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1、 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用1空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线8.6 多元函数微分学的多元函数微分学的几何应用几何应用全微分的几何意义全微分的几何意义小结小结 思考题思考题 作业作业第第8 8章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用2设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均式中的三个函数均可导可导. 1. 空间曲线的方程为参数方程空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 8.6 多元函数微分学的几何应
2、用多元函数微分学的几何应用3考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为切线的过程切线的过程 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用4曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量切向量法平面法平面切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量.过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.平面的点法式平面的点法式方程方程 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用5解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程例例即即 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用6设曲线直角坐标方程为设
3、曲线直角坐标方程为法平面方程为法平面方程为2. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果, 在在M(x0, y0, z0)处处,令令切线方程为切线方程为x为参数为参数,两个柱面两个柱面 的交线的交线 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用7例例 在抛物柱面在抛物柱面 与与 的交线上的交线上, x为参数为参数,于是于是 解解所以交线上与所以交线上与对应点的切向量为对应点的切向量为:交线的参数方程为交线的参数方程为取取求对应求对应 的点处的的点处的切向量切向量. 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用确定了
4、隐函数确定了隐函数 两边分别对两边分别对(此曲线方程仍可用方程组此曲线方程仍可用方程组表示表示.)x求全导数求全导数:3. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为两个曲面两个曲面的交线的交线法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 利用利用1.结果结果, 两边分别对两边分别对x求全导数求全导数 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用解法解法1 直接用公式直接用公式;令令 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几
5、何应用法平面方程法平面方程切线方程切线方程所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用解法解法2 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用15解解Ex 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.法一法一 直接用公式直接用公式.令令代入公式代入公式, 得切线方程得切线方程令令 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用16代入公式代入公式, 得法平面方程得法平面方程法平面方程公式法平面方程公式
6、: 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用17切线方程切线方程 解解 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导求导, 得得法平面方程法平面方程例例 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程. 推导法推导法法二法二即即 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用18今在曲面今在曲面上任取一条上任取一条1. 设曲面设曲面的方程为的方程为F(x, y, z) = 0的情形的情形隐式方程隐式方程二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线函数函数F(x, y, z)的偏导数在该点连续且不同的偏导数在该点连续且不同点点M 对应于参数对应于参数 不全为零不全为零.过点过点
7、M 的的曲线曲线, 设其参数设其参数方程为方程为时为零时为零.过点过点M 的的曲线曲线,过点过点M 的的曲线曲线, 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用19 由于曲线由于曲线在曲面在曲面上上, 所以所以 在恒等式两端对在恒等式两端对t 求全导数求全导数, 并令并令 则得则得 若记向量若记向量 曲线曲线在点在点M处切线的方向向量记为处切线的方向向量记为 则则式可改写成式可改写成即向量即向量 垂直垂直. 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用20 因为曲线因为曲线是曲面是曲面上过点上过点 M 的的任意任意一条一条所有这些曲线在点所有这些曲线在点 M 的切线都与
8、同一向量的切线都与同一向量垂直垂直, 因此这些切线必共面因此这些切线必共面,称为曲面称为曲面在点在点M的的过点过点M且垂直于切且垂直于切法线法线, ,又是法线的方向向量又是法线的方向向量.向量向量称为曲称为曲法向量法向量. .切平面切平面,由切线形成的这一由切线形成的这一平面平面,平面的直线称为曲面平面的直线称为曲面在在点点M的的面面在在点点M的的曲线曲线, 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用21曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量处的法向量:切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为所以曲面所以曲面上在点上在点M的的 8.6 多元函数微分学的几何应用多元
