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1、一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换三、小结三、小结 思考题思考题第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换机动 目录 上页 下页 返回 结束 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念阵的秩的概念, ,并提出求秩的有效方法再并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内
2、容丰富，难变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大度较大. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是解得于是解得（2）机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用
3、到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）机动 目录 上页 下页 返回 结束 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅
4、仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换方程(1) 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换:二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称为统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,
5、且变换类且变换类型相同型相同 同样可定义矩阵的同样可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换机动 目录 上页 下页 返回 结束 等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价机动 目录 上页 下页 返回 结束 用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 +机动 目录 上页 下页 返回
6、 结束 4 00000310000111041211B= = - - - -机动 目录 上页 下页 返回 结束 .54都称为都称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵和和矩阵矩阵BB特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2）、每个）、每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元B4B5 目录 上页 下页 返回 结束 .1 5的其他元素都为零的其他元素都为零列列，且这些非零元所在的，且这些非零元所
7、在的零行的第一个非零元为零行的第一个非零元为即非即非还称为还称为行最简形矩阵行最简形矩阵，行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 B., 和行最简形和行最简形变换把它变为行阶梯形变换把它变为行阶梯形总可经过有限次初等行总可经过有限次初等行对于任何矩阵对于任何矩阵Am n注意注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如，例如，机动 目录 上页 下页 返回 结束 特点特点： 所有
8、与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、小结1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换三、小三、小 结结机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为思思 考考 题题机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答解解思思 考考 题题 解解 答答机动 目录 上页 下页 返回 结束
