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1、专题专题透透析析2019专题3数列数列030707目录微专题微专题0707 等差数列与等比等差数列与等比数列数列0808微专题微专题08 08 数列求和的方法数列求和的方法W网络网络构建构建WANGLUOGOUJIAN点击出答案 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE一、等差数列1.等差数列的通项公式是什么?如何表示等差数列中任意两项的关系?an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d.返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE2.等差数列的前n项和公式是什么?它具有什么特点?返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE请列举等差数列的通项与前n项和的一些重要性质.
2、Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE.返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE二、等比数列1.等比数列的通项公式是什么?如何表示等比数列中任意两项的关系?an=a1qn-1;an=amqn-m.返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE2.等比数列的前n项和公式是什么?具有什么特点?易忽略点是什么?返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE请列举等比数列的通项与前n项和的一些重要性质.返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE1.等差数列的单调性与什么有关?等比数列呢?等差数列的单调性只取决于公差d的正负,而等比数列的单调性既要考虑公比q的取值,又要考
3、虑首项a1的正负.返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE2.等差中项、等比中项的概念是什么?由此可以得到哪些重要的性质?返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE三、数列求和列举数列求和的方法,各自的注意点是什么?(1)公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式.返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE(2)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE(3)裂项相消法:返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHEN
4、GHE(4)错位相减法: 形如anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)的数列求和,一般分三步:巧拆分;构差式;求和.用错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项.返返 Z知识知识整合整合ZHISHIZHENGHE(5)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法.一般步骤:求通项公式;定和值;倒序相加;求和;回顾反思.返返K考向考向分析分析KAOXIANGFENXI从近三年的高考全国卷试题来看,数列一直是高考的热点,数列部分的题型、难度和分值都保持稳定,考查的重点主要是等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和、数列的通项、数列的前n项和等知识.考查内容比较全面,解题时要注意基本运算
5、、基本能力的运用,同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.一、选择题和填空题的命题特点等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式和前n项和等.命题特点A答案答案解析解析K考向考向分析分析KAOXIANGFENXI1.(2018全国卷理T4改编)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则S5=().A.-20B.-10C.10D.20-32答案答案解析解析K考向考向分析分析KAOXIANGFENXI2.(2018全国卷理T14改编)记Sn为数列an的前n项和.若
6、Sn=2an+1,则a6=.解析当n2时,Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1.又a1=S1=2a1+1,所以a1=-10,所以数列an是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1,a6=-26-1=-32.K考向考向分析分析KAOXIANGFENXI二、解答题的命题特点等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式.已知等差(比)数列的某些项或前几项的和,求其通项公式.等差(比)数列的判断与证明以及等差数列前n项和的最值问题等.解析
7、解析K考向考向分析分析KAOXIANGFENXIK考向考向分析分析KAOXIANGFENXI解析解析K考向考向分析分析KAOXIANGFENXI2.(2018全国卷理、文T17改编)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,a1+a2+a3=-15.(1)求an,Sn;(2)求数列|an|的前n项和Tn.K考向考向分析分析KAOXIANGFENXI解析解析K考向考向分析分析KAOXIANGFENXIK考向考向分析分析KAOXIANGFENXI规律方法1.等差数列和等比数列的判断方法:判断等差数列和等比数列,可以先计算特殊的几项,观察其特征,然后归纳出等差数列或者等比数列的结论.证明等差数
8、列和等比数列,应该首先考虑其通项公式,利用定义或者等差中项、等比中项来证明.利用通项公式和前n项和公式只是作为判断方法,而不是证明方法.把对数列特征的判定渗透在解题过程中,可以帮助学生拓展思维和理清思路.2.数列通项的求法:(1)公式法:等差数列通项公式;等比数列通项公式. K考向考向分析分析KAOXIANGFENXI规律方法K考向考向分析分析KAOXIANGFENXI规律方法 J基础基础检测检测JICHUJIANCE微专题微专题 0707 等差数列与等比数列等差数列与等比数列返B答案答案解析解析 J基础基础检测检测JICHUJIANCE答案答案解析解析 J基础基础检测检测JICHUJIANC
