连续信号与系统的时域分析.ppt

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1、第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 1 . 掌握连续时间基本信号掌握连续时间基本信号 ：奇异信号、正弦信号、指奇异信号、正弦信号、指数信号数信号2. 掌握卷积积分图解法、掌握卷积积分图解法、卷积性质，并加以灵活运用卷积性质，并加以灵活运用3. 掌握连续系统时域模型的数学描述方法掌握连续系统时域模型的数学描述方法4.理解系统单位冲激响应和阶跃响应理解系统单位冲激响应和阶跃响应,掌握连续系统的零掌握连续系统的零输入响应输入响应和零状态响应和零状态响应求解方法求解方法5. 理解系统微分方程的经典解法理解系统微分方程的经典解法 本章重点本章重点2.1 2.1 连续时间

2、基本信号连续时间基本信号 2.1.1 奇异信号奇异信号 证明证明(t)的的n次积分为次积分为： 在连续信号与系统的时域分析中，在连续信号与系统的时域分析中，( (t t) )和和(-1)(-1)( (t t)=)=( (t t) )是经常使用的两种基本信号是经常使用的两种基本信号! !奇异函数族：奇异函数族：2.1 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 2.1.2 正弦信号正弦信号 振幅振幅初相初相角频率角频率是周期信号，周期是周期信号，周期T、频率频率f和角频率和角频率之间的关系：之间的关系：2.1 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 三角函数形式：三角函数形式：2.1 2.1 连

3、续时间基本信号连续时间基本信号 波形图：波形图： 根据欧拉公式，正弦函数的三角函数形式和指数根据欧拉公式，正弦函数的三角函数形式和指数形式可以相互转换。形式可以相互转换。2.1 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 指数形式：指数形式：2.1.3 指数信号指数信号 连续时间指数信号的一般形式为连续时间指数信号的一般形式为1、若、若A=a1和和s=均为实常数，则均为实常数，则f(t)为实指数信号为实指数信号， 即即2.1 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 根据式中根据式中A和和s的不同取值，具体有下面三种情况：的不同取值，具体有下面三种情况：2、若、若A=1，s=j，则，则f(t)为

4、虚指数信号，即为虚指数信号，即根据欧拉公式，根据欧拉公式， 虚指数信号可以表示为虚指数信号可以表示为： 表表明明ejt的的实实部部和和虚虚部部都都是是角角频频率率为为的的正正弦弦振振荡荡。显然，显然，ejt也是周期信号，其周期也是周期信号，其周期T=2/|。 2.1 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 3、当、当A和和s均为复数时，均为复数时， f(t)为复指数信号为复指数信号2.1 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 若设若设表明：实部和虚部都是振幅按指数规律变化的正弦震荡表明：实部和虚部都是振幅按指数规律变化的正弦震荡2.2 2.2 卷积积分卷积积分 2.2.1 卷积的定义卷积

5、的定义 设设f1(t)和和f2(t)是定义在是定义在(-，)区间上的两个连续时间信区间上的两个连续时间信号，我们将积分号，我们将积分 定义为定义为f1(t)和和f2(t)的卷积的卷积 (Convolution)， 简记为简记为:式中，式中，为虚设积分变量，为虚设积分变量， 积分的结果为另一个新的时间信号。积分的结果为另一个新的时间信号。 即即2.2.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 信号信号f1(t)与与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：的卷积运算可通过以下几个步骤来完成： 第第一一步步，画画出出f1(t)与与f2(t)波波形形，将将波波形形图图中中的的t轴轴改改换换成成轴轴，分分

6、别别 得到得到f1()和和f2()的波形。的波形。 第第二二步步，将将f2()波波形形以以纵纵轴轴为为中中心心轴轴翻翻转转180,得得到到f2(-)波波形形。 第第三三步步，给给定定一一个个t值值，将将f2(-)波波形形沿沿轴轴平平移移|t|。在在t0时，波形往右移。得到了时，波形往右移。得到了f2(t-)的波形。的波形。第四步第四步，将，将f1()和和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积函数相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1()f2(t-)。 第五步第五步，计算乘积信号，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与波形与轴之间包含的净面轴之间包含的净面积，积，便是式便是式f1(t)与与f2(

