24.5-三角形的内切圆

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1、第第2424章章 圆圆24.5 24.5 三角形的内切圆三角形的内切圆1课堂讲解课堂讲解三角形内切圆及相关概念三角形内切圆及相关概念三角形内切圆的性质三角形内切圆的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。圆形铁皮。分析：分析：讨论这个圆有什么特点？讨论这个圆有什么特点？ （实际上是作一个圆，使它（实际上是作一个圆，使它 和已知三角形铁皮的各边都相切）和已知三角形铁皮的各边都相切） 讨论如何确定这个圆的圆心及半径？讨论如何确定这个圆的圆心及半径？1知识点知识点三角

2、形内切圆及相关概念三角形内切圆及相关概念三角形的内切圆与相关概念三角形的内切圆与相关概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形切三角形知知1 1讲讲要点精析要点精析：(1)任意三角形都有且只有一个内切圆任意三角形都有且只有一个内切圆(因为圆心和半因为圆心和半 径是唯一确定的径是唯一确定的)，而任意多边形不一定有内切圆，而任意多边形不一定有内切圆(2)一个圆有无数个外切三角形一个圆有无数个外切三角形(3)一般地，若一般地，若I是是ABC的内心

3、，则有的内心，则有 BIC90 A.知知1 1讲讲例例1 如如ABC的内切圆的内切圆 O和各边分别相切于和各边分别相切于D，E，F，则，则O是是DEF的的() A三条中线的交点三条中线的交点 B三条高的交点三条高的交点 C三条角平分线的交点三条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点三条边的垂直平分线的交点知知1 1讲讲O是是ABC的内切圆，的内切圆，ODOEOF，O是是DEF三条边的垂直平分线的交点三条边的垂直平分线的交点D导引：导引：1在在ABC中，中，AB =AC =4 cm,以点以点A为圆心、为圆心、2 cm为为半径的圆与半径的圆与BC相切，求相切，求BAC 的度数的度数.22 如在

4、如在ABC中，中， A=80，点，点I是内心，求是内心，求BIC的度数的度数.知知1 1练练3 在下列说法错误的是在下列说法错误的是()A三角形的内切圆与三角形的三边都相切三角形的内切圆与三角形的三边都相切B一个三角形一定有唯一一个内切圆一个三角形一定有唯一一个内切圆C一个圆一定有唯一一个外切三角形一个圆一定有唯一一个外切三角形D等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆4 下面关于三角形的内心的说法正确的是下面关于三角形的内心的说法正确的是()A三角形的内心到三边的距离相等三角形的内心到三边的距离相等B三角形的内心是三条边垂直平分线的交点三角形的内心是三条边垂直平分

5、线的交点C三角形的内心是三边中线的交点三角形的内心是三边中线的交点D三角形的内心到三个顶点的距离相等三角形的内心到三个顶点的距离相等知知1 1练练5如图，已知如图，已知ABC的内切圆的内切圆 O与各边相切于点与各边相切于点D、E、F，那么点，那么点O是是DEF的的()6A外心外心7B内心内心8C重心重心9D垂心垂心(三条高的交点三条高的交点)知知1 1练练2知识点知识点三角形内切圆的性质三角形内切圆的性质知知2 2讲讲三角形的内心的性质：三角形的内心的性质： 三角形的内心到三角形的三边距离相等三角形的内心到三角形的三边距离相等拓展：拓展：(1)若三角形的面积为若三角形的面积为S，周长为，周长为

6、l，内切圆半径为，内切圆半径为r， 则则S lr.(2)直角三角形内切圆的半径直角三角形内切圆的半径r (直角边长直角边长a直直角角边长边长b斜边长斜边长c)知知2 2讲讲例例2 如图如图,在在 ABC 中，中，B=43，C =61，点，点I是是ABC的内心，求的内心，求BIC的度数的度数.解：解：连接连接IB，IC.因为点因为点I是是ABC 的内心，所以的内心，所以IB，IC分别是分别是B、C的平分线的平分线.在在IBC中，有中，有BIC = 180(IBC+ ICB)= 180 (B+ C)= 180 (43+61)=128知知2 2讲讲例例3 如图所示，如图所示， O是是RtABC的内切

7、圆，切点分别为的内切圆，切点分别为D，E，F，C90，AC3，BC4，求，求 O的半径的半径r. 连接连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用，利用SABC SCOBSBOASAOC求解还可以发现四边形求解还可以发现四边形OECD 为正方形，则可利用切线长定理，用含为正方形，则可利用切线长定理，用含r的代数式表示的代数式表示 AB的长，再求解的长，再求解导引：导引：知知2 2讲讲方法一：如图，连接方法一：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，则则ODOEOFr，ODBC，OEAC，OFAB.在在RtABC中，中，ABSABCSCOBSBOASAOC，r解：解：知知2 2讲讲方法二：

8、如图，连接方法二：如图，连接OD，OE，则，则OEAC，ODBC，又又ECCD，且，且OEODr，四边形四边形OECD是正方形是正方形 ECCDr . ABAFBFAEBD (ACEC)(BCCD) 3r4r72r . 又易知又易知AB 72r5 ，即，即r1 .总总 结结知知2 2讲讲(1)求三角形内切圆的半径问题，一般的作辅助线的方法求三角形内切圆的半径问题，一般的作辅助线的方法 为：一是连顶点、内心产生角平分线；二是连切点、为：一是连顶点、内心产生角平分线；二是连切点、 内心产生半径及垂直条件内心产生半径及垂直条件(2)三角形的内切圆的半径与三角形的关系：三角形的内切圆的半径与三角形的关