9、E2n答案答案解析解析3.如图所示的是“杨辉三角”数图,计算第1行的2个数的和,第2行的3个数的和,第3行的4个数的和,则第n行的n+1个数的和为.1 1 第1行12 1 第2行 1 3 3 1第3行1 46 4 1第4行解析1+1=2,1+2+1=4,1+3+3+1=8,1+4+6+4+1=16,则第n行的n+1个数的和为2n. J基础基础检测检测JICHUJIANCE解析解析 J基础基础检测检测JICHUJIANCEK考能考能探究探究KAONENGTANJIU能力能力1 1等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算3n-1典型例题典型例题答案答案解析解析【例1】设Sn为等比数列an的
10、前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.解析(法一)设等比数列an的公比为q(q0),则2S2=2(a1+a2)=2(a1+a1q),S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以3a1+a1+a1q+a1q2=4(a1+a1q),解得q=3,故an=3n-1.K考能考能探究探究KAONENGTANJIUK考能考能探究探究KAONENGTANJIU方法归纳 在等差(比)数列问题中,最基本的量是首项a1和公差d(公比q),在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这两个量,那么其他问题也就会迎刃而解,这就是解决等
11、差(比)数列问题的基本量的方法,其中蕴含着方程思想的运用.在应用等比数列前n项和公式时,务必注意公比q的取值范围.K考能考能探究探究KAONENGTANJIUB变式训练变式训练答案答案解析解析1.已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,则数列bn的前15项和为().A.152B.135C.80D.16K考能考能探究探究KAONENGTANJIUD答案答案解析解析K考能考能探究探究KAONENGTANJIU能力能力2 2等差、等比数列的基本性质等差、等比数列的基本性质C典型例题典型例题答案答案解析解析10K考能考能探究探究KAONENGTANJ
12、IU(2)因为an是等比数列,所以a8a13=a9a12=e,所以ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a1a20)10=10ln(a8a13)=10ln e=10.K考能考能探究探究KAONENGTANJIU 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质,整体考虑,减少运算量”的思想.方法归纳K考能考能探究探究KAONENGTANJIUn(2n-1)变式训练变式训练答案答案解析解析1.已
13、知等比数列an满足an0,且a3a2n-3=22n(n2),则当n1时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a2n-1=.K考能考能探究探究KAONENGTANJIU答案答案解析解析K考能考能探究探究KAONENGTANJIU能力能力3 3等差、等比数列的判断与证明等差、等比数列的判断与证明典型例题典型例题解析解析K考能考能探究探究KAONENGTANJIUK考能考能探究探究KAONENGTANJIU方法归纳K考能考能探究探究KAONENGTANJIU变式训练变式训练解析解析记Sn为等比数列an的前n项和,已知a3=-8,S3=-6.(1)求数列an的通项公式;(2)求Sn,并证
14、明对任意的nN*,Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列.K考能考能探究探究KAONENGTANJIUK考能考能探究探究KAONENGTANJIU能力能力4 4典型例题典型例题解析解析K考能考能探究探究KAONENGTANJIUK考能考能探究探究KAONENGTANJIU 解这种题目的一般方法是用“退位相减法”消去Sn(或者an),得到数列an的递推公式(或者是数列Sn的递推公式),进而求出an(或者Sn)与n的关系式.方法归纳K考能考能探究探究KAONENGTANJIU变式训练变式训练答案答案解析解析设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=. J基础基础检测检测
15、JICHUJIANCE微专题微专题 0808 数列求和的方法数列求和的方法返C答案答案解析解析1.已知数列5,6,1,-5,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于().A.5B.6C.7D.16解析根据题意得这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=26+4,所以这个数列的前16项之和S16=20+7=7.故选C. J基础基础检测检测JICHUJIANCED答案答案解析解析2.已知在等差数列an
16、中,|a3|=|a9|,公差dS6B.S5S6C.S6=0D.S5=S6解析d0,a90,a70.S3=9,a1+a2+a3=3a2=9,即a2=3.又2a1,a3-1,a4+1成等比数列,(2+d)2=2(3-d)(4+2d),解得d=2,a1=1,an=1+(n-1)2=2n-1.K考能考能探究探究KAONENGTANJIUK考能考能探究探究KAONENGTANJIU能力能力3 3会用裂项相消法求和会用裂项相消法求和典型例题典型例题解析解析K考能考能探究探究KAONENGTANJIUK考能考能探究探究KAONENGTANJIU方法归纳 (1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下
17、第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.K考能考能探究探究KAONENGTANJIU变式训练变式训练解析解析K考能考能探究探究KAONENGTANJIUK考能考能探究探究KAONENGTANJIU能力能力4 4会求等差、等比数列中关于绝对值的求和问题会求等差、等比数列中关于绝对值的求和问题典型例题典型例题解析解析【例4】在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解析(1)由题意
18、得a15a3=(2a2+2)2.又由a1=10,an是公差为d的等差数列,得d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.所以an=-n+11(nN*)或an=4n+6(nN*).K考能考能探究探究KAONENGTANJIUK考能考能探究探究KAONENGTANJIU方法归纳 根据等差数列的通项公式及d0,确定an的符号,从而去掉绝对值符号,这需要对n的取值范围进行分类讨论.K考能考能探究探究KAONENGTANJIU变式训练变式训练解析解析已知数列an满足a1=-2,an+1=2an+4.(1)证明:数列an+4是等比数列.(2)求数列|an|的前n项和Sn.K考能考能探究探究KAONENGTANJIU谢谢 观赏
