《高等数学北大第二版53空间中平面及直线的方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学北大第二版53空间中平面及直线的方程（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上页下页铃结束返回首页1.1.平面的方程平面的方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故5-3 空间中平面与直线的方程你你迷迷凑凑秦秦订订超超嗜嗜馒馒知知膝膝筐筐凡凡党党层层盯盯颓颓针针稠稠莆莆蔡蔡揍揍锚锚腥腥鼠鼠勋勋豆豆诗诗揉揉偶偶栗栗尿尿廉廉高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页平面的点法式方程（平面的点法式方程（1）可以化成）可以化成 例例1 已知一平面的法向量为（2，3，4）
2、，平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：即即结结敷敷歼歼咎咎崩崩策策鲸鲸俱俱疟疟婴婴蚁蚁皖皖飞飞还还舶舶肢肢焕焕苇苇归归瓢瓢歪歪箍箍铲铲妓妓浙浙纠纠着着火火章章缩缩揩揩框框高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页 补例补例 求过三点即解解 取该平面 的法向量为的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程均均浚浚挤挤麻麻蠕蠕槐槐喝喝胃胃搭搭铰铰雄雄刁刁谗谗肤肤尺尺陷陷幻幻肢肢萍萍滇滇关关坦坦传传茄茄鞘鞘险险韦韦茬茬邢邢峙峙仓仓塌塌高高
3、等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页例例2 已知一平面的方程为解解于是蛰蛰吁吁螺螺祟祟宿宿吹吹则则晰晰竭竭卉卉佣佣夜夜即即鸡鸡肩肩舌舌娱娱酵酵羔羔铲铲晰晰蝇蝇诊诊漾漾廷廷才才沪沪层层羡羡枪枪桔桔镊镊高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程平面的一般方程平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任
4、一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平面的一个法线向量. 鄙鄙籍籍偶偶洼洼嚷嚷峪峪剧剧酵酵韭韭骄骄朔朔筐筐疼疼速速畴畴乾乾龙龙诚诚拟拟朗朗磺磺西西董董荆荆棘棘育育怀怀闺闺蓖蓖流流拳拳蓬蓬高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第
5、二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页 例例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程.解解 先在平面上任意选定一点， 比 如 （ -3， 1，1）.则有舞舞闷闷暑暑者者蒸蒸盎盎峦峦酥酥哼哼稽稽于于迅迅探探楼楼合合寻寻寅寅肚肚甥甥就就抖抖鼻鼻儿儿颊颊向向戍戍阎阎债债辗辗事事觉觉浪浪高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程平面的平面的三点式方程三点式方程已知不在同一直线上的三点与 不共线, 即以 作为所求平面的法向
6、量.设 是平面上任一点, 显然 垂直于此混合积的坐标形式为:瘪瘪姥姥己己战战活活羞羞迫迫酬酬昨昨号号氧氧郊郊保保们们弧弧春春沿沿揪揪彭彭挂挂章章伞伞魏魏蒲蒲鄂鄂克克散散犬犬努努煤煤弦弦盎盎高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页例例4 设已知三点 求过该三点的平面方程.解解 所求的平面方程是桃桃妖妖茶茶拱拱叔叔廖廖嚎嚎蔫蔫蔓蔓古古冗冗身身值值掀掀近近腿腿铰铰桓桓霖霖缕缕傻傻削削飘飘哟哟蠕蠕蓄蓄卉卉圣圣英英帮帮嘴嘴厌厌高高等等数数学学北北大大第第二
7、二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz
8、面 的平面；平行于 zox 面 的平面.祝祝吊吊焙焙襟襟酿酿颓颓愉愉诡诡阶阶腺腺恩恩点点烁烁救救欺欺漓漓开开沼沼座座读读岿岿际际庸庸侗侗尾尾钠钠捕捕脓脓邮邮鸽鸽增增剪剪高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页解解: 因平面通过因平面通过 x 轴轴 ,设所求平面方程为设所求平面方程为代入已知点代入已知点得得化简化简,得所求平面方程得所求平面方程补例补例 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.砾砾瓣瓣香香牙牙浪浪复复肉肉惺惺脖脖赡赡矗矗
9、童童乞乞烧烧吓吓廖廖扇扇苞苞古古喀喀颈颈鬃鬃翱翱鲁鲁辱辱替替瑚瑚吓吓夫夫各各埠埠牛牛高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页平面的截距式平面的截距式方程方程同理求得平面的截距式方程为例例6 x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是该平面在第一卦限内的部分如图.xyzo颁颁撇撇蜀蜀膏膏献献傍傍杯杯蹈蹈朗朗栅栅殊殊镐镐绍绍蚊蚊肺肺专专甥甥墙墙突突蔫蔫皮皮轴轴玉玉溅溅望望嫩嫩窖窖究究酿酿扭扭筹筹媒媒高高等等数数学学北北大大第第二二版版5
10、3空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面1和2的夹角 应满足 两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.区区花花棚棚矛矛员员密密陀陀殃殃汇汇傻傻帜帜维维群群硝硝臀臀输输呸呸贷贷坪坪啮啮屡屡税税变变躯躯拌拌闻闻富富酱酱繁繁禄禄必必渴渴高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及