7、t)卷积在卷积在t时刻的值。时刻的值。 第六步第六步，令变量，令变量t在在(-，)范围内变化，重复第三、四、五步操范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。2.2 2.2 卷积积分卷积积分 关键：划分公共非零区间！关键：划分公共非零区间！例例 给定信号给定信号:求求y(t)=f1(t)*f2(t)。2.2 2.2 卷积积分卷积积分 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 3.当当t3时时，f2(t-)波波形形如如图图(e)所所示示，此此 时时 ， 仅仅 在在 03范范 围围 内内 ， 乘乘 积积f1()f2(t-) 不为零，故有不为零，故有 1.

8、 当当t0时时，f2(t-)波波形形如如图图(c)所所示示，对对任任一一，乘乘积积f1()f2(t-)恒恒为零，故为零，故y(t)=0。 2.当当0t3时时，f2(t-)波波形形如如图图(d)所示所示2.2.3 卷积性质卷积性质 性质性质1卷积代数卷积代数 结合律结合律分配律分配律 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 交换律交换律性质性质2f(t)与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积(1)信号信号f(t)与冲激信号与冲激信号(t)的卷积等于的卷积等于f(t)本身，即本身，即 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 特例：特例：性质性质2f(t)与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积2.2 2.2 卷积积分卷积积

9、分 (2) 信号信号f(t)与冲激偶与冲激偶(t)的卷积等于的卷积等于f(t)的导函数，的导函数， 即即(3) 信号信号f(t)与阶跃信号与阶跃信号(t)的卷积等于信号的卷积等于信号f(t)的积分，的积分， 即即性质性质3卷积的微分和积分卷积的微分和积分 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 使用卷积的微积分性质的条件：被求导的函数在使用卷积的微积分性质的条件：被求导的函数在 处处为零值，或者被积分的函数在为零值，或者被积分的函数在 区间上的积分值为零。区间上的积分值为零。因为因为 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 同理，可将同理，可将f2(t)表示表示为为并进一步得到并进一步得到当当f1(t)和

10、和f2(t)满满足足2.2 2.2 卷积积分卷积积分 时，微积分性质成立。时，微积分性质成立。推广推广：2.2 2.2 卷积积分卷积积分 微积分性质微积分性质性质性质4卷积时移卷积时移 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 若若则则（式中（式中 为实常数）为实常数）推论：推论：若若 f1(t)*f2(t)=y(t)， 则则 (式中，式中，t1和和t2为实常数为实常数)例例 计算常数计算常数K（不为零）与信号（不为零）与信号f(t)的卷积积分。的卷积积分。解解直接按卷积定义，直接按卷积定义， 可得可得 常数常数K与任意信号与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的的卷积值等于该信号波形净面积

11、值的K倍。倍。 注意：如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致注意：如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致：2.2 2.2 卷积积分卷积积分 不满足微积分应用条件！不满足微积分应用条件！例例 计算下列卷积积分：计算下列卷积积分：2.2 2.2 卷积积分卷积积分 解解(1)先计算先计算(t)*(t)。因为因为(-)=0，故可应用卷积运算故可应用卷积运算 的微积分性质求得的微积分性质求得2.2 2.2 卷积积分卷积积分 所以所以 (2) 利用卷积运算的分配律和时移性质，利用卷积运算的分配律和时移性质， 可将给定的卷可将给定的卷 积计算式表示为积计算式表示为2.2 2.2 卷积积分卷积积分 所

12、以：所以：2.2 2.2 卷积积分卷积积分 例：例：解：解：2.2 2.2 卷积积分卷积积分 例例 2.2 4图图2.2 - 5(a)所所示示为为门门函函数数，在在电电子子技技术术中中常常称称矩矩形形脉脉冲冲，用用符符号号g(t)表表示示，其其幅幅度度为为1，宽宽度度为为，求求卷卷积积积分积分g(t)*g(t)。 解：解： 方法一方法一 图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转纵轴翻转180后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时，时，门函数左边沿位于门函数左边沿位于x=-/2位置，右边沿位于位置，右边沿位

