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1、我是小精灵我是小精灵小多多小多多 来来了了我叫小马虎我叫小马虎 例例1、 从长沙去广州，可乘火车，从长沙去广州，可乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。如果某也可以乘汽车，还可以乘飞机。如果某天中，天中，从长沙去广州从长沙去广州有有5班火车、班火车、4班班汽汽车和车和3班飞机班飞机。那么这一天。那么这一天从长沙去广从长沙去广州可以州可以有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？乘火车有乘火车有5种走法，种走法，乘汽车有乘汽车有4种走法，种走法， 5+4+3=12，乘飞机有乘飞机有3种走法，种走法， 一、智慧开启亮亮亮一、智慧开启亮亮亮 完成一件工作共有完成一件工作共有N类不同的方法，类不同的方法，
2、在第一类方法中有在第一类方法中有m1种不同的方法，在种不同的方法，在第二类方法中有第二类方法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第N类方法中有类方法中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件工作共有那么完成这件工作共有Nm1m2m3mn种不同方法。种不同方法。秘诀：加法原理就是一步到位秘诀：加法原理就是一步到位加法原理加法原理 ： 例例2、由甲村去乙村有、由甲村去乙村有3条道路，由乙村去丙村有条道路，由乙村去丙村有4条道路。条道路。甲村经乙村到丙村共有多少种不同的走法？甲村经乙村到丙村共有多少种不同的走法？所有走法所有走法: A1 B1 A2 B1 A3 B1 A1 B2 A2
3、B2 A3 B2 A1 B3 A2 B3 A3 B3A1 B4 A2 B4 A3 B4 由甲村去乙村由甲村去乙村有有3种走法，种走法，由乙村去丙村由乙村去丙村有有2种走法，种走法，所以从甲村到乙村再到丙村所以从甲村到乙村再到丙村 ，共有，共有34=12种不同的走种不同的走法。法。 完成一件工作共需完成一件工作共需N个步骤：完成第一个个步骤：完成第一个步骤有步骤有m1种方法，完成第二个步骤有种方法，完成第二个步骤有m2种方法，种方法，完成第，完成第N个步骤有个步骤有mn种方法，种方法，那么，完成这件工作共有，那么，完成这件工作共有， 秘诀：乘法原理就是分步到位秘诀：乘法原理就是分步到位乘法原理乘
4、法原理 ： 例例3、有、有1分、分、2分、分、5分币各一枚，可以从中组分币各一枚，可以从中组成多少种币值的人民币成多少种币值的人民币?解法解法1: 含有含有1分的：分的： 1+2=3 解法解法2： 1+5=6 由由2种分币组成种分币组成 ： 322=3 1+2+5=8 由由3种分币组成种分币组成 ： 1 含有含有2分的：分的： 2+5=7 共共4种种 共共4种种 二、探宝揭秘新新新二、探宝揭秘新新新 例例4、若取、若取1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号，可以得到多少个不同的乘这四个数中间，任意插入乘号，可以得到多少个不同的乘积积
5、(最少插一个乘号最少插一个乘号)? 1 2 3 4 插入插入1个乘号：个乘号：1 234= 234， 1234=408 1234=492 插入插入2个乘号：个乘号：1234=68，1234=144 1234=92 插入插入3个乘号：个乘号： 1 2 3 4=24 用印有数字用印有数字0、2、4、7、8的五张卡片能组成多少不的五张卡片能组成多少不同的三位数？能组成多少个不同的三位偶数？同的三位数？能组成多少个不同的三位偶数？ 由乘法原理，共可组成由乘法原理，共可组成4 44 43=483=48（个）不同的三位数。而要组成（个）不同的三位数。而要组成一个三位偶数，其个位只能取一个三位偶数，其个位只
6、能取0 0、2 2、4 4、8 8，而这又受到百位是否取到，而这又受到百位是否取到2 2、4 4、8 8的影响，因此必须分情况讨论。第一类，的影响，因此必须分情况讨论。第一类， 百位取百位取7 7（没有取到（没有取到2 2、4 4、8 8），有），有1 1种方法；个位取种方法；个位取0 0、2 2、4 4、8 8中的任意一个，有中的任意一个，有4 4种方法；十位取种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡片外的剩余除了百位和个位已用去两张卡片外的剩余3 3张卡片中的任意一张，有张卡片中的任意一张，有3 3种种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡片外的剩余方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡片
