《122可分离变量的微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《122可分离变量的微分方程（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 200612.2 可分离变量的方程可分离变量的方程Separable Differential Equations四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006一阶微分方程一阶微分方程一般形式：一般形式：特殊一点的形式：特殊一点的形式：如如如如四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006的的几何意义：方向场（斜率场）几何意义：方向场（斜率场）例如，例如，微分方程微分方程表示：表示：曲线曲线 y = f(x) 在点在点(x,
2、y)处的处的切线斜率为切线斜率为 2xy四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006方向场与积分曲线方向场与积分曲线四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006方向场与积分曲线方向场与积分曲线（大范围）（大范围）四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006方向场与积分曲线方向场与积分曲线（局部）（局部）四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006一阶微分方程一阶微分方程的解的的解的存在性存在性存在性存在性及及唯一
3、性唯一性唯一性唯一性设设函数函数 f(x, y) 在矩形区域在矩形区域内内连续，则初值问题连续，则初值问题在在 x0 的某个邻域内至少有一个解：的某个邻域内至少有一个解：y = y(x)设偏导数设偏导数 在矩形区域内连续，在矩形区域内连续，则这个解是唯一的。则这个解是唯一的。了解了解存在性存在性唯一性唯一性四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006即便是一阶微分方程即便是一阶微分方程也没有一种统一求解的方法。也没有一种统一求解的方法。微分方程必须根据不同的类型，微分方程必须根据不同的类型，用不同的方法求解。用不同的方法求解。所以判别微分方程的类型
4、十分重要。所以判别微分方程的类型十分重要。下面几节将讨论几种常见类型的方程的解下面几节将讨论几种常见类型的方程的解法。法。四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006最简单的微分方程：最简单的微分方程：通解：通解：例如例如四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006可可分离变量的微分方程分离变量的微分方程分离变量：分离变量：积分：积分：通解：通解：隐式解隐式解四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006验：验：原原方程方程四川大学数学学院 徐小湛June 2
5、005http:/Revised March 2006可可分离变量的微分方程分离变量的微分方程分离变量：分离变量：四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006例例 1求通解：求通解：解解分离变量：分离变量：积分：积分：通解通解四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006方向场与积分曲线方向场与积分曲线四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006方向场与积分曲线方向场与积分曲线四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2
6、006例例 求求初值问题：初值问题：解解整理：整理：分离变量：分离变量：四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006积分：积分：通解：通解：四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006通解：通解：将将 x = 0, y = 1 代入：代入：2 = C特解：特解：微分方程的解是局部存在，唯一的微分方程的解是局部存在，唯一的双曲线双曲线四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006with(DEtools):wffc:=y(x)*(1+x2)*diff(y(x),
7、x)=x*(1+(y(x)2):DEplot(wffc,y(x),x=-2.2,y=-2.4,y(0)=-1,y(0)=1,y(0)=3,y(0)=2,linecolor=blue,red,blue,blue,color=blue,stepsize=0.01,scaling=constrained);一族双曲线一族双曲线四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006对一些不能分离变量的微分方程，可以作变对一些不能分离变量的微分方程，可以作变量替换将其化为可分离变量的方程。量替换将其化为可分离变量的方程。例例解方程：解方程：解解方程不能分离变量方程不能
8、分离变量令令 四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006原原方程化为：方程化为：可可分离变量分离变量分离变量：分离变量：积分：积分：四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006通解：通解：将将 x = 0, y = 1 代入通解：代入通解：特解：特解：四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006可分离变量的微分方程的应用可分离变量的微分方程的应用四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006指数模型指数模型 设某
9、一物质（人口、细菌、放射性元素）的总量设某一物质（人口、细菌、放射性元素）的总量 x 是时间的函数：是时间的函数： x = x(t) (未知未知) 已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻量成正比，且已知在时刻 t = 0 时，时，x(0) = x0 求总量函数求总量函数 x = x(t) x 的增长（减少）速度：的增长（减少）速度：四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻
10、成正比，且已知在时刻 t = 0 时，时，x(0) = x0建立微建立微分方程：分方程：增长模型增长模型减少模型减少模型同理同理The Law of Natural GrowthThe Law of Natural Decay四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006增长模型增长模型这是一个可分离变量的微分方程这是一个可分离变量的微分方程通解通解四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006将将 t = 0, x = x0 代入：代入：x0 = C特解：特解：指数增长指数增长 Exponential G
11、rowth同理同理指数减少指数减少 Exponential Decay四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006 plot(3*exp(0.3*x),x=0.6,thickness=3,view=0.6,0.18, ytickmarks=4);指数增长指数增长 Exponential Growth四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006plot(3*exp(-0.3*x),x=0.10,thickness=3,view=0.10,0.4, ytickmarks=4);指数减少指数减少 Expone
12、ntial Decay四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006例例 2铀的衰减铀的衰减指数减少模型指数减少模型自学自学四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006例例 3降落伞的运动降落伞的运动降落伞所受外力：降落伞所受外力：F = mg kv由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：F = ma建立微分方程：建立微分方程：外力分析：外力分析：重力：重力：mg阻力：阻力：kv四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006分离变量：分离变量：积分：积分：初始条件：初始
13、条件：v(0)=0四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006初始条件：初始条件：v(0)=0通解通解四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006初始条件：初始条件：v(0)=0将将 t=0, v=0 代入通解：代入通解：通解通解特解特解四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006初始条件：初始条件：v(0)=0特解特解分析：当分析：当 运动将趋于匀速。运动将趋于匀速。四川大学数学学院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006习题习题（可分离变量的方程）（可分离变量的方程）