13、于x=/2位置，如图位置，如图2.2 - 5(b)所示。在任一所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于时刻，移动门函数左边沿位于x=t-/2位置，位置， 右边沿则位于右边沿则位于x=t+/2位置，如图位置，如图2.2 - 5(c)所示。按照图所示。按照图2.2- 5中中卷卷积过程的图解表示，可计算求得：积过程的图解表示，可计算求得： 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 方法二方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质，应用卷积运算的微积分和时移性质， 可得可得2.2 2.2 卷积积分卷积积分 2.2 2.2 卷积积分卷积积分 2.2

14、.4 常用信号的卷积公式常用信号的卷积公式 表表 2.1 常用信号的卷积公式常用信号的卷积公式2.2 2.2 卷积积分卷积积分 2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 2.3.1 微分算子和积分算子微分算子和积分算子 1. 算子的定义算子的定义微分算子微分算子p：积分算子积分算子1/p或p-1：2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 对于微分方程：对于微分方程：可以表示为：可以表示为：或：或： 性性质质1以以p的的正正幂幂多多项项式式出出现现的的运运算算式式，在在形形式式上上可可以以像像代数多项式那样进行展开和因式分解。代数多项式那样进行展开和因式分解。性质性质2设

15、设A(p)和和B(p)是是p的正幂多项式，的正幂多项式， 则则2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 2. 微分算子微分算子p的运算性质的运算性质微分算子微分算子p及其多项式及其多项式-加、减、乘、因式分解加、减、乘、因式分解例如：例如： 性质性质3 微分算子方程等号两边微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消的公因式不能随便消去去。同理：同理：2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 (C为常数)(C为常数)性质性质4设设A(p) 、B(p)和和D(p)均是均是p的正幂多项式，则的正幂多项式，则2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 例：例：但是但是

16、一般而言，对函数进行一般而言，对函数进行“先除后乘先除后乘”算子算子p的运算（对应的运算（对应先积分后微分运算）时，分式的分子与分母中公共先积分后微分运算）时，分式的分子与分母中公共p算子算子（或（或p算式）允许消去，反之则不能消去。算式）允许消去，反之则不能消去。2.3.2 LTI系统的微分算子方程系统的微分算子方程 对对于于LTI n阶阶连连续续系系统统，其其输输入入输输出出方方程程是是线线性性、常常系系数数n阶微分方程。若系统输入阶微分方程。若系统输入为为f(t)，输出为输出为y(t)， 则可表示为则可表示为 ：2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 用微分算子用微分算子p

17、表示表示缩写为：缩写为：为常数，且H(p)代代表表了了系系统统将将输输入入转转变变为为输输出出的的作作用用，或或系系统统对对输输入入的的传传输输作作用用，故故称称H(p)为为响响应应y(t) 对对激激励励f(t)的的传传输输算算子子或或系系统统的传输算子。的传输算子。2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 令令称作系统的微分算子方程称作系统的微分算子方程则则用用H(p)表示的系统输入输出模型表示的系统输入输出模型 ：2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 连续时间连续时间LTI系统的表示：系统的表示： 1. 传输算子传输算子 2. 线性常系数微分方程线性常系数微分方

18、程 3. 方框图方框图 4. 单位冲激响应单位冲激响应 5.系统函数系统函数例：例： 某连续系统如图所示某连续系统如图所示 ，试写出该系统的传输算子。，试写出该系统的传输算子。2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 解解 选图中右端积分器的输出为中间变量x(t)，则其输入为x(t)，左端积分器的输入为x(t)，如图所示。写出左端加法器的输出：右端加法器的输出：2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 消去中间变量，或者利用两方程系数与微分方程系数之间的对应关系，求得图示系统的微分方程为：写出系统的算子方程于是，得到系统的传输算子为2.3 2.3 系统的微分算子方程系统

