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1、第第6节第一型线积分和面积分节第一型线积分和面积分第一型（对弧长的）曲线积分的计算第一型（对弧长的）曲线积分的计算第一型（对面积的）曲面积分的计算第一型（对面积的）曲面积分的计算( Line integrals and Surface integrals of the first type (or Line integrals with respect to arc length and surface integrals with respect to area ) 2013年5月1南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理由第由第1节，节，1. 第一型曲线积分的定义：第一型曲线积分的定义：2
2、. 性质：性质：3. 可积性：可积性：与定积分类似与定积分类似2013年5月2南京航空航天大学 理学院 数学系注意：注意：2013年5月3南京航空航天大学 理学院 数学系1. 对弧长曲线积分的计算定理定理基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分2013年5月4南京航空航天大学 理学院 数学系证证:由积分中值定理由积分中值定理2013年5月5南京航空航天大学 理学院 数学系注(2) (2) 注意到注意到 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. . 2013年5月6南京航空航天大学 理学院 数学系12a2013年5月7南京航空航天大学 理学院 数
3、学系特殊情形特殊情形2013年5月8南京航空航天大学 理学院 数学系推广推广: :2013年5月9南京航空航天大学 理学院 数学系例例1解解2013年5月10南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月11南京航空航天大学 理学院 数学系oxL2 :y=xL1: y=0y例例解解2013年5月12南京航空航天大学 理学院 数学系解解 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用对称性利用对称性 , , 得得例例42013年5月13南京航空航天大学 理学院 数学系例例5解法一解法一由对称性由对称性, 知知进一步进一步2013年5月14南京航空航天大学 理学院 数学系解法二解
4、法二化化为为参参数数方方程程2013年5月15南京航空航天大学 理学院 数学系2. 几何与物理意义2013年5月16南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月17南京航空航天大学 理学院 数学系解解由对称性由对称性2013年5月18南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月19南京航空航天大学 理学院 数学系例例2. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为(1) 求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量(2) 求它的质心求它的质心 .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).(2) L的质量的质量而而(1)xyzOak2013年5月20南京航空航天大学 理学院 数学
5、系故质心坐标为故质心坐标为2013年5月21南京航空航天大学 理学院 数学系例例3解解(1)2013年5月22南京航空航天大学 理学院 数学系解解(2)2013年5月23南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月24南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月25南京航空航天大学 理学院 数学系小结1 1、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算2 2、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用2013年5月26南京航空航天大学 理学院 数学系练习题练习题2013年5月27南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月28南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案练习题答案2013年5月29南京航空航天大学 理学院 数学系
