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1、第二单元第二单元函函 数数 3求函数的解析式求函数的解析式1掌握求函数解析式的常用方法掌握求函数解析式的常用方法.（1）换元法或配凑法；换元法或配凑法；（2）待定系数法；）待定系数法；（3）构造方程法。）构造方程法。2本节题型本节题型 函数的解析式问题函数的解析式问题 求下列函数的解析式：求下列函数的解析式：(1)已知二次函数满足已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求求f(x);(2)已知已知2f(x)+f(-x)=3x+2，求，求f(x).例例1根据条件可灵活运用不同的方法求解根据条件可灵活运用不同的方法求解.3 (1)(方法一方法一)待定系数法待定系数法.设设f(x)=ax2
2、+bx+c(a0),则则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c =9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.又又f(3x+1)=9x2-6x+5,所以所以9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5,4比较两端的系数，比较两端的系数，得得 9a=9 6a+3b=-6 ， a+b+c=5所以所以f(x)=x2-4x+8.(方法二方法二)换元法换元法.令令t=3x+1,则则x= ,代入代入f(3x+1)=9x2-6x+5中，中，得得f(t)=9( )2-6 +5=t2-4t+8, 所以所以f(x)=x2-4x+8.a=1b=-4 ,c=8解得解得5（方法三）配凑法（方法三）
3、配凑法.因为因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8，所以所以f(x)=x2-4x+8.(2)直接列方程组求解直接列方程组求解.由由2f(x)+f(-x)=3x+2,用用-x代换此式中的代换此式中的x,得得2f(-x)+f(x)=-3x+2,解方程组解方程组 2f(x)+f(-x)=3x+2 2f(-x)+f(x)=-3x+2,得得f(x)=3x+ .6练一练：练一练： ( (1 1) )已知已知f(x)f(x)是一次函数，且满足是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+173f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求，求f f（x x）；）；（2 2）已知）
4、已知（3 3）已知）已知f f( (x x) )满足满足2 2f f( (x x)+ =3)+ =3x x, ,求求f f( (x x).). 问题（问题（1 1）由题设）由题设知知f f（x x）为）为一一次函数，次函数， 故可先设出故可先设出f f（x x）的表达式，用待定系数法求解；）的表达式，用待定系数法求解； 问题（问题（2 2）已知条件是一复合函数的解析式，因此）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（可用换元法；问题（3 3）已知条件中含）已知条件中含x x， ，可用，可用构造构造方程组法求解方程组法求解. . 思维启迪思维启迪7 函函数数的的解解析析式式是是函函数数
5、与与自自变变量量之之间间的的一一种种对对应应关关系系，是是函函数数与与自自变变量量之之间间建建立立的的桥桥梁梁.求求函函数数的的解解析析式式是是高高考考中中的的常常见见问问题题，其其特特点点是是类类型型活活，方方法法多多.求求函函数数的的解解析析式式常常有有以以下下几几种种方方法法：如如果果已已知知函函数数ff(x)的的表表达达时时，可可用用换换元元法法或或配配凑凑法法求求解解；如如果果已已知知函函数数的的结结构构时时，可可用用待待定定系系数数法法求求解解；如如果果所所给给式式子子含含有有f(x)、f( )或或f(x)、f(-x)等等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解形式，可构造另一方程，
6、通过解方程组求解.8解解 （1 1）设）设f f（x x）=ax+b=ax+b（a0a0），），则则3f3f（x+1x+1）-2f-2f（x-1x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17=ax+b+5a=2x+17，a=2a=2，b=7b=7，故，故f f（x x）=2x+7.=2x+7. (1)已知已知f(x)是一次函数，且满足是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求，求f（x）；）；9：换元法换元法：配凑法配凑法（2）已知）已知10（3）已知）已知f(x)满足满足2f(x)+ =3x,求求f
