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1、首页习题课等比数列习题课首页课前篇自主预习课堂篇合作学习首页课前篇自主预习课堂篇合作学习一二一、等比数列的定义【问题思考】1.填空:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.定义表达式为_.2.做一做:已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1,试证明an+1是等比数列.证明:由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),首页课前篇自主预习课堂篇合作学习一二二、等比数列的前n项和公式【问题思考】1.填空:首页课前篇自主预习课堂篇合作学习一二2.除了教材中推导等比数列前n项和
2、的方法,你还能想到什么方法?提示:除了书上用到的错位相减法之外,还有以下方法可以求等比数列的前n项和.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习一二(3)拆项法Sn=a1+a2+a3+an=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-2)=a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1),Sn=a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+q(Sn-an),首页课前篇自主预习课堂篇合作学习一二3.做一做:等比数列an的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()解析:设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此
3、时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q1.答案:C 首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例1】已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.思路分析:根据条件可设出其中的两个数,再通过一些条件表示出另两个数,然后求解.解:设前两个数分别为a,b,则第三、四个数分别为36-b,37-a,首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,
4、通过列方程(组)求解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想,简化运算的过程.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测变式训练变式训练1已知Sn为等比数列an的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,则项数n=.解析:由题意得 =93,a1qn-1=48,又因为q=2,可解得n=5.答案:5首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测错位相减法求和错位相减法求和【例2】已知数列an的前n项和Sn=-n
5、2+2kn(kN+),且Sn的最大值为4.(1)确定常数k的值,并求数列an的通项公式an;思路分析:(1)利用二次函数的性质及配方法来研究最值;(2)利用错位相减法求Tn,然后利用作差法比较大小.解:(1)因为Sn=-(n-k)2+k2(kN+),所以当n=k时,Sn取得最大值k2.依题意得k2=4,又kN+,所以k=2.从而Sn=-n2+4n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+4n)-(n-1)2+4(n-1)=5-2n.又a1=S1=3也适合上式,所以an=5-2n(nN+).首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探
6、究三当堂检测反思感悟错位相减法求和是近些年高考的一大热点,对于形如Cn=anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)形式的求和均可用错位相减法.运用此法时,一定要明确谁与谁对应以及项数、角标等问题,该方法虽不难理解,但对运算能力要求较高,并且最后要注意检验,简单的操作方法是赋特殊值法.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测构造等比数列求通项公式构造等比数列求通项公式 思路分析:(1)配常数;(2)取倒数;(3)取对数. 解:(1)由an+1=2an+1,可得
7、an+1+1=2(an+1), an+1是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列.an+1=(a1+1)2n-1=2n,即an=2n-1.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测反思感悟有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列.常见的构造方法有:(1)取倒数法;(2)配常数法;(3)取对数法;(4)配函数法等.首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测首
8、页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测答案:C 首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测2.已知等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,2n-1lg an,的前n项和Sn等于()A.n2nB.(n-1)2n-1-1C.(n-1)2n+1D.2n+1解析:等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4a2n-4=102n, =102n,即an=10n,2n-1lg an=2n-1lg 10n=n2n-1,Sn=1+22+322+n2n-1,2Sn=12+222+323+n2n,-,得1-Sn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n=(1-n)2n-1,Sn=(n-1)2n+1.答案:C首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测3.设等比数列an的前n项和为Sn,且a5=S5,则S2 018=.解析:根据数列前n项和的定义知S5=a1+a2+a3+a4+a5=a5,故a1+a2+a3+a4=0,即a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)=0,从而1+q=0,q=-1,所以这个等比数列的相邻两项的和都是0,所以S2 018=0.答案:0首页课前篇自主预习课堂篇合作学习探究一探究二探究三当堂检测