19、的微分算子方程 2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 电路系统算子方程的建立方法：电路系统算子方程的建立方法：n元件自身的约束关系元件自身的约束关系-伏安关系（伏安关系（VAR)n 电路基本定律电路基本定律l 基尔霍夫电流定律（基尔霍夫电流定律（KCL）对于任一节点：对于任一节点：l 基尔霍夫电压定律（基尔霍夫电压定律（KVL）对于任一回路有对于任一回路有 ：2.3.3 电路系统算子方程的建立电路系统算子方程的建立 表表 2.2 电路元件的算子模型电路元件的算子模型2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 电路系统中常用电路元件模型关系：电路系统中常用电路元件模型关

20、系： 例例: 电路如图电路如图2.3 - 3(a)所示，所示，试写出试写出u1(t)对对f(t)的传输算子。的传输算子。 2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 解解画出算子模型电路如图画出算子模型电路如图 (b)所示。所示。 由节点电压法列出由节点电压法列出u1(t)的方程为的方程为 ：所以所以u1(t)对对f(t)的传输算子的传输算子为：为：它代表的实际含义是：它代表的实际含义是：2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 例例: 如如图图(a)所所示示电电路路，电电路路输输入入为为f(t)，输输出出为为i2(t)，试试建建立立 该电路的输入输出算子方程。该电路的输

21、入输出算子方程。 2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 解解: 画出算子模型电路如图画出算子模型电路如图(b)所示。所示。 列出网孔电流方程如列出网孔电流方程如下：下： 2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，该方程组对新设变量而言是一个微分方程组， 可以用代数方法可以用代数方法求解，得求解，得 2.3 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程 2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 2.4.1 系统初始条件系统初始条件 根根据据线线性性系系统统的的分分解解性性，LTI系系统统的的完完全全响响应应y(t

22、)可可分分解解为为零输入响应零输入响应yx(t)和和零状态响应零状态响应yf(t)，即即分别令分别令t=0-和和t=0+，可得可得对于因果系统，对于因果系统，t=0时接入激励，时接入激励，有有yf(0-)=0时不变系统，内部参时不变系统，内部参数不随时间变化，有数不随时间变化，有yx(0+)=yx(0-)同理，可推得同理，可推得y(t)的各阶导数满足的各阶导数满足 如下关系：如下关系：2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 分别称为系统的分别称为系统的0-初始条件初始条件和和0+初始条件初始条件。对于对于n阶系统，阶系统，j=0，1，n-12.4.2 零输入响应算子方程零输入

23、响应算子方程设系统响应设系统响应y(t)对输入对输入f(t)的传输算子为的传输算子为H(p)， 且且y(t)和和f(t)满足的算子方程为：满足的算子方程为： yx(t)由系统及系统状态决定，由系统及系统状态决定，与激励信号无关，故令与激励信号无关，故令f(t)=0时方程的解即为时方程的解即为零输入响应零输入响应2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 2.4.3 简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应 简单系统简单系统1一阶系统：一阶系统：A(p)=p- 则则 yx(t)=c0et。 c0 由初始条件由初始条件yx(0-)确定确定2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的

24、零输入响应 简单系统简单系统2 特殊二阶系统：特殊二阶系统：A(p)=(p-)2 则则 yx(t)=(c0+c1t)et。 c0 由由初初始始条条件件yx(0-)和和yx(0-)确确定定推广到推广到r阶：阶：2.4.4 一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应 对对于于一一般般情情况况，设设n阶阶LTI连连续续系系统统，其其特特征征方方程程A(p)=0具具有有l个个不不同同的的特特征征根根i(i=1, 2, , l)，且且i是是ri阶阶重重根根，那那么么，A(p)可以因式分解为可以因式分解为 r1+r2+rl=n2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 根据根据线性微分方程解的

