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1、第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑第第2课时命题及其关系、充要条件课时命题及其关系、充要条件1理解命题的概念2了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义请注意以选择题或填空题为主要题型,一般为容易题或中等题,近两年的新课标高考题多为对充要条件的考查,少数涉及到四种命题及其真假的判断1命题用语言、符号或式子表达的,可以 的陈述句叫做命题2四种命题及其关系(1)原命题为“若p则q”,则它的逆命题为;否命题为;逆否命题为.(2)原命题与它的等价;逆命题与它的 等价判断真假若q则p若綈p则綈q若綈q则綈p逆否命题否
2、命题3充分条件与必要条件(1)若 ,则p是q的充分非必要条件(2)若,则p是q的必要非充分条件(3)若,则p是q的充要条件(4)若,则p是q的非充分非必要条件1判断下列说法是否正确(打“”或“”)(1)语句“2a10”是命题(2)语句“2 0162 015”是真命题(3)命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”(4)已知集合A,B,则ABAB的充要条件是AB.(5)p是q的充分不必要条件等价于綈q是綈p的充分不必要条件答案(1)(2)(3)(4)(5)2(课本改编题)命题“若a0,则一元二次方程x2xa0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A0B
3、2C4 D不确定答案B解析当a0,所以方程x2xa0有实数,故原命题为真;根据原命题与逆否命题真假一致,可知其逆否命题为真;逆命题为:“若方程x2xa0有实根,则a0”是“|a|0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解 析 因 为 |a|0a0或 a0|a|0.但|a|0/a0,所以a0是|a|0的充分不必要条件故选A.4(2014安徽理)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析ln(x1)0,0x11,1x0.x0是1x0的必要不充分条件,故选B.5写出下列命题的否定形式
4、和否命题:(1)若xy0,则x,y中至少有一个为零;(2)若ab0,则a,b中最多有一个大于零;(3)若四边形是平行四边形,则其相邻两个内角相等;(4)有理数都能写成分数答案略解析(1)否定形式:若xy0,则x,y都不为零否命题:若xy0,则x,y都不为零(2)否定形式:若ab0,则a,b都大于零否命题:若ab0,则a,b都大于零(3)否定形式:若四边形是平行四边形,则它的相邻内角不都相等否命题:若四边形不是平行四边形,则它的相邻内角不都相等(4)否定形式:有理数不都能写成分数否命题:非有理数不都能写成分数例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假(1)面积相等的两个三角
5、形是全等三角形;(2)若q1,则方程x22xq0有实根;(3)若x2y20,则实数x,y全为零题型一题型一 四种命题及其真假的判定四种命题及其真假的判定【解析】(1)逆命题:全等三角形的面积相等真命题否命题:面积不相等的两个三角形不是全等三角形真命题逆否命题:两个不全等的三角形的面积不相等假命题(2)逆命题:若方程x22xq0有实根,则qb,q:ab1;(2)p:ab,q:lgalgb;(3)p:ab,q:2a2b;(4)p:ab,q:a2b2.题型二题型二 充要条件的判定充要条件的判定【解析】(1)pq,p q,p是q的充分不必要条件(2)qp,p q,p是q的必要不充分条件(3)pq,且q
6、p,p是q的充要条件(4)p q,q p,p是q的既不充分也不必要条件【答案】(1)充分不必要条件;(2)必要不充分条件;(3)充要条件;(4)既不充分也不必要条件探究2判定充要条件应注意:(1)弄清条件p和结论q分别是什么?(2)尝试pq,qp.(3)一定要熟悉命题内容涉及到的知识判断下列各题中p是q的什么条件?(1)p:x22x30,q:x1或x2;(3)在ABC中,p:AB,q:sinAsinB;(4)非空集合A,B中,p:xAB,q:xB.思考题思考题2【解析】(1)p:x1或x3,pq,但q/ p,故p是q的充分不必要条件(2)p/ q,qp,p是q的必要不充分条件(3)在ABC中,
7、ABsinAsinB,反之,若sinAsinB,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180),所以只有AB.故p是q的充要条件(4)显然xAB不一定有xB,但xB一定有xAB,所以p是q的必要不充分条件【答案】(1)充分不必要条件;(2)必要不充分条件;(3)充要条件;(4)必要不充分条件例3已知p:2x10,q:x22x1m20(m0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围【解析】方法一:由q:x22x1m20,得1mx1m.綈q:Ax|x1m或x0p:2x10,綈p:Bx|x10或x9.m9.故实数m的取值范围是9,)方法二:綈p是綈q的必要而不充分条件,p是q的充分
8、而不必要条件由q:x22x1m20,得1mx1m.q:Qx|1mx1mp:Px|2x10【答案】9,)探究3(1)充要条件可以熔入到数学各个分支题型灵活多变,但万变不离其宗,只要紧扣定义,结合其他知识,便可迎刃而解(2)本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键思考题思考题3【解析】因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合,可得a0
9、或a1.观察选项,根据集合间关系a|a1故选A.【答案】A1命题真假的判断(1)对于一些简单命题,若判断其为真命题需推理证明若判断其为假命题只需举出一个反例(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性,判断其逆否命题的真假2充分、必要条件的判定方法(1)定义法(2)传递法(3)集合法:若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即Ax|p(x),Bx|q(x),则若AB,则p是q的充分条件;若BA,则p是q的必要条件;若AB,则p是q的充要条件(4)等价命题法:利用原命题和逆否命题是等价的这个结论,有时可以准确快捷地得出结果,是反证法的理论基础1(2014
10、陕西)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A真,假,真 B假,假,真C真,真,假 D假,假,假答案B解析因为原命题为真,所以它的逆否命题为真;若|z1|z2|,当z11,z21时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是假的,故否命题也是假的故选B.2命题“若x21,则1x1”的逆否命题是()A若x21,则x1或x1B若1x1,则x21或x1D若x1或x1,则x21答案D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后,再交换位置,注意“1x1”的否定是“x1或x1”3设x,yR,则“x2且y2”是“x2y24”
11、的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A4设命题p:x2 015;命题q:x2 016,则綈p是綈q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析p:x2 015;q:x2 016,綈p:2 015x2 015,綈q:2 016x2 016.对任意的x2 015,2 015,都有x2 016,2 016,选A.5(2014湖北)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得AC,BUC”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析“存在集合C使得AC,BUC”“AB”故选C.