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1、第七讲第七讲 符号计算符号计算 符号计算是数字运算的自然扩展，其特点包括： 不受计算误差的困扰； 计算可以给出完全正确的封闭解或任意精度的数值解； 计算的指令比较简单，所需要的时间较长。目录7.1 7.1 符号计算入门符号计算入门7.2 7.2 符号对象的创建和使用符号对象的创建和使用7.3 7.3 符号表达式的化简符号表达式的化简7.4 7.4 符号微积分符号微积分7.5 7.5 符号方程求解符号方程求解7.1 符号计算入门 1求解代数方程求解代数方程 2求解微分方程求解微分方程 3计算导数计算导数 4计算定积分计算定积分 自自然然科科学学理理论论分分析析中中的的公公式式、关关系系式式及及其
2、其推推导导是是符符号号计计算算要要解解决决的的问问题题。MATLAB数数值值计计算算的的对对象象是是数数值值，而而符符号号计计算算的的对对象象则则是是非非数数值值的的符符号号字符串。字符串。1求解代数方程2求解微分方程3计算导数4计算定积分7.2 符号对象的创建和使用7.2.1 创建符号对象和表达式创建符号对象和表达式 7.2.2 符号和数值之间的转换符号和数值之间的转换 在在符符号号计计算算中中，需需定定义义一一种种新新的的数数据据类类型型sym类类。sym类类的的实实例例就就是是符符号号对对象象，符符号号对对象象是是一一种种数数据据结结构构，用用来来存存储储代代表表符符号号变变量量、表表达
3、达式式和和矩矩阵的字符串。阵的字符串。 7.2.1 创建符号对象和表达式创建符号对象和表达式 1符号常量符号常量2符号变量符号变量 3符号表达式符号表达式4符号矩阵符号矩阵 函数函数sym()和命令和命令syms创建符号常创建符号常量、变量、函数以及表达式量、变量、函数以及表达式（1）函数）函数sym() 函数函数sym()的具体使用方法如下：的具体使用方法如下： ssym(A)； ssym(A)（2）命令syms 命令syms的具体使用方法如下： syms s1 s2 sn注:各变量间用空格分隔，不用逗号1符号常量 符号常量是一种符号对象。数值常量如符号常量是一种符号对象。数值常量如果作为函
4、数命令果作为函数命令sym()的输入参量，就建立的输入参量，就建立了一个符号对象了一个符号对象符号常量。符号常量。2符号变量 符符号号变变量量通通常常是是由由一一个个或或几几个个特特定定的的字字符表示。符号变量的命名规则如下所示：符表示。符号变量的命名规则如下所示： 变变量量名名可可以以由由英英文文字字母母、数数字字和和下下划划线线组成；组成； 变量名应以英语字母开头；变量名应以英语字母开头； 组成变量名的字母长度不大于组成变量名的字母长度不大于31个；个； 区分大小写。区分大小写。3符号表达式 符号表达式是由以下部分组成的符号对象：符号表达式是由以下部分组成的符号对象： 符号常量；符号常量；
5、 符号变量；符号变量； 符号运算符；符号运算符； 专用函数。专用函数。 Matlab中，大部分运算符和函数支持符号运算。中，大部分运算符和函数支持符号运算。4符号矩阵 元素是符号对象的矩阵叫做符号矩阵。元素是符号对象的矩阵叫做符号矩阵。7.2.2 符号和数值之间的转换符号和数值之间的转换1. Subs函数：函数： subs(S) subs(S, new)S是符号表达式，是符号表达式，new是新代入的变量或值是新代入的变量或值2. Vpa函数：函数： vpa(S) vpa(S,D)S是符号表达式，是符号表达式，D是有效数字个数是有效数字个数例： syms x y=x+x2y =x2 + x su
6、bs(y,3)ans =12 subs(y,pi)ans =pi2 + pi vpa(ans)ans =13.011197054679151857 vpa(ans,7)ans =13.01127.3 符号表达式的化简 MATLAB提供函数实现对符号计算的提供函数实现对符号计算的结果进行化简和替换，如：结果进行化简和替换，如： 因式分解；因式分解； 同类项合并；同类项合并； 符号表达式展开、化简；符号表达式展开、化简； 通分、符号替换。通分、符号替换。工具： 1函数函数collect() 2函数函数expand()3函数函数horner() 4函数函数factor() 5函数函数simplify
