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1、14.3 不定积分不定积分的概念与性质的概念与性质不定积分的概念不定积分的概念基本积分公式基本积分公式不定积分的性质不定积分的性质小结小结 思考题思考题 作业作业 indefinite integral第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分2积积分分变变量量积积分分常常数数被被积积函函数数定义定义4.3被被积积表表达达式式不定积分不定积分. .的的全部原函数的一般表达式全部原函数的一般表达式称为函数称为函数f (x)的的记为记为积积分分号号设设F(x)是是f (x)的任的任一原函数一原函数, 则则f (x) 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、不定积分的概念一、不定积
2、分的概念(1)不定积分定义不定积分定义3 由不定积分的定义由不定积分的定义 结论结论微分微分运算与运算与求不定积分求不定积分的运算是的运算是如如或或或或互逆互逆互逆互逆的的. 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4由不定积分的概念可以明确两条由不定积分的概念可以明确两条:(1) 不定积分的最后答案中一定带有任意常不定积分的最后答案中一定带有任意常数项数项;(2) 检查不定积分的答案是否正确检查不定积分的答案是否正确, 进行验证进行验证.例如例如?应能根据应能根据判断上述答案是否正确的判断上述答案是否正确的.应用求导应用求导 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质5例例 解
3、解解解例例 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质6(2)不定积分的几何意义不定积分的几何意义曲线曲线称为称为f (x)的的积分曲线积分曲线.移动移动, 得出的无穷多条曲线得出的无穷多条曲线, 称为称为f (x)的的积分积分y = F(x)的图形是的图形是x, y平面的一条曲线平面的一条曲线,将曲线将曲线 y = F(x)向平行于向平行于x轴的方向任意上下轴的方向任意上下族族. 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质7 由于不论常数由于不论常数C 取何值取何值,同一同一x处其导数等于处其导数等于f (x),各切线相互平行各切线相互平行.有积分曲线族有积分曲线族即即x 4.3
4、 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质8解解故所求曲线方程为故所求曲线方程为(3) 积分常数的确定积分常数的确定求通过点求通过点 且其切线斜率为且其切线斜率为2x曲线曲线.例例的曲线的曲线族族为为有有 在求原函数的实际问题中在求原函数的实际问题中, 有时要从有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数的一个原函数, 这时应根据这个特性确定这时应根据这个特性确定常数常数C的值的值, 从而找出需要的原函数从而找出需要的原函数. 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质9解解例例所以所以其中其中C为任意常数为任意常数.路程函数为路程函数为
5、4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质10(原函数存在定理原函数存在定理)连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.则它必有原函数则它必有原函数.(4) 原函数存在问题原函数存在问题哪些函数有原函数哪些函数有原函数又如何求其原函数又如何求其原函数原函数是否必为连续函数原函数是否必为连续函数 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质11证证所以所以, 等式成立等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况)因为因为 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质二、不定积分的性质二、不定积分的性质性质性质4.6 设设f (x)及及g(x)
6、的的原函数存在原函数存在, 则则12性质性质4.6与与性质性质4.7称为称为 线性性质线性性质. . 思考思考: k = 0, 等式是否成立等式是否成立?k是非零常数是非零常数, 则则性质性质4.7 设设f (x)的的原函数存在原函数存在, 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质13实例实例启示启示 能否根据求导公式得出积分公式能否根据求导公式得出积分公式结论结论求导公式求导公式积分公式积分公式.三、基本积分公式三、基本积分公式积分运算和微分运算是互逆的积分运算和微分运算是互逆的, 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质14基基本本积积分分公公式式说明：说明：简写为简写为
7、4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质所以所以(1)(2)(3)15 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质(4)基基本本积积分分公公式式(5)(6)(7)(8)(9)16熟熟 记记 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质(10)基基本本积积分分公公式式(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)17例例 求积分求积分解解出一些简单函数的不定积分出一些简单函数的不定积分, 称为称为利用利用不定积分的性质不定积分的性质和和基本积分公式基本积分公式,可求可求由公式由公式直接积分法直接积分法. 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质18例例 求积分
8、求积分解解 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质19例例 求积分求积分解解 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质20 求积分求积分解解 称为称为分项积分法分项积分法.分项积分法分项积分法性质计算积分性质计算积分,上两例是将被积函数作恒等变形上两例是将被积函数作恒等变形, 利用线性利用线性 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质21例例 求积分求积分解解 以上几例中的被积函数都需要进以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形行恒等变形, 才能使用基本积分表才能使用基本积分表. 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质22解解例例 4.3 不定积分的概念与性质
9、不定积分的概念与性质23解解所求曲线方程为所求曲线方程为已知一曲线已知一曲线 y = f (x)在点在点( x, f (x)处的处的例例切线斜率为切线斜率为且此曲线与且此曲线与y轴的交点轴的交点为为(0,5), 求此曲线的方程求此曲线的方程. 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质所以所以因为因为因为因为所以所以24 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质25熟记熟记基本积分公式基本积分公式不定积分的性质不定积分的性质不定积分的概念不定积分的概念求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结四、小结不定积分的几何意义不定积分的几何意义 4.3 不定积分的概念与性质
10、不定积分的概念与性质26应先将绝对值符号化掉应先将绝对值符号化掉, 即将即将| x |化作分段化作分段思考题思考题解解所以原函数存在所以原函数存在.连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.函数函数: 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质27因此在因此在x = 0处必连续处必连续,由于由于原函数可导原函数可导, 所以所以原函数必定连续原函数必定连续,于是有于是有故故 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质其中其中C1, C2为任意常数为任意常数.28作业作业习题习题4.3(1044.3(104页页) ) 4.3 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质1.(1)(5)(8)(9)(11)(12)(13)(14)1.(1)(5)(8)(9)(11)(12)(13)(14)(15)(17)(19)(20)(21)(22) 2.(15)(17)(19)(20)(21)(22) 2.
