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1、Ch.5 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性分析分析1目录(1/1)目目 录录q概述概述q5.1 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义q5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理李雅普诺夫稳定性的基本定理q5.3 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析q5.4 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析q5.5 Matlab问题问题 q本章小结本章小结2Matlab问题问题(1/2)5.5 Matlab问题问题q本章涉及的计算问题为线性定常连续/离散系统的李雅普诺夫稳定性分析,主要为对称矩阵的定号性(正定性)判定、连续/离散李雅普诺夫矩阵代数方程求解等。本节除将讨论上述问题基于Matlab的
2、问题求解外,还将介绍进行线性定常系统结构性质分析的仿真平台软件lti_struct_analysis,以及该软件平台在系统实现、模型变换、3Matlab问题问题(2/2)状态能控性/能观性分析、能控/能观分解、能控/能观规范形以及李雅普诺夫稳定性分析等系统结构性问题中的应用。下面就分别介绍对称矩阵的定号性对称矩阵的定号性(正定性正定性)的判定的判定线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台台 4对称矩阵的定号性
3、对称矩阵的定号性(正定性正定性)的判定的判定(1/12)5.5.1 对称矩阵的定号性对称矩阵的定号性(正定性正定性)的判定的判定q判别对称矩阵的定号性(正定性)的方法主要有塞尔维斯特定理的判别法、矩阵特征值判别法和合同变换法。塞尔维斯特定理判别法主要用于判别正定和负定,难以判别非正定、非负定和不定;特征值判别法的计算量大且计算复杂,其计算精度和数值特性有局限性；而合同变换法计算简单,稍加改进可成为一个良好的判别矩阵定号性的数值算法。5对称矩阵的定号性对称矩阵的定号性(正定性正定性)的判定的判定(2/12)q编著者采用求解线性方程组的主元消元法的思想,编制了基于合同变换法的矩阵定号性(正定性)的
4、判定函数posit_def()。通过该函数可以方便地判定对称矩阵的定号性。q函数posit_def()的源程序为6对称矩阵的定号性对称矩阵的定号性(正定性正定性)的判定的判定(3/12)function sym_P=posit_def(P)m,n=size(P);if n1 for i=1:n-1 for j=i:n dia_v(j)=abs(P(j,j); end mindv,imin=max(dia_v(i:n); imin=imin+i-1; if mindv0 if imin i a=P(imin,:); P(imin,:)=P(i,:); P(i,:)=a; b=P(:,imin);
5、 P(:,imin)=P(:,i); P(:,i)=b; end for j=i+1:n x=P(i,j)/P(i,i); P(:,j)=P(:,j)-P(:,i)*x; P(j,:)=P(j,:)-P(i,:)*x;end end end end% 定义函数posit_def()% 取P矩阵的维数大小n% 若n1,则对P进行合同变换% 对非对角线元素进行消元% 取未消元的对角线绝对值% 求对角线绝对值的最大者% 将对角线绝对值最大值所在的行和列与当前行列交换% 对当前行列的非对角线元素进行消元 7对称矩阵的定号性对称矩阵的定号性(正定性正定性)的判定的判定(4/12)for i=1:n di
6、a_vect(i)=P(i,i);endmindv=min(dia_v); maxdv=max(dia_v);if mindv0 sym_P=positive;elseif mindv=0 sym_P=nonnegat; elseif maxdv0 sym_P=negative; elseif maxdv0,则矩阵正定% 若最小值0,则矩阵非负定% 若最大值0 % 若对称矩阵P的所有特征值大于0,则矩阵P正定, % 即系统为李雅普诺夫稳定的 disp(The system is Lypunov stable.)else % 否则为不稳定 disp(The system is not Lypun
7、ov stable.)end 19线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性(4/4)result_state=posit_def(P); % 用合同变换法判别矩阵P的正定性switch result_state(1:8) case positiv % 若矩阵P正定,则系统为李雅普诺夫稳定的 disp(The system is Lypunov stable. ) otherwise % 否则为不稳定 disp(The system is not Lypunov stable. )endMatlab程序程序m5-2执行结果执行结果如下。两种判别方法均表明所判定的系统为
8、李雅普诺夫稳定的。 The system is Lypunov stable.The system is Lypunov stable. 205.5.3 线性定常线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性离散系统的李雅普诺夫稳定性q与连续系统一样,Matlab提供了求解离散李雅普诺夫矩阵代数方程的函数dlyap()。基于此函数求解李雅普诺夫方程所得的解矩阵以及5.5.1介绍的判定矩阵正定性函数posit_def(),用户可以方便地判定线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性。与连续李雅普诺夫矩阵代数方程函数lyap()的调用格式类似,函数dlyap()的主要调用格式为:P=dlyap(G,Q)其中矩阵G和Q
