微积分课件：7-3 体积

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1、 7.3 体体 积积1小结小结 思考题思考题 作业作业已知已知平行截面面积平行截面面积旋转体的体积旋转体的体积7.3 体体 积积第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用求立体的体积求立体的体积 7.3 体体 积积2用一组垂直于用一组垂直于x轴的平面去截它轴的平面去截它,立体体积立体体积设空间某立体由一曲面和垂直于设空间某立体由一曲面和垂直于x轴的两平面轴的两平面得到彼此平行的截面得到彼此平行的截面.A(x)表示过点表示过点x且垂直于且垂直于x轴的轴的截面面积截面面积, A(x)为为采用微元法采用微元法体积微元体积微元x的已知连续函数的已知连续函数.一、已知一、已知平行截面面积求立体的体积平行截

2、面面积求立体的体积x = a, x = b围成围成. 7.3 体体 积积3解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程例例 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立体的计算这平面截圆柱体所得立体的体积体积.垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形.底底高高截面面积截面面积立体体积立体体积(圆柱楔圆柱楔) 7.3 体体 积积4作一个垂直于作一个垂直于y轴轴的截面是的截面是截面长为截面长为2x, 宽为宽为矩形矩形截面面积截面面积 可否选择可否选择y作积分变量作积分变量? 7.3 体体 积积5解解

3、 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为:截面面积截面面积立体体积立体体积垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形例例 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积. 7.3 体体 积积6解解 取坐标系如图取坐标系如图.设有一截锥体设有一截锥体, 其高为其高为h, 上、下底均为椭圆上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为椭圆的轴长分别为2a 、 2b和和2A 、 2B, 求这截锥体求这截锥体的体积的体积.垂直于垂直于x轴的截面为椭圆轴的截面为椭圆截面截面(椭圆椭圆)面积面积 7.

4、3 体体 积积7立体体积立体体积截面截面(椭圆椭圆)面积面积设有一截锥体设有一截锥体, 其高为其高为h, 上、下底均为椭圆上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为椭圆的轴长分别为2a 、 2b和和2A 、 2B, 求这截锥求这截锥体的体积体的体积. 7.3 体体 积积8圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积二、旋转体的体积旋转体旋转体旋转体旋转体这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴由一个平面图形绕由一个平面图形绕这平面内一条直线这平面内一条直线旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体. 7.3 体体 积积9旋转体的体积旋转体的体积采用微元法采用微元法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线 直线直线

5、x = a, x = b及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴轴旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体, 体积为多少体积为多少?取积分变量为取积分变量为x,取以取以dx为底的为底的小曲边梯形小曲边梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的体积微元体积微元(1)在在a, b上任取小区间上任取小区间 7.3 体体 积积10解解体积微元体积微元例例取积分变量为取积分变量为x,oxy 7.3 体体 积积11如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体, 体积为多少体积为多少?(2)直线直线y = c, y = d 及及 y 轴所围成的曲边梯形

6、绕轴所围成的曲边梯形绕 y 轴轴体积微元体积微元旋转体的体积旋转体的体积 7.3 体体 积积12解解 体积微元体积微元求求星形线星形线绕绕y轴旋转轴旋转例例构成旋转体的体积构成旋转体的体积.对对称称性性因为因为所以所以 7.3 体体 积积13或利用或利用参数方程参数方程用换元法用换元法求求星形线星形线绕绕y轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积. 7.3 体体 积积14解解 两曲线的交点为两曲线的交点为(0,0)和和(1,1).绕绕y轴旋转轴旋转旋转所得旋转体的体积旋转所得旋转体的体积. 7.3 体体 积积15解解例例 求摆线求摆线 y = 0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴

7、、y轴及绕直线轴及绕直线y = 2a绕绕 x轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积变量代换变量代换旋转而成的旋转体的体积旋转而成的旋转体的体积.与直线与直线 7.3 体体 积积16绕绕 y轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积可看作平面图形可看作平面图形OABC绕绕 y轴轴面图形面图形OBC绕绕 y轴轴旋转所得旋转所得旋转所得的旋转体积旋转所得的旋转体积V2与平与平摆线摆线的旋转体积的旋转体积V1之差之差. 7.3 体体 积积17解解例例求摆线求摆线 y = 0所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线y = 2a旋转而成的旋转体旋转而成的旋转体的体积的体积.与直线与直线 7.3 体体 积积18柱壳体积

8、柱壳体积柱面面积柱面面积说明说明Vy也可按也可按柱壳法柱壳法( (套筒法套筒法) )求出求出 7.3 体体 积积19偶函数偶函数奇函数奇函数化为化为对称区间对称区间对称性对称性化为化为全角全角 7.3 体体 积积20计算这个积分有两种方法计算这个积分有两种方法:例例所围的平面图形绕所围的平面图形绕 y轴轴旋转旋转, 求所成旋转体的体积求所成旋转体的体积.解解oxy法一法一(1)得得代入代入(2)得得代入代入切片法切片法积积分分较较繁繁 7.3 体体 积积21例例所围的平面图形绕所围的平面图形绕 y轴轴旋转旋转, 求所成旋转体的体积求所成旋转体的体积.解解oxy法二法二取取“微元微元”是是“薄壁