25、结构线性微分方程解的结构定理，令定理，令i=1,2,.,l,将相应方程求将相应方程求和，得：和，得：所以方程所以方程A(p)yx(t)=0的解为：的解为：第二步，求出第i个根对应的零输入响应yxi(t)第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加，得到系统的零输入响应，即第四步，根据给定的零输入响应初始条或者0-系统的初始条件，确定常数2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 第一步，将A（p）进行因式分解，即对于一般对于一般n阶阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤：连续系统零输入响应的求解步骤：例例: 某系统输入输出微分算子方程为某系统输入输出微分算子方程为已已知知系系

26、统统的的初初始始条条件件y(0-)=3, y(0-)=-6，y(0-)=13, 求求系系统统的的零输入响零输入响应应yx(t)。解解: 由题意知由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2所以所以2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 其一阶和二阶导函数为其一阶和二阶导函数为2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 代入代入初始条件值并整理得初始条件值并整理得令令t=0-,并考虑到并考虑到c10=1，c20=2，c21=-1将各系数值代入将各系数值代入yx(t)式式,最后求得系统的零输入响应为最后求得系统的零输入响应为: 例例 :电路如图(a)所示，激励为is(t

27、)，响应为iL(t)。已知R1=1，R2=5，C=0.25F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t0时的零输入响应iLx(t)。2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 解解:画出给定电路的算子电路模型如图画出给定电路的算子电路模型如图 (b)所示所示 列出电路列出电路的回路电流方程的回路电流方程: 为为确确定定待待定定常常数数，除除应应用用电电感感初初始始电电流流iLx(0-)=iL(0-)=2A外外，还还需需计计算算iLx(0-)值值。为为此此，画画出出t=0-时时的的等等效效电电路路如如图图 (c)所示，由所示，由KVL可得

28、可得 :2.4 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 代入代入初始条件值并整理得初始条件值并整理得所以：所以：2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.5.1 连续信号的连续信号的(t)分解分解 任任一一连连续续信信号号f(t)与与单单位位冲冲激激信信号号(t)卷卷积积运运算算的的结结果果等等于于信号信号f(t)本身，即本身，即 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 可以从图形上定性地说明式的正确性可以从图形上定性地说明式的正确性连续信号的连续信号的(t)分解分解:2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 当当0，即即趋趋于于

29、无无穷穷小小量量d时时，离离散散变变量量k将将趋趋于于连连续续变变量量，式式(2.5-3)中的各量将发生如下变化：中的各量将发生如下变化：2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.5.2 基本信号基本信号(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 一、一、 单位冲激响应单位冲激响应 一一个个初初始始状状态态为为零零的的LTI连连续续系系统统，当当输输入入为为单单位位冲冲激激信信号号时时所所产产生生的的响响应应称称为为单单位位冲冲激激响响应应，简简称称冲冲激激响响应应，记记为为h(t)2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 二、单位冲激响应的计算二、单位冲激

30、响应的计算 设设LTI连连续续系系统统的的传传输输算算子子为为H(p)，讨讨论论从从H(p)出出发发计计算算冲激响应冲激响应h(t)的方法。的方法。 思思路路：先先研研究究若若干干简简单单系系统统的的冲冲激激响响应应，再再在在此此基基础础上上推导出一般系统冲激响应的计推导出一般系统冲激响应的计算步骤。算步骤。2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 简单系统简单系统1 一阶系统的单位冲激响应一阶系统的单位冲激响应简单系统简单系统2 特殊二阶系统的单位冲激响应特殊二阶系统的单位冲激响应推广：推广：简单系统简单系统32.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 计算系统

31、冲激响应计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是：的一般步骤是：2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 三、高阶系统的单位冲激响应：三、高阶系统的单位冲激响应：方法：高阶系统方法：高阶系统 简单系统简单系统1.确定系统的传输算子确定系统的传输算子H(p)2.将将H(p)进行部分分式展开成如下形式：进行部分分式展开成如下形式：3.根据简单系统的冲激响应形式，得到各分式对应的冲根据简单系统的冲激响应形式，得到各分式对应的冲 激响应分量激响应分量4.将所有的冲激响应分量相加，得到系统的冲激响应将所有的冲激响应分量相加，得到系统的冲激响应h(t)例例: 描述系统的微分方程为描述系统的微分