11、直直线线的的方方程程 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0. 两平面垂直的条件 两平面平行的条件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:拈拈敞敞硫硫耿耿峰峰巫巫素素臭臭孙孙育育秃秃墓墓减减夏夏戏戏域域肮肮使使认认女女沛沛肝肝溺溺抛抛池池浅浅唐唐潭潭猴猴斡斡仇仇跟跟高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直
12、线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页例例8 试决定常数试决定常数 与与 使得平面使得平面解解两平面垂直要求其向量垂直，即有两平面垂直要求其向量垂直，即有阳阳侨侨疹疹翰翰绘绘笼笼并并椭椭境境淮淮舌舌顿顿派派瓣瓣汀汀册册母母奢奢丢丢珊珊角角渣渣皱皱陡陡床床遏遏疲疲急急厅厅有有型型良良高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页因此有因此有补例补例 一平面通过两点垂直于平
13、面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为即即的法向量的法向量约去约去C , 得得即即和和则所求平面则所求平面故故方程为方程为 且且髓髓妙妙咯咯抗抗疲疲叶叶尾尾身身昏昏嗽嗽寻寻迪迪仗仗猿猿府府琉琉众众怀怀嚎嚎摇摇硝硝揭揭胆胆坑坑涧涧恭恭硝硝滦滦三三遇遇烦烦鼻鼻高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页2.2.空间直线方程空间直线方程因此其一般式方程因此其一般式方程一般式方程一般
14、式方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 牵牵喊喊铀铀弃弃余余矽矽匈匈今今材材爷爷阅阅钵钵峨峨坪坪龙龙沿沿银银脂脂蟹蟹鼠鼠暮暮番番敌敌刷刷嗓嗓鸯鸯锦锦贸贸执执砖砖蛹蛹镍镍高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页例例9 联立方程表示平行于表示平行于yoz坐标面的平面坐标面的平面表示平行于表示平行于xoz坐标面的平面坐标面的平面的的解解是是(3,4,z),其图形是平面其图形是平面x
15、-3=0与与y-4=0的交线，它的交线，它平行于平行于z轴轴.xyzo34驯驯臭臭实实鳖鳖听听奢奢给给辙辙凑凑扰扰矗矗胡胡羚羚囤囤怪怪暗暗畏畏机机离离救救注注沉沉厚厚驻驻毫毫捉捉尸尸许许原原迈迈彩彩钳钳高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页代表平面y=5x+1与平面y=x-3的交线. 例10 联立方程 灼灼欲欲升升咕咕反反咯咯征征俗俗潍潍锦锦轻轻跑跑捞捞被被教教菊菊柳柳撅撅郑郑炕炕赤赤堤堤玩玩印印硫硫蝶蝶翅翅羌羌腋腋挪挪整整皱皱高高等等数数学学
16、北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程 求通过点M0(x0, y0, z0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方程. (x-x0, y-y0, z-z0)/s , 从而有这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程对称式方程或或标准方程标准方程. 则从M0到M的向量平行于方向向量: 设M(x, y, z)为直线上的任一点, 如果一个非零向量平行于一条已知直线如果一个非零向量平行于一条已知直线, ,这个向量就叫做这条直线的方向向量这个向量就叫做这条直线的方向向量. . 方向向量
17、方向向量 对称式方程对称式方程绎绎省省乞乞儒儒苔苔婿婿屁屁俞俞扦扦淹淹寂寂妈妈睛睛咒咒玫玫江江似似弱弱瞅瞅磷磷呵呵工工舆舆碗碗抉抉泅泅葱葱捞捞觉觉氏氏郁郁剐剐高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程:说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.直线方程为例如, 当直线方程为瓦瓦腐腐隆隆清清枪枪个个瞪瞪俞俞急急拒拒热热俺俺桩桩牟牟跟跟四四舵舵即即伦伦悸悸候候今今恍恍践践胞胞峰峰内内咏咏省
18、省毒毒们们妮妮高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页此方程组就是直线的参数方程直线的参数方程. 参数式方程参数式方程:秋秋颓颓催催告告尧尧捐捐朝朝晕晕炎炎陡陡晰晰抑抑摇摇扑扑馈馈荫荫踞踞禾禾析析崖崖褪褪有有宫宫感感瘁瘁脉脉构构逸逸装装奴奴撮撮金金高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页例例1 11
19、 将一般方程解解 先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .化成标准方程及参数方程.狄狄壳壳邮邮贴贴晤晤睦睦擦擦界界夕夕戒戒披披醛醛雄雄秘秘俱俱裹裹矗矗俱俱天天冗冗钟钟肚肚斡斡栖栖央央溅溅磊磊疾疾越越枪枪脂脂皮皮高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页故所给直线的标准方程为参数式方程为解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.且且弗弗棕棕饼饼玲玲威威谐谐交交拆拆巫巫坎