7、外的剩余3 3张卡片中的任意张卡片中的任意一张，有一张，有3 3种方法。种方法。 【小小结结】分分步步也也是是进进行行“不不重重复复、不不遗遗漏漏”计计数数的的基基本本方方法法，此此时时应应采采用用乘乘法法原原则则。分分步步时时要要注注意意两两大大要要点点：一一是是不不同同步步骤骤的的先先后后顺顺序序会会影影响响到到解解题题的的难难易易度度，要要认认真真思思考考，不不可可随随意意（比比如如本本题题究究竟竟先先确确定定百百、十十、个个位位中中的的哪哪一一个个，会会直直接接影影响响到到解解题题过过程程）；二二是是当当某某一一步步中中的的选选取取方方法法受受到到前前一一步步中中的的选选取取方方法法的
8、的影影响响时时，就就必必须须对对前前一一步步进进行行分分类类，从从而而将将加加法法原原理理与与乘乘法法原原理理结结合合起起来来使使用用。 小马虎要买一本数学书，一本语文书，一本英语小马虎要买一本数学书，一本语文书，一本英语书，在书店里他发现有书，在书店里他发现有4种数学书，种数学书，3种语文书，种语文书，5种英语书可供选择，他有多少种不同的选择方法？种英语书可供选择，他有多少种不同的选择方法？解：解：435=60（种）（种）答：他有答：他有60种不同的选择方法。种不同的选择方法。三、开心闯关想想想三、开心闯关想想想第一关：第一关：基础巩固基础巩固 7个相同的球放入个相同的球放入A、B、C、D、
9、E五个不同的盒内，五个不同的盒内，若要求每个盒内都不空，问共有多少种不同的方法？若要求每个盒内都不空，问共有多少种不同的方法？ 解：每盒至少放一球，余下的解：每盒至少放一球，余下的2球可任意放入球可任意放入5 个个盒子中，共有盒子中，共有5+4+3+2+1=15（种）（种）答：共有答：共有15种不同的方法种不同的方法 甲和乙玩掷骰子游戏。骰子是一个小正方体，每一个甲和乙玩掷骰子游戏。骰子是一个小正方体，每一个面上分别刻有面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，骰子掷出后，每个面点，骰子掷出后，每个面向上的可能性是一样的。现有两枚骰子，一起掷出，若两向上的可能性是一样的。现有两枚骰子，一起掷出，若
10、两枚骰子向上的面上的点数和为枚骰子向上的面上的点数和为7，则甲胜：若点数和为，则甲胜：若点数和为8，则乙胜。问甲乙谁获胜的可能性大？则乙胜。问甲乙谁获胜的可能性大？解：和为解：和为7的情况共有的情况共有6种：种：1+6，2+5，3+4，4+3， 5+2=7,6+1； 和为和为8的情况共有的情况共有5种：种：2+6，3+5，4+4，5+3， 6+2； 故甲获胜的可能性大故甲获胜的可能性大答：甲获胜的可能性大。答：甲获胜的可能性大。第二关：第二关：小试牛刀小试牛刀 有有10对夫妇共对夫妇共20人参加一次春节晚会，其中每位男宾都人参加一次春节晚会，其中每位男宾都与除了自己夫人以外的其他每个人握一次手
11、，但女宾与女宾与除了自己夫人以外的其他每个人握一次手，但女宾与女宾之间不是握手而是拥抱，问晚会上这之间不是握手而是拥抱，问晚会上这20个人之间共互相握了个人之间共互相握了多少次手？多少次手？解：解：18+17+16+1=135（次）（次）答：晚会上这答：晚会上这20个人之间共互相握了个人之间共互相握了135次手？次手？ 一本书有一本书有366也，页码编号为也，页码编号为1，2，3，366,问数字问数字3在页码中共出现了多少次？在页码中共出现了多少次？解：解：3出现在个位上，有出现在个位上，有10+10+10+10+7=37（次）；（次）； 3出现在十位上，有出现在十位上，有10+10+10+1
12、0=40（次）；（次）； 3出现在百位上，有出现在百位上，有66+1=67（次）。共出现（次）。共出现144次。次。 答：数字答：数字3在页码中共出现了在页码中共出现了144次。次。解解: 当分子为当分子为1时，分母取从时，分母取从2到到59的自然数，都能形成真分的自然数，都能形成真分数，有数，有58个。个。 当分子为当分子为2时，分母取从时，分母取从3到到59但不是但不是2的倍数的自然数，的倍数的自然数，有有59-3+1=57，572=281，57-28=29 个个 。 当分子为当分子为3时，分母取从时，分母取从4到到59但不是但不是3的倍数的自然数，的倍数的自然数，有有59-4+1=56，