32、方程为求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解:由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 其其H(p)可表示为可表示为2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 因为：因为：所以：所以：例例： 二二阶阶电电路路如如图图所所示示，已已知知L=0.4 H，C=0.1F， G=0.6S，若若以以us(t)为为输输入入，以以uC(t)为为输输出出，求求该该电电路路的的冲冲激激响响应应h(t)。 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 解：解： (1) 列写电路输入输出方程

33、。列写电路输入输出方程。 由由KCL和和KVL有有2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 代入元件值：代入元件值：（2）求单位冲激响应：）求单位冲激响应：传输算子：传输算子：特征方程：特征方程：2.5.3 一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 分解分解叠加叠加=？分析分析: 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 即：即：LTI连续系统在一般信号连续系统在一般信号f(t)激励下产生的零状态响应为激励下产生的零状态响应为: 一、一、 系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应一一个个L

34、TI连连续续系系统统，在在基基本本信信号号(t)激激励励下下产产生生的的零零状状态态响应响应称为系统的阶跃响应称为系统的阶跃响应，通常记为通常记为g(t)。2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.5.4 零状态响应的另一个计算公式零状态响应的另一个计算公式 (t)g(t)阶跃响应阶跃响应g(t)与冲激响应与冲激响应h(t)之间的关系为之间的关系为:或者或者 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 二、利用二、利用g(t)计算零状态响应计算零状态响应分解分解叠加叠加2.5 2.5 连续系统的零状态响

35、应连续系统的零状态响应 即：即：LTI连续系统在一般信号连续系统在一般信号f(t)激励下产生的零状态响应为激励下产生的零状态响应为: 分析：分析： 例例： 某某LTI连连续续系系统统N有有A、B、C三三部部分分组组成成，如如图图所所示示。已已知子系统知子系统A的冲激响应的冲激响应，子子系系统统B和和C的的阶阶跃跃响响应应分分别别为为gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)， 系系统统输输入入f(t)=(t)-(t-2)，试试求求系系统统N的的冲冲激激响响应应、阶阶跃跃响响应应和和零零状状态态响响应。应。 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 解解： (

36、1) 求求系系统统N的的冲冲激激响响应应。设设子子系系统统B、C的的冲冲激激响响应应为为hB(t)和和hC(t)，则，则2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 按按照照冲冲激激响响应应的的定定义义，它它是是f(t)=(t)时时系系统统的的零零状状态态响响应应，系统系统N的冲激响应为的冲激响应为 ：2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 (2) 求求系系统统N的的阶阶跃跃响响应应。设设系系统统N的的阶阶跃跃响响应应为为gN(t)，则则2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 (3) 求系统的零状态响应。求系统的零状态响应。2.5 2.5 连续系

37、统的零状态响应连续系统的零状态响应 方法二方法二 因为已经求得系统的阶跃响应因为已经求得系统的阶跃响应它它是是输输入入为为(t)时时对对应应的的零零状状态态响响应应。激激励励信信号号f(t)=(t)-(t-2)， 是是一一个个阶阶跃跃信信号号与与另另一一个个位位移移阶阶跃跃信信号号的的组组合合。 所所以以， 可可利利用阶跃响应和系统的线性、时不变特性用阶跃响应和系统的线性、时不变特性直接求得直接求得 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 例例：已已知知某某LTI连连续续系系统统的的冲冲激激响响应应h(t)=(t)-(t-1)，输输入入f(t)=(t+2)-(t-2)。 若若