9、分别为需求解的离散时间李雅普诺夫矩阵代数方程线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性(1/4)21GPG-P=-Q的已知矩阵,即输入条件;而P为该矩阵代数方程的对称矩阵解。qMatlab问问题题5-3 试在Matlab中判定例5-12的如下系统的李雅普诺夫稳定性。线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性(2/4)22线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性(3/4)Matlab程序程序m5-3如下。G=0 1; -0.5 -1;Q=eye(size(G,1);P=dlyap(G,Q);result_state=
10、posit_def(P);switch result_state(1:5) case posit disp(The system is Lypunov stable. ) otherwise disp(The system is not Lypunov stable. )end23线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性(4/4)Matlab程序程序m5-3执行结果执行结果如下。表明所判定的系统为李雅普诺夫稳定的。 The system is Lypunov stable. 245.5.4 线线性性定定常常系系统统的的状状态态空空间间模模型型的的结结构构性性分分析仿
11、真平台析仿真平台q根据第14章的线性定常系统的状态空间模型的建立及结构性分析的有关内容,为更好地进行相关问题的计算与仿真,编著者基于Matlab的图形用户界面(GUI)技术开发了一个线性定常系统状态空间模型的建立及结构性分析的图形仿真软件lti_struct_analysis。线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台(1/7)25q该软件的主要功能如下。1) 提供可以解决线性定常连续和离散系统的结构性分析问题的软件平台,涉及到的结构性分析问题有:状态能控性/能观性分析、李雅普诺夫稳定性分析、能控能观分解、状态空间模型建立与系统实现(包括约旦规
12、范形、能控规范I/II形和能观规范I/II形以及最小实现)、状态空间模型变换与状态空间模型规范形(包括约旦规范形、能控规范I/II形、能观规范I/II形、旺纳姆/龙伯格能控规范II形)、传递函数阵计算。线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台(2/7)262) 仿真对象可以是SISO的,也可为MIMO的。3) 界面友好,操作简便,使用方便。该仿真软件的运行界面如图5-11所示。用户只要在Matlab中将lti_struct_analysis.fig文件作为GUI文件打开并运行,就可以根据计算与仿真的要求,在图形界面上输入v仿真对象的状态空间模
13、型的各矩阵或传递函数模型的分子与分母多项式、v仿真参数(包括仿真任务选择、结构分解时的分解类型选择、系统实现和模型变换的规范形选择等),就可以非常方便地进行线性定常系统的模型建立和结构性分析的计算与仿真了。线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台(3/7)27线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台(4/7)图图5-11 仿真软件仿真软件lti_struct_analysis的运行界面图的运行界面图28qMatlab问题问题5-4 试使用软件lti_struct_analysis建立如下系统
14、的能控规范II形并分析李雅普诺夫稳定性。 q解解 运行仿真软件lti_ struct_analysis后,按Matlab问题5-4的要求,在GUI界面上的输入框内输入状态空间模型的各矩阵后,进行如下操作。1) 在选择框上选择“仿真任务”为“系统变换”,“规范形选择”为“能控规范II形”,单击“确定”键,则有如图5-12所示的仿真界面输出(运行结果界面),其中变换结果在“计算结果状态空间模型输出”的各输出框内。线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台(5/7)29线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台线性定常系统的状态空间模型的结构性分
15、析仿真平台(6/7)图图5-12 Matlab问题问题5-4的能控规范的能控规范II形变换的运行结果界面图形变换的运行结果界面图302) 在选择框上选择“仿真任务选择”为“李雅普诺夫稳定性判定”,单击“确定”键,则有如图5-13所示的仿真界面输出(部分截图),其中稳定性结果在“计算结果输出”的输出框内。线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台(7/7)图图5-13 Matlab问题问题5-4的李雅普诺夫稳定性分析的运行结果界面图的李雅普诺夫稳定性分析的运行结果界面图31本章小结本章小结q稳定性问题是控制系统分析和设计的主要问题,也是系统综合的
16、主要目标。本章讨论动力学系统的李亚普诺夫稳定性分析。它深刻刻画了动力学系统的内部运动状态的发展变化规律,是具有普适性的稳定性方法。5.1节首先给出了动力学系统的平衡态定义、稳定性的局部性概念,然后讨论了李亚普诺夫稳定、渐近稳定、不稳定等稳定性概念的定义。本章小结(1/3)325.2节首先讨论了基于非线性系统的线性化以及线性定常系统输入输出稳定性判据的李亚普诺夫第一法。然后从能量变化观点讨论了平衡态邻域的稳定性,着重讨论了基于李亚普诺夫函数的变化趋势分析的动力学系统稳定性分析的普适性方法-李亚普诺夫第二法。5.3节深入讨论了基于李亚普诺夫第二法的线性定常连续系统、线性时变连续系统和线性定常离散系统的稳定性分析,导出了相应的李亚普诺夫矩阵代数(或微分)方程。本章小结(2/3)335.4节针对3类非线性系统的李亚普诺夫稳定性分析问题,深入讨论了李亚普诺夫函数的构造及3种非线性系统稳定性分析方法：克拉索夫斯基法、变量梯度法与阿依捷尔曼法。最后,5.5节介绍了对称矩阵的定号性(正定性)判定、李雅普诺夫矩阵代数方程求解、线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析等问题的Matlab程序编制和计算方法,并开发了用于线性定常系统状态空间模型的建立及结构性分析的图形仿真软件lti_struct_analysis。本章小结(3/3)34