7、(x).11题型三题型三 分段函数问题分段函数问题(1)已知函数已知函数 f(x)= f (x+2)(x-1) 2x+2 (-1x1) 2x-4 (x1)，则则f f(-2008)= ；(2) f(x)= -x+1(x0) x-1(x0),则不等式则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是的解集是 .12(1)已知函数已知函数 f(x)= f (x+2)(x-1) 2x+2 (-1x1) 2x-4 (x1)，则则f f(-2008)= ；0(1)ff(-2008)=ff(-2006)=ff(-2)=ff(0)=f(2)=22-4=0.13 (2) f(x)= -x+1(x0) x-1(x0)
8、,则则x+(x+1)f(x+1)1的解集是的解集是 .x|x -12 (2)当当x+10时，时，f(x+1)=-(x+1)+1=-x，则原不等式可化为则原不等式可化为 x-1 x+(x+1)(-x)1,即即x-1;当当x+10时，时，f(x+1)=(x+1)-1=x，则原不，则原不等式可化为等式可化为 x-1 x+(x+1)x1,即即-1x-1+ .综合综合,得原不等式的解集为得原不等式的解集为x|x -1.214(3)(3) 设设 则则f f g g(3)=_,(3)=_, =_.=_. 7 7解析解析 g(3)=2, fg(3)=f(2)=32+1=7，15分分段段函函数数的的定定义义域域
9、是是各各段段定定义义域域的的并并集，值域是各段值域的并集；集，值域是各段值域的并集；分分段段函函数数求求解解时时，一一定定要要注注意意自自变变量量的取值范围，从而确定解析式；的取值范围，从而确定解析式；分分类类讨讨论论时时，各各种种条条件件下下的的解解集集一一定定要要与与各各自自的的条条件件取取交交集集，最最后后所所有有的的解集取解集取并集并集.16 已知函数对任意的实数已知函数对任意的实数a、b,都都有有f(ab)=f(a)+f(b)成立成立. (1)求求f(0),f(1)的值；的值； (2)求证：求证：f( )+f(x)=0(x0); (3)若若f(2)=m,f(3)=n(m、n均为常数均
10、为常数)，求，求f(36)的值的值. 本本题题是是一一个个抽抽象象函函数数问问题题，直直接接求求函函数数的的解解析析式式是是不不可可能能的的，需需通通过过取取特殊值来解决特殊值来解决.17 (1)不妨设不妨设a=b=0.由由f(ab)=f(a)+f(b),得得f(0)=0.设设a=b=1,得得f(1)=0.(2)证明：当证明：当x0时，因为时，因为x ，于是于是f(1)=f(x )=f(x)+f( )=0,所以所以f( )+f(x)=0.(3)因为因为f(2)=m,f(3)=n,所以所以f(36)=f(22)+f(32)=f(22)+f(33) =2f(2)+2f(3)=2(m+n).18 1
11、.已已知知函函数数的的解解析析式式求求其其定定义义域域，只要使解析式有意义即可只要使解析式有意义即可. 如如分分式式的的分分母母不不等等于于零零，开开偶偶次次方方的的被被开开方方数数不不小小于于零零，对对数数的的真真数数大大于于零且底数大于零而不等于等等零且底数大于零而不等于等等. 19 2.求求函函数数的的解解析析式式的的主主要要方方法法有有：待待定定系系数数法法、换换元元法法、配配方方法法、函函数数方方程程法法、赋赋值值法法等等.当当已已知知函函数数为为某某类类基基本本初初等等函函数数时时用用待待定定系系数数法法，已已知知复复合合函函数数的的问问题题时时用用换换元元法法或或配配凑凑法法，抽
12、抽象象函函数数问问题题一一般般用用赋赋值值法法或或函函数方程法数方程法. 3.分分段段函函数数是是指指自自变变量量在在取取值值情情况况不不同同时时，对对应应法法则则不不同同.分分段段函函数数的定义域为自变量的所有取值的并集的定义域为自变量的所有取值的并集.20 抽抽象象函函数数由由于于只只给给出出函函数数的的某某些些性性质质，却却不不知知道道函函数数的的具具体体解解析析式式，因因而而成成为为函函数数问问题题中中的的一一个个难难点点，但但这这类类问问题题能能很很好好地地考考查查学学生生的的思思维维能能力力.解解决决抽抽象象函函数数问问题题，要要全全面面应应用用其其所所具具有有的的性性质质展展开开解解题题思思路路，通通常常的的方方法法是是赋赋值值法法，并并善善于于根根据据题题目目条条件件寻寻找找该该函函数数的的一一个个原原型型，帮帮助助探探求求结结论论，找找到解题的思路和方法到解题的思路和方法.21