9、系：若若ABC 中，中，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，内切圆的，内切圆的 半径为半径为r，则，则r . 若若中中ABC为直角三角为直角三角 形，且形，且C90，则，则r .知知2 2讲讲例例4 (作图题作图题) (1)如图如图(1)，已知直线，已知直线l及及l同侧两点同侧两点A，B.请请你在直线你在直线l上确定一点上确定一点P，使，使P到到A、B两点的距离和最两点的距离和最小；小； (2)如图如图(2)，已知直线，已知直线l及及l异侧两点异侧两点A，B.请你在直线请你在直线 l上确定一点上确定一点P，使，使P到到A，B两点的距离差最大；两点的距离差最大；知知2 2讲讲(3)如图

10、，已知如图，已知ABC，作作ABC的内切圆的内切圆 O，并判，并判 断断O到到ABC三边的距离有什么关系？三边的距离有什么关系？连接连接AO， 你能发现什么结论？你能发现什么结论？若若ABC的周长为的周长为30，O到到BC 边的距离为边的距离为2，求，求ABC的面积的面积知知2 2讲讲(1)作出点作出点A关于直线关于直线l的对称点的对称点A，连接，连接AB与直线与直线l的交点就是的交点就是 要求的点要求的点P. (2)作作A关于关于l的对称点的对称点A1，连接，连接A1B，并延长交，并延长交l于点于点P，P即为即为 所求的点下面证明所求的点下面证明A1B是是P到到A、B两点的距离差的最大值：两

11、点的距离差的最大值： 在在l上取一个不同于上取一个不同于P点的点点的点P1，连接，连接P1A，P1A1，P1B，这样，这样 点点P1，A1，B就构成一个三角形，就构成一个三角形，P1A1P1A；根据两边之差；根据两边之差 小于第三边，有小于第三边，有P1A1P1BA1B，即，即P1AP1BA1B，所以，所以 除除P点外，任何一点与点外，任何一点与A，B的距离差都小于的距离差都小于A1B，又，又P点与点与A， B的距离差是的距离差是A1B，所以，所以P点就是所求的点点就是所求的点 (3)先作出角平分线，进而作出内切圆，再利用面积相等即可求先作出角平分线，进而作出内切圆，再利用面积相等即可求 解解

12、导引：导引：知知2 2讲讲解：解：(1)P点的位置如图点的位置如图(1)所示所示 (2)P点的位置如图点的位置如图(2)所示所示知知2 2讲讲(3)如图所示如图所示作作ABC和和BCA的平分线，交于点的平分线，交于点O，以，以O为圆心，为圆心，O 到到BC边的距离边的距离OD为半径作圆，根据角平分线的性质可为半径作圆，根据角平分线的性质可 以得出：以得出：O到到ABC三边的距离相等三边的距离相等AO平分平分BAC.点点O为为ABC三个角的平分线的交三个角的平分线的交 点，点，O到到BC边的距离为边的距离为2， 点点O到三边的距离相等，均为到三边的距离相等，均为2， ABC的周长为的周长为30，

13、 SABCSAOBSBOCSAOC (ABBC AC)230.总总 结结知知2 2讲讲本题运用本题运用数形结合思想数形结合思想及及面积法面积法求距离和差的最值求距离和差的最值问题，一般通过轴对称作图，化折线为直线，最终转问题，一般通过轴对称作图，化折线为直线，最终转化为利用两点之间线段最短求解的问题高不离面积，化为利用两点之间线段最短求解的问题高不离面积，出现垂线段时，可联想到利用面积法求解问题出现垂线段时，可联想到利用面积法求解问题1在在ABC中，中，C=90， BC =3，AC =4，求这个，求这个三角形的内切圆半径三角形的内切圆半径.2在一块周长为在一块周长为12 cm、面积为、面积为6

14、 cm2的三角形材料中的三角形材料中作一个内切圆，问这个圆的半径是作一个内切圆，问这个圆的半径是 多少厘米？多少厘米？知知2 2练练3知知2 2练练3如图，点如图，点O是是ABC的内切圆的圆心，若的内切圆的圆心，若BAC80，则，则BOC()A130 3B120 4C100 5D904 在在RtABC中，中，C90，AC3，AB5，则它，则它的内切圆与外接圆半径分别为的内切圆与外接圆半径分别为()A1.5，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.55 如图，正三角形如图，正三角形ABC的内切圆半径为的内切圆半径为1，那么这个，那么这个正三角形的边长为正三角形的边长为()A2 B3 C. D2知知2 2练练6 在在ABC中，已知中，已知C90，BC3，AC4，则，则它的内切圆半径是它的内切圆半径是()A. B1 C2 D.知知2 2练练1会作各种三角形的内切圆；会作各种三角形的内切圆； 2定义三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形；定义三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形； 3内心是谁的交点？位置如何？它有什么位置关系内心是谁的交点？位置如何？它有什么位置关系？