38、以以t=0为为初初始始观观察察时时刻刻，试试求求系系统统的的零零输输入响应入响应yx(t)和零状态响应和零状态响应yf(t)，并画出波形。并画出波形。 解解：以以初初始始观观察察时时刻刻t=0为为时时间间分分界界点点，将将输输入入区区分分为为历历史史输输入入f1(t)和当前输入和当前输入f2(t)，即即 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 所所谓谓零零输输入入响响应应，是是指指历历史史输输入入f(t)作作用用于于系系统统，在在t0区间上产生的响应，区间上产生的响应， 即即 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 画画出出g(t)波波形形如如图图 (a)所

39、所示示。再再画画出出g(t+2)-g(t)波波形形如如图图 (b)所示，其中所示，其中t0部分代表部分代表yx(t)。于是于是 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 当输入当输入f2(t)作用于系统，在作用于系统，在t0区间上产生的响应为零状区间上产生的响应为零状态响应，即态响应，即 2.5 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.6.1 齐次解和特解齐次解和特解2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 对对于于LTI n阶阶连连续续系系统统，其其输输入入输输出出方方程程是是线线性性

40、、常常系系数数n阶微分方程。其输入阶微分方程。其输入输出微分算子方程为输出微分算子方程为 ： 按按照照微微分分方方程程的的经经典典解解法法，其其完完全全解解y(t)由由齐齐次次解解yh(t)和特解和特解yp(t)两两部分组成，部分组成， 即即 : 一、齐次解一、齐次解齐次解齐次解yh(t)是下面齐次微分算子方程是下面齐次微分算子方程满足满足0+初始条件初始条件y(j)(0+)(j=0, 1, , n-1)的解。的解。2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 得到齐次解的第得到齐次解的第i个分量，个分量， 即即3. 将各分量相加，求得齐次解将各分量相加，求得齐次解2.6 2.

41、6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 1. 将将A(p)因式分解为因式分解为式中，i为特征方程A(p)=0的第i个根，ri是重根的阶数。求解方法：求解方法：2. 分别求解算子方程分别求解算子方程表表 2.3 特征根及其相应的齐次解特征根及其相应的齐次解 2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 二、二、 特解：特解：特解的函数形式与输入函数形式有关特解的函数形式与输入函数形式有关表表 2.4 几种典型自由项函数相应的特解几种典型自由项函数相应的特解 2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 自由项：将输入函数代入方程的右端后，右端的函数式自由

42、项：将输入函数代入方程的右端后，右端的函数式2.6.2 响应的完全解响应的完全解 将微分方程的齐次解和特解相加就得到系统响应的完全解，即将微分方程的齐次解和特解相加就得到系统响应的完全解，即对于对于n阶系统，需要通过阶系统，需要通过n个初始条件来确定完全解中的待个初始条件来确定完全解中的待定系数。定系数。 2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 齐次解齐次解特解特解（自由响应）（自由响应）（暂态响应）（暂态响应）（强迫响应）（强迫响应）（稳态响应）（稳态响应）一个连续系统的完全响应分解：一个连续系统的完全响应分

43、解：l 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应（根据引起响应的不同原因）根据引起响应的不同原因）l 暂态响应和稳态响应（暂态响应和稳态响应（如果输入是阶跃信号或有始周期信号）如果输入是阶跃信号或有始周期信号）l 齐次解和特解齐次解和特解（按照数学上对系统微分方程的求解过程按照数学上对系统微分方程的求解过程）2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 强迫响应强迫响应自由响应或固有响应自由响应或固有响应（齐次解的系数值是与输入信号有关的）（齐次解的系数值是与输入信号有关的）例：例： 某连续系统的输入输出方程为某连续系统的输入输出方程为 已知已知f(t)=(t)，y(0-)=1, y(0-)=2，试计算试计算y(0+)和和y(0+)值值。 解解由由于于输输入入f(t)=(t)时时，微微分分方方程程式式右右端端含含有有(t)项项，故故方方程程左左端端y(t)项项也也应应含含有有(t)项项。这这样样y(t)应应含含有有(t)项项(即即y(t)在在t=0处处具有幅度为具有幅度为1的跃变的跃变)，而，而y(t)在在t=0处连续。所以处连续。所以2.6 2.6 系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 代入y(0-)和y(0-)值