7、()6函数函数simple() 1函数collect() 函函数数collect()将将符符号号表表达达式式中中同同类类项项合并，其具体使用方法如下：合并，其具体使用方法如下： R=collect(S)：将将表表达达式式S中中的的相相同同次次幂的项合并；幂的项合并； R=collect(S,v)：将将表表达达式式S中中变变量量v的相同次幂的项合并。的相同次幂的项合并。例： z=sym(2*x2+3*x2+9*x)z =2*x2+3*x2+9*x collect(z)ans =5*x2 + 9*x2函数expand() 函函数数expand()将将符符号号表表达达式式进进行行展展开，其具体使用方
8、法如下：开，其具体使用方法如下： R = expand(S)：将将表表达达式式S中中的的各各项项进行展开。进行展开。例： u=sin(2*x)u =sin(2*x) expand(u)ans =2*cos(x)*sin(x)3函数horner() 函数horner()将符号表达式转换成嵌套形式，其具体使用方法如下： R = horner(S)：将符号多项式矩阵S中的每个多项式转换成它们的嵌套形式。4函数factor() 函函数数factor()对对符符号号多多项项式式进进行行因因式式分解，其具体使用方法如下：分解，其具体使用方法如下： R=factor(X) 如如果果X是是一一个个多多项项式式
9、或或多多项项式式矩矩阵阵，该该函函数数将将X表表示示成成低低阶阶多多项项式式相相乘乘的的形形式式；如如果果X不不能能分分解解成成有有理理多多项项式式乘乘积积的的形形式式，则返回则返回X本身。本身。例： t=x4-1t =x4 - 1 factor(t)ans =(x - 1)*(x + 1)*(x2 + 1)5函数simplify() 函函数数simplify()将将符符号号表表达达式式按按一一定定规则简化，其具体使用方法如下：规则简化，其具体使用方法如下： R= simplify(S)：该该函函数数可可应应用用于于包包含含和和式式、方方根根、分分数数的的乘乘方方、等等符符号号表表达达式式矩阵
10、矩阵S。例： r=sin(x)*cos(x)r =cos(x)*sin(x) simplify(r)ans =sin(2*x)/26函数simple() 该该函函数数是是将将符符号号表表达达式式表表示示成成最最简简形形式式，其具体使用方法如下：其具体使用方法如下： r = simple(S) 用用几几种种不不同同的的算算术术简简化化规规则则对对符符号号表表达达式进行简化，并显示中间过程；式进行简化，并显示中间过程；7.4 符号微积分 1符号表达式的极限符号表达式的极限 2符号表达式的微分符号表达式的微分 3符号表达式的积分符号表达式的积分 4级数求和级数求和 5泰勒级数泰勒级数1符号表达式的极
11、限符号表达式的极限 函函数数limit()求求表表达达式式的的极极限限，其其具具体体用法如下：用法如下： limit(F,x,a)：求求当当xa时时，符符号号表表达达式式F的极限；的极限； limit(F,a)：求求符符号号表表达达式式F的的默默认认自自变变量趋近于量趋近于a时的极限；时的极限； limit(F)：求求符符号号表表达达式式F的的默默认认自自变变量量趋近于趋近于0时的极限；时的极限； limit(F,x,a,right)或或limit(F,x,a,left)：分分别别求求取取符符号号表表达达式式F的右极限和左极限。的右极限和左极限。例： y=2*sin(x)/xy =(2*sin