9、函数微分学的几何应用22解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程 例例切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量处的法向量: 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用23曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为令令或或显式方程显式方程2. 曲面方程形为曲面方程形为z = f (x, y)的情形的情形 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,
10、切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2) 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用27 例例 证证的所有的所有切平面都与一常向量平行切平面都与一常向量平行.则曲面在任一点处的则曲面在任一点处的法向量法向量:则则即即所以所以, 所有的切平面均与所有的切平面均与平行平行.曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:取取 8.6 多元函数微分学的几何应
11、用多元函数微分学的几何应用284*. 曲面方程为参数方程的情形曲面方程为参数方程的情形(u,v为双参变量为双参变量)求求(u0, v0 )对应的点对应的点M0(x0, y0 , z0)处的法向量处的法向量 固定固定v = v0, 让让u变变,它在它在M0处的切向量为处的切向量为曲面曲面的参数方程为的参数方程为 得到曲面得到曲面上一条所谓的上一条所谓的u 曲线曲线双双切切线线法法 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用29它在它在M0处的切向量为处的切向量为同样同样, 固定固定u = u0, 让让v变变,得到另一条所谓的得到另一条所谓的v曲线曲线,曲面曲面的法向量的法向量 同时
12、与同时与 垂直垂直, 故有公式故有公式 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用30 例例求马鞍面求马鞍面 对应点处的切平面方程对应点处的切平面方程.解解u = 1 , 得曲线得曲线, 即即v = 1, 它们在点它们在点(u , v) = (1, 1)处的切向量分别为处的切向量分别为马鞍面马鞍面在曲面上分别令在曲面上分别令 切平面的法向量为切平面的法向量为切平面方程为切平面方程为双切线法双切线法 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用31一元函数微分的一元函数微分的(如图如图)三、全微分的几何意义三、全微分的几何意义对应的增量对应的增量.增量时增量时;当当y是
13、曲线的纵坐标是曲线的纵坐标dy就是就是切线切线纵坐标纵坐标几何意义几何意义 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用32因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程处的切平面方程:全微分的几何意义全微分的几何意义表示表示平面上的点的竖坐标的增量平面上的点的竖坐标的增量.切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量曲面曲面z = f (x, y)在点在点(x0, y0, z0)处的切处的切z = f (x, y)在点在点(x0, y0)的全微分的全微分,切平面切平面曲面曲面z = f (x, y)0P函数函数z = f (x, y)在点在点(x0, y0)的全微分的全微分 8.6 多
14、元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用33其中其中法向量法向量表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的, 即使得它与即使得它与z 轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是是锐角锐角, 则法向量的则法向量的方向余弦为方向余弦为 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用34求旋转抛物面求旋转抛物面因为因为解解而而向上向上的法向量应为的法向量应为:在任意点在任意点在任意点在任意点P(x, y, z)处处向上向上的法向量的法向量(即与即与z轴夹角为轴夹角为锐角的法向量锐角的法向量).法向量法向量 8.6 多元函数微分学的
15、几何应用多元函数微分学的几何应用35研究生考题研究生考题,填空填空,3分分解解令令的旋转面在点的旋转面在点处的指向外侧的单位处的指向外侧的单位法向量为法向量为( ).旋转面方程为旋转面方程为 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用36空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线三、小结三、小结注意注意: 向量的方向余弦的向量的方向余弦的符号符号.当空间曲线方程为一般式时当空间曲线方程为一般式时,采用采用推导法推导法、公式代入公式代入求法平面可求法平面可空间曲面三种不同形式方程以及空间曲面三种不同形式方程以及求法求法. 8.6 多元函数微分学
16、的几何应用多元函数微分学的几何应用37作业作业习题习题8.68.6(348(348页页) ) 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用38设曲线设曲线证证因原点因原点(0,0,0)在法平面上在法平面上,即即于是于是证明此曲线必在以原点为中证明此曲线必在以原点为中的的法平面都过原点法平面都过原点,在任一点在任一点心的某球面上心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为曲线过该点的法平面方程为故有故有任取曲线上一点任取曲线上一点 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用39上求一点的坐标上求一点的坐标, 使此点处的切平面平行于使此点处的切平面平行于yOz平面平面.解解 设
17、所求点为设所求点为(x, y, z),则切平面的法向量为则切平面的法向量为由题意由题意,由此得由此得所求之点所求之点: 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用40 例例 证证则法向量为则法向量为切平面方程切平面方程为为设设(x0, y0, z0)是曲面上任一点是曲面上任一点, 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用41所以这些平面都过所以这些平面都过原点原点. 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用42考研数学考研数学(一一), 3分分的切平面的方程是的切平面的方程是( ). 解解则法向量为则法向量为切平面方程切平面方程为为即即平行平行设设(x0, y0, z0)是曲面上一点是曲面上一点, 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用43令令 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程. 例例