13、563=182, 56-18=38 个。个。分子小于分子小于6，分母小于，分母小于60的不可约真分数有多少个？的不可约真分数有多少个？第三关：自我提高第三关：自我提高 当分子为当分子为4时，分母取从时，分母取从5到到59但不是但不是2、4的倍数的自然的倍数的自然数，有数，有59-5+1=55，552=271， 55-27=28 个。个。当分子为当分子为5时，分母取从时，分母取从6到到59但不是但不是5的倍数的自然数，的倍数的自然数，有有59-6+1=54，545=104， 54-10=44 个。个。 所求不可约真分数共有所求不可约真分数共有58+29+38+28+44=197个。个。第四关：思
14、维碰撞第四关：思维碰撞 用印有数字用印有数字0、2、4、7、8的五张卡片能组成多少不的五张卡片能组成多少不同的三位数？能组成多少个不同的三位偶数？同的三位数？能组成多少个不同的三位偶数？解解:由乘法原理，共可组成由乘法原理，共可组成443=48（个）不同的三位数。而（个）不同的三位数。而要组成一个三位偶数，其个位只能取要组成一个三位偶数，其个位只能取0、2、4、8，而这又受，而这又受到百位是否取到到百位是否取到2、4、8的影响，因此必须分情况讨论。第的影响，因此必须分情况讨论。第一类，一类， 百位取百位取7（没有取到（没有取到2、4、8），有一种方法；个位），有一种方法；个位取取0、2、4、8
15、中的任意一个，有中的任意一个，有4种方法；十位取除了百位种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡片外的剩余和个位已用去两张卡片外的剩余3张卡片中的任意一张，有张卡片中的任意一张，有3种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡片外的剩余种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡片外的剩余3张卡片中的任意一张，有张卡片中的任意一张，有3种方法。种方法。由加法原理和乘法原理，共可组成由加法原理和乘法原理，共可组成143+333=39（个）不同（个）不同的三位偶数。的三位偶数。 用四种不同颜色给右图用四种不同颜色给右图5个区域染色，每个区域一种颜色，个区域染色，每个区域一种颜色， 相邻区域不同的颜色，问共
16、有多少种不同的染色方法？相邻区域不同的颜色，问共有多少种不同的染色方法？解：方法一：若按解：方法一：若按ABCDE的顺序染的顺序染 色。则染色。则染C时必须分类，每一步时必须分类，每一步 的染色方法下表所示：的染色方法下表所示： 故共有不同的染色方法数为：故共有不同的染色方法数为： 43（122+212）=96 方法二：若按方法二：若按AEDBC的顺序染色，则每一步的染色方法的顺序染色，则每一步的染色方法 数一次为数一次为4、3、2、2、2，故共有不同的染色方法数为：，故共有不同的染色方法数为： 43222=96答：共有答：共有96种不同的染色方法。种不同的染色方法。1 1、如果完成一件事有几
17、类不同的方法，只要选择任一类方法中的一种、如果完成一件事有几类不同的方法，只要选择任一类方法中的一种方法，这件事就可以完成，而且其中任何两种方法都不相同，那么，完成方法，这件事就可以完成，而且其中任何两种方法都不相同，那么，完成这件事的方法总数，就等于各类方法的总和。这个原理就称为加法原理。这件事的方法总数，就等于各类方法的总和。这个原理就称为加法原理。2 2、如果完成某一件事要分几步进行，那么，完成这件事的方法总数，、如果完成某一件事要分几步进行，那么，完成这件事的方法总数，就等于完成各步方法数的乘积。这个原理就称为乘法原理。就等于完成各步方法数的乘积。这个原理就称为乘法原理。3 3、分步也
18、是进行、分步也是进行“不重复、不遗漏不重复、不遗漏”计数的基本方法。分步时要注意计数的基本方法。分步时要注意两大要点：一是不同步骤的先后顺序会影响到解题的难易度，要认真思考，两大要点：一是不同步骤的先后顺序会影响到解题的难易度，要认真思考，不可随意；二是当某一步中的选取方法受到前一步中的选取方法的影响时，不可随意；二是当某一步中的选取方法受到前一步中的选取方法的影响时，就必须对前一步进行分类，从而将加法原理与乘法原理结合起来使用。就必须对前一步进行分类，从而将加法原理与乘法原理结合起来使用。 （1）第）第71页，第页，第1、2题题 （2）第第73页，第页，第5、6题题四、拓展视野妙四、拓展视野妙妙妙妙妙五、勇夺高峰闪闪闪五、勇夺高峰闪闪闪 李四光小学举行六李四光小学举行六一节庆祝活动，小精灵他们班排行一节庆祝活动，小精灵他们班排行9个同学参加小合唱，个同学参加小合唱， 如果这如果这9个同学都站成一排，想一想：共有多少种不同的个同学都站成一排，想一想：共有多少种不同的站法？站法？ 如果这如果这9个同学站成两排：前排站个同学站成两排：前排站4人，后排站人，后排站5人，共有人，共有多少种不同的站法？多少种不同的站法？解：解：987654321=362880（种）（种） （9876）（54321）=362880（种）（种）轻松学数学快乐在海卫