12、(x)/x limit(y,x,0)ans =2 函函数数diff() 求求表表达达式式的的微微分分，其其具具体体用法如下：用法如下： diff(S,v)：将将符符号号“v”视视作作变变量量，对对符号表达式或矩阵符号表达式或矩阵S求微分；求微分； diff(S,n)：将：将S中的默认变量求中的默认变量求n阶微分；阶微分； diff(S,v,n)：将将符符号号“v”视视作作变变量量，对符号表达式或矩阵对符号表达式或矩阵S求求n阶微分。阶微分。2符号表达式的微分 函函数数int()求求表表达达式式的的积积分分，其其具具体体用用法如下：法如下： R = int(S)：用用默默认认变变量量求求符符号号
13、表表达达式式S的不定积分；的不定积分； 3符号表达式的积分 R = int(S,v)：用用符符号号标标量量v作作为为变变量量求求符号表达式符号表达式S的不定积分值；的不定积分值； R = int(S,a,b)：符符号号表表达达式式采采用用默默认认变变量；量； R = int(S,v,a,b)：符符号号表表达达式式采采用用符符号号标标量量v作作为为标标量量，求求当当v从从a到到b时时，符符号号表表达式达式S的定积分值。的定积分值。 函函数数symsum()来来对对符符号号表表达达式式进进行行求和，其具体用法如下：求和，其具体用法如下： r = symsum(s,a,b)：求求符符号号表表达达式式
14、s中默认变量从中默认变量从a到到b的有限和；的有限和； r = symsum(s,v,a,b)：求求符符号号表表达达式式s中变量中变量v从从a到到b的有限和。的有限和。4级数求和例： y=1/n2y =1/n2symsum(y,1,inf)ans =pi2/6 函函数数taylor()对对符符号号表表达达式式进进行行泰泰勒勒级级数数展展开，其具体用法如下：开，其具体用法如下： r = taylor(f)：返回：返回f在变量等于在变量等于0处的处的5阶泰阶泰勒展开式；勒展开式； r =taylor(f,n,v)：符符号号表表达达式式f以以符符号号标标量量v作为自变量，返回作为自变量，返回f的的n
15、-1阶泰勒展开式。阶泰勒展开式。 r = taylor(f,n,v,a)：返回符号表达式：返回符号表达式f在在v = a处的处的n-1阶泰勒展开式。阶泰勒展开式。5泰勒级数泰勒级数例： y=cos(x); taylor(y,5) ans = x4/24 - x2/2 + 17.5 符号方程求解1代数方程代数方程2微分方程微分方程 符号方程可以分为代数方程和微分方程。符号方程可以分为代数方程和微分方程。代代数数方方程程可可以以细细分分为为线线性性方方程程和和非非线线性性方方程程两类；两类；微微分分方方程程可可以以细细分分为为常常微微分分方方程程和和偏偏微微分分方方程。程。1代数方程 函函数数so
16、lve()求求解解代代数数方方程程，其其具具体体用用法如下：法如下： g = solve(eq)：其其中中eq可可以以是是符符号号表表达达式式或或不不带带等等号号的的字字符符串串，该该函函数数求求解解方方程程eq=0； g = solve(eq,var)：求求解解方方程程eq=0，其自变量由参数，其自变量由参数var指定；指定； g = solve(eq1,eq2,eqn)：求求解解由由符符号号表表达达式式或或不不带带等等号号的的字字符符串串eq1，eq2，eqn组成的方程组；组成的方程组；g=solve(eq1,eq2,eqn,var1,var2,varn)：求求解解由由符符号号表表达达式式或或不不带带等等号号的的字字符符串串eq1，eq2，eqn组组成成的的方程组。方程组。2微分方程 函函数数dsolve()求求解解微微分分方方程程，其其具具体体用法如下。用法如下。r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)：求求由由eq1，eq2指指定定的的常微分方程组的符号解；常微分方程组的符号解；r = dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)：求由：求由eq1，eq2指定的指定的常微分方程组的符号解。常微分方程组的符号解。END
