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1、第五节 幂级数10-5 10-5 幂级数幂级数定义定义: : 幂级数是一类特殊的，十分重要的函数项级数。 幂级数是多项式的推广，它的敛散性具有特别的性质。证明：证明：1 1，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的收敛半径与收敛域引理:(Abel 引理)（如果数列的极限存在，则该数列有界）（如果数列的极限存在，则该数列有界）由由(1)结论结论,几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域由由Abel 引理，可得定理1：定义定义: : 具有如上性质的具有如上性质的正数正数 R 称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径。收敛区间连同可能收敛的端点称为幂级数的收敛区间连同可能收敛的端点
2、称为幂级数的收敛域收敛域。规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?开区间开区间 (-R, R) (-R, R) 称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间。证明：证明：由比值审敛法由比值审敛法,定理证毕定理证毕.例例2 2：求下列幂级数的收敛半径，：求下列幂级数的收敛半径，收敛收敛区间及收敛域。区间及收敛域。解：解：该级数收敛。该级数收敛。该级数发散。该级数发散。解：解：缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数收敛,级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间与收敛域均为原级数的收敛区间与收敛域均为注意：在求注意：在求缺少偶次幂或奇次幂项的幂级数的
3、收缺少偶次幂或奇次幂项的幂级数的收敛半径时，不能直接用敛半径时，不能直接用幂级数的系数的幂级数的系数的比值或根比值或根值，而应从常数项正项级数的比值判定法出发求值，而应从常数项正项级数的比值判定法出发求收敛半径。收敛半径。2 2，幂级数的性质，幂级数的性质(1) 加减法加减法(其中其中(2) 乘法乘法(其中其中柯柯西西乘乘积积定理定理4:4: 利用幂级数的内闭一致收敛性幂级数的内闭一致收敛性 ，即可导出幂级数和函数的连续性，可积性及可微性。证明：注：逐项积分后的幂级数收敛半径不改变。注：逐项积分后的幂级数收敛半径不改变。定理定理7:7:（逐项求导数）（逐项求导数） 证明：证明：于是于是解解:两边积分得两边积分得思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定. .例：例：它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,1,但它们的收敛域分别是：但它们的收敛域分别是：
