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1、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 设设可导可导, 则有则有引例引例 y=sin(lnx)一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元则有换元公式公式(也称也称配元法配元法即即, 凑微分法凑微分法)例例1. 求求解解: 例例2. 求求解解:一般地一般地例例3 求求解解:例例4. 求求解解:例例5. 求求解解:类似类似例例6. 求求解解:令令则则想到公式想到公式解解:例例7. 求求例例8. 求求解解: 原式原式 =例例9. 求求想到想到解解:(直接配元直接配元)例例10. 求求解
2、解: 原式原式 =例例11. 求求解解: 说明说明拆开奇次项去凑微分拆开奇次项去凑微分.例例12. 求求解解:说明说明可用倍角公式降低三角函数的幂次可用倍角公式降低三角函数的幂次.倍角公式倍角公式例例13. 求求解法解法1 解法解法 2 同样可证同样可证或或例例14. 求求解解: 原式原式 =例例15. 求求解：解：解解: 原式原式例例16. 求求例例6. 求求常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 万万能能凑凑幂幂法法小结小结常用简化技巧常用简化技巧:(1) 分项积分分项积分:(2) 降低幂次降低幂次:(3) 统一函数统一函数: 利用三角公式利用三角公式 ; 配元方配元方法法(4) 巧妙换元
3、或配元巧妙换元或配元万能凑幂法万能凑幂法利用积化和差利用积化和差; 分式分项分式分项;利用倍角公式利用倍角公式 , 如如二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求若所求积分若所求积分易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法 .难难求，求，定理定理2 . 设设是单调可导函数是单调可导函数 , 且且具有原函数具有原函数 ,证证:令令则则则有换元公式则有换元公式例例17. 求求解解: 令令则则 原式原式例例18. 求求解解: 令令则则 原式原式例例19. 求求解解:令令则则 原式原式令令于是于是例例20. 求求解解: 令令则则于是，于是，原式原式小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: 令令令令令令或或令令或或令令或或第第四四节节讲讲2. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充(7) 分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时, 可试用可试用倒代换倒代换 令令例例. 求求解解:例例. 求求解解: 令令则则故故原式原式 =注注: 当当时时 例例. . 求求解解:例例 . 求求解解:例例. 求求解解: 原式原式 =例例. 求求解解: 原式原式=分析分析:
