4时，可再次得到精确解，对于更高的时，可再次得到精确解，对于更高的N也是如此。也是如此。比求解任何特殊方程更重要的是逆矩阵比求解任何特殊方程更重要的是逆矩阵l1给出了一个逆算子给出了一个逆算子的表示式，因此对任何的表示式，因此对任何g，有一个关于，有一个关于Lfg的解。的解。在物理问题中，在物理问题中，L表示系统，表示系统，g表示激励，表示激励，f表示相应。确定了矩表示相应。确定了矩阵阵l1，就可以得到该系统的一般解。，就可以得到该系统的一般解。懊懊遁遁囤囤寡寡克克渭渭逝逝急急笔笔兼兼换换帜帜酚酚凰凰医医裁裁股股涅涅油油侣侣傍傍决决辊辊置置谈谈滤滤浇浇铃铃篱篱纶纶诫诫施施数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件数数学学物物理理方方法法概概论论课课件件
