《概率论与数理统计：3-1多维随机变量及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：3-1多维随机变量及其分布（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.13.1多维随机变量多维随机变量一一. .二维随机变量二维随机变量二二. .二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数三三. .二维随机变量及其分布律二维随机变量及其分布律在实际问题中在实际问题中, 试验结果有时需要同试验结果有时需要同时用时用两个或两个以上两个或两个以上的的 r.v.来描述来描述. 例如例如 用温度和风力来描述天气情况用温度和风力来描述天气情况. 例如通过对含碳、硫、磷量的测定来研究例如通过对含碳、硫、磷量的测定来研究需考虑多维需考虑多维 r.v.及其取值规律及其取值规律多维分布多维分布.钢的成分钢的成分. 要研究这些要研究这些 r.v.之间的联系之间的联系, 就就为什
2、么要研究多维随机变量？为什么要研究多维随机变量？1. 定义定义请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 . .图示图示定义定义一一. .二维随机变量二维随机变量2. 联合分布函数联合分布函数二二. .二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数1. 定义定义 几何意义：几何意义：分布函数分布函数F(x,yF(x,y) )表表示随机点示随机点(X,Y)(X,Y)落在落在阴影区域中的概率阴影区域中的概率2. 分布分布函数函数的性质的性质且有且有归归一一性性单单调调不不减减 (x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)右右连连续续矩矩形形不不等等式式证明证明反之，任一满足上述
3、四个性质的二元函数反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)F(x, y)都都可以作为某个二维随机变量可以作为某个二维随机变量(X, Y)(X, Y)的分布函数。的分布函数。解解: :1)1)求常数求常数A A，B B，C C。 2)2)求求 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对所取的可能值是有限对或无限可列多对, ,则则称称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量. .1.二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义定义 2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 三三. .二维随机变量及其分布律二维随机变
4、量及其分布律二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示的分布律也可表示为为联合分布联合分布律律的性质的性质且由且由乘法公式得乘法公式得例例2解解故故 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球, ,依次标有数字依次标有数字 1, 2, 2, 从从中任取一个中任取一个, , 不放回袋中不放回袋中, ,再任取一个再任取一个, ,设每次取球设每次取球时时, ,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等, ,以以 X , Y 分别记第一分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字次和第二次取到的球上标有的数字, ,求求 ( X, Y ) 的的分布律与
5、分布函数分布律与分布函数. .解解( X, Y ) 的可能取为的可能取为下面求分布函数下面求分布函数. .所以所以( X ,Y ) 的分布为的分布为说明说明离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为1. 定义定义 3.3.二维连续型随机变量及其概率密度二维连续型随机变量及其概率密度2. 性质性质反之，具有反之，具有这这两个性质的二元函两个性质的二元函数数f (x, y)，必是某个二维连续型必是某个二维连续型随机变量的密度函数。随机变量的密度函数。表示介于表示介于 f (x, y)和和 xOy 平面之间的空间区域的全平面之间的空间区域的全部体积等于部体积等于1.1. 3. 说明说明例例4
6、 4解解(2) (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标, ,即有即有1. 二维均匀分布二维均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域, ,其面积为其面积为 S, ,若若二维随机变量二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度具有概率密度则称则称 ( X , Y ) 在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布. .二维均匀分布和二维正态分布二维均匀分布和二维正态分布易见，若（易见，若（X X，Y Y）在区域在区域D D上上( (内内) ) 服服从均匀分布，对从均匀分布，对D D内任意区域内任意区域G G，有有例例5 5 已知随机变量已知随机变量 ( X , Y ) 在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布, ,试求试求( X , Y )的概率密度及分布函数的概率密度及分布函数, ,其中其中D 为为 x 轴轴, ,y 轴及直线轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域 . .解解所以所以 ( X , Y )分布函数为分布函数为2. 二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度二维正态分布的图形二维正态分布的图形