9、圆筒薄壁圆筒”,柱壳法柱壳法筒的壁厚为筒的壁厚为dx, 高为高为积分较简单积分较简单 7.3 体体 积积22解解 取坐标如图所示取坐标如图所示.圆的方程为圆的方程为:oxy R 和下半圆下的曲边梯形和下半圆下的曲边梯形两个旋转体的体积之差两个旋转体的体积之差.例例所求圆环体可看成是所求圆环体可看成是上半圆下的上半圆下的曲边梯形曲边梯形绕绕x轴轴旋转一周旋转一周.求半径为求半径为r的圆绕同平面内圆外一条直线旋转成的圆绕同平面内圆外一条直线旋转成的圆环体的体积的圆环体的体积. 设圆心到直线的距离为设圆心到直线的距离为R 7.3 体体 积积23 对称性对称性四分之一圆面积四分之一圆面积 7.3 体体

10、 积积24下方、下方、x轴上方的无界区域轴上方的无界区域.(1) 求求区域区域D绕绕x轴旋转一周所成旋转体的体积轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(2) 当当a为何值时为何值时, V(a)最小最小? 并求此最小值并求此最小值.考研数学考研数学(二二)11分分解解 (1) 所求旋转体的体积为所求旋转体的体积为 7.3 体体 积积25下方、下方、x轴上方的无界区域轴上方的无界区域.(1) 求求区域区域D绕绕x轴旋转一周所成旋转体的体积轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(2) 当当a为何值时为何值时, V(a)最小最小? 并求此最小值并求此最小值.解解 (2)旋转体的体积为旋转体的体积为令令得得

11、从而从而V(a)单调减少单调减少;V(a)单调增加单调增加,所以所以V最小最小. 最小体积为最小体积为考研数学考研数学(二二)11分分 7.3 体体 积积26(1) 求求S1及及S2的方程的方程;考研数学考研数学(一一)11分分解解 (1)(2) 求求S1与与S2之间的立体体积之间的立体体积.椭球面椭球面S1的方程为的方程为设切点为设切点为(x0, y0),在在(x0, y0)处的切线处的切线方程为方程为切线方程为切线方程为圆锥面圆锥面S2的方程为的方程为即即 7.3 体体 积积27考研数学考研数学(一一)11分分解解 (2)(2) 求求S1与与S2之间的立体体积之间的立体体积.S1与与S2之

12、间的体积等于一个底面半径为之间的体积等于一个底面半径为高为高为3的锥体体积的锥体体积与部分椭球体体积与部分椭球体体积 V 之差之差,故所求体积为故所求体积为 7.3 体体 积积28所围成的平面区域所围成的平面区域;所围成的平面区域所围成的平面区域;其中其中(1)试求试求D1绕绕x轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积V1;试求试求D2绕绕y轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积V2;(2)问当问当a为何值时为何值时,V1+ V2取得最大值取得最大值? 试求此最大值试求此最大值.考研数学考研数学(三三)7分分直线直线解解 (1)(2)(唯一驻点唯一驻点)最大值最大值 7.3 体体 积

13、积29考研数学考研数学(一一)10分分过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线的切线的切线,该切线与曲线该切线与曲线及及x轴围成平面图形轴围成平面图形D.(1) 求求D的面积的面积A;(2) 求求D绕直线绕直线旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积V.解解 设切点的横坐标为设切点的横坐标为x0,则曲线则曲线在点在点处的切线方程是处的切线方程是由该切线过原点知由该切线过原点知从而从而所以该切线的方程为所以该切线的方程为平面图形平面图形D的面积的面积(6分分)(4分分) 7.3 体体 积积30(2) 求求D绕直线绕直线旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积V.切线切线与与x轴及直线轴及

14、直线所围成的三角形绕直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为旋转所得的圆锥体积为曲线曲线与与x轴及直线轴及直线所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为旋转所得的旋转体体积为因此所求旋转体的体积为因此所求旋转体的体积为考研数学考研数学(一一)10分分 7.3 体体 积积31三、小结三、小结旋转体的体积旋转体的体积已知平行截面面积已知平行截面面积, 求立体的体积求立体的体积绕绕 x 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周切片法切片法柱壳法柱壳法 7.3 体体 积积32解解设平面图形设平面图形A由由所确定所确定,求图形求图形A绕直线绕直线 x = 2旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.思考题思考题若选若选 y 为积分变量为积分变量, 则则 切片法切片法 7.3 体体 积积33选选 x 为积分变量为积分变量.旋转体的体积为旋转体的体积为解解设平面图形设平面图形A由由所确定所确定,求图形求图形A绕直线绕直线 x = 2旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.柱壳法柱壳法 7.3 体体 积积34作业作业习题习题7.3 (257页页)