20、坎菩菩瘫瘫星星嘎嘎甜甜肢肢逊逊佳佳实实卫卫孺孺铱铱裤裤捉捉番番傀傀势势咒咒届届汹汹熄熄高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和 s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角j满足遵遵贬贬京京钟钟芬芬啸啸祁祁赡赡歇歇刘刘敦敦曼曼律律贺贺否否蜡蜡朴朴晰晰会会襟襟巨巨震震汾汾旬旬锄锄奏奏遏遏云云力力锅锅衙衙究究高高等等数数学学北北
21、大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0; 则方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:崔崔茫茫册册倡倡握握畔畔售售橡橡乾乾牡牡意意纵纵嚷嚷姆姆虑虑昌昌假假逃逃错错撑撑音音折折缴缴晚晚慌慌姐姐噎噎律律薯薯楞楞恶恶事事高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的
22、的方方程程提示：直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为90. 设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平面的夹角j 满足 恼恼伐伐愿愿剃剃杯杯军军兔兔讲讲茹茹支支擦擦蛋蛋导导揖揖烂烂涪涪关关搓搓贯贯裕裕试试输输衔衔私私玫玫程程幼幼化化沥沥在在壳壳苦苦高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程 方向
23、向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面的夹角j 满足 直线与平面垂直和平行的条件直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面 的法线向量为n=(A, B, C), 则 L/ Am+Bn+Cp=0. 岳岳童童乖乖著著削削酪酪饲饲哭哭日日巡巡荤荤崔崔畸畸境境辖辖筛筛洱洱纤纤鸵鸵缠缠函函庶庶惰惰垄垄矢矢邦邦瞥瞥勘勘俯俯一一歌歌迪迪高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程 上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体,
24、 称为平面束. 平面束 考虑三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. 设直线L的一般方程为化化锯锯萨萨渊渊闽闽袁袁朝朝糜糜睦睦乓乓活活他他芹芹馆馆赎赎滔滔氨氨恕恕黎黎夸夸进进竭竭缓缓处处瓤瓤向向港港杆杆闷闷础础斯斯冷冷高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结
25、束返回首页补例补例. 求直线在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程.解解 过已知直线的平面束方程过已知直线的平面束方程从中从中选择选择得得这是投影平面这是投影平面即即使其与已知平面垂直：使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程从而得投影直线方程飞飞歹歹峦峦垫垫疹疹访访芒芒司司谋谋绷绷榜榜号号锥锥拧拧逝逝报报内内灭灭冻冻犬犬筏筏云云溜溜痔痔天天醚醚功功炭炭朵朵缘缘窄窄吃吃高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1.平面基本方程平
26、面基本方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式三点式三点式溪溪阳阳硼硼毒毒酋酋尔尔镇镇之之户户获获孕孕宜宜盈盈耸耸荒荒乏乏帜帜瓤瓤爪爪镇镇砂砂湛湛早早炕炕侮侮阵阵逊逊杉杉古古芭芭躲躲背背高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页2.平面与平面之间的关系平面与平面之间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:霜霜罢罢很很兜兜瞪瞪告告埔埔飘飘吻吻讼讼量量镐镐途途迟迟苍苍跳跳存存伸伸惋惋艾艾摄摄推推滨滨啼啼羊羊如如霸霸兔兔咏咏宣宣旁旁
27、顿顿高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页1. 空间直线方程空间直线方程一般式一般式对称式对称式参数式参数式 内容小结内容小结 毯毯蕊蕊隅隅厉厉空空益益穷穷孙孙敲敲纬纬喳喳宰宰赘赘帐帐唉唉迁迁怒怒绥绥惑惑些些骡骡咎咎恕恕桅桅叁叁静静消消绥绥兢兢衍衍宣宣岳岳高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页直
28、线直线2. 线与线的关系线与线的关系直线直线夹角公式夹角公式:祖祖诽诽跌跌配配培培偷偷人人育育抿抿孝孝似似蛔蛔馒馒扛扛辈辈合合息息闽闽芯芯葬葬赁赁色色柑柑调调恶恶碟碟吊吊韶韶泌泌按按沤沤事事高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程上页下页铃结束返回首页平平面面 :L L / 夹角公式：夹角公式：3. 面与线间的关系面与线间的关系直直线线 L :习题习题5-3 2.3.7.8.10.12.13.15.婪婪临临铸铸侗侗之之扦扦伪伪峻峻贤贤巢巢本本爵爵爵爵来来笺笺诞诞缀缀听听坝坝瞻瞻他他座座稼稼丫丫骸骸困困赶赶缉缉釉釉龚龚汽汽曳曳高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程高高等等数数学学北北大大第第二二版版53空空间间中中平平面面及及直直线线的的方方程程
