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1、第三章第三章 多维随机变量多维随机变量 一一般般地地，我我们们称称n个个随随机机变变量量的的整整体体X=(X1, X2, ，Xn)为为n维维随随机机变变量量或或随随机向量机向量. 3.1二维分布函数二维分布函数定义性质2.0 F(x,y) 11. F(x,y)是变量是变量x,y的单调不减函数。的单调不减函数。对于任意对于任意y,x1x2,F(x1,y) F(x2,y)对于任意对于任意x,y1X2)若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度具有概率密度则称（则称（ X,Y）服从参数为服从参数为其中其中均为常数均为常数,且且的的二维正态分布二维正态分布.记作记作二维正态分布二维正态分布3
2、.2 二维随机变量二维随机变量（X,Y）分布函数为分布函数为F(x,y),而而X,Y都是随机变量，各自具有分布函数，分别记为都是随机变量，各自具有分布函数，分别记为FX(x)和和FY(y),依次称为依次称为（X,Y）关于关于X和关于和关于Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。二维离散型随机变量的二维离散型随机变量的边缘分布密度边缘分布密度i, j =1,2, 设（设（X,Y）为离散型随机变量，为离散型随机变量，则则(X,Y)关于关于X、Y的的边缘概率分布边缘概率分布分别为分别为边缘分布密度边缘分布密度XYa1a2.ai.b1b2.bjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij
3、.pjpip1 p2 pjp1p2 .pi .1例例1：设袋里有五个同类产品，其中有两个是：设袋里有五个同类产品，其中有两个是正品。现依次抽取两个正品。现依次抽取两个,设设X、Y份表示第一次、份表示第一次、第二次抽取的产品。在第二次抽取的产品。在无放回抽取无放回抽取和和有放回有放回抽取抽取两种情况下分别求（两种情况下分别求（X,Y）的关于的关于X,Y的的边缘分布密度。边缘分布密度。设（设（X,Y）的分布密度为的分布密度为f(x,y),则关于则关于X和关于和关于Y的的边缘分布密度边缘分布密度分别为分别为二维连续型随机变量的二维连续型随机变量的边缘分布密度边缘分布密度随机变量的独立性随机变量的独立
4、性 如果二维随机变量（如果二维随机变量（X,Y）满足满足,对任意对任意x,y有有 则称则称X,Y相互相互独立独立 .离散型离散型连续型连续型例例2 已知已知X、Y独立独立,完成下面表格。完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/61例例4：设（：设（X,Y）在区域在区域G（0y2x+2,-1x 0，则称则称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件概率函数的条件概率函数.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2, 联合分布联合分布边缘分布边缘分布 条件分布是一种概率分布，它具有概率条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，正
5、如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质具有概率的一切性质.例如：例如：i=1,2, XY10101/103/103/103/10例例1 已知（已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在的分布密度如下，分别求在X=1和和X=0条件下，条件下，Y的分布密度。的分布密度。连续型连续型r.v的条件分布的条件分布定义定义 设设X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为 f (x,y),边缘概率密度为边缘概率密度为 ，则对一切使，则对一切使 的的x , 定义已知定义已知 X=x下，下，Y 的条件的条件密度函数为密度函数为同样，对一切使同样，对一切使 的的 y, 定义定义为已知为已知 Y=y下，下，X的条件密度函数的条件密度函数 .定义定义 例例2：设二维随机变量（：设二维随机变量（X,Y）的分布密度为：的分布密度为：求求(X,Y)关于关于X和和Y的条件分布密度。的条件分布密度。例例3 3：设数：设数X X在区间在区间(0,1)(0,1)均匀分布，当观察到均匀分布，当观察到X=xX=x(0(0x x1)1)时，数时，数Y Y在区间在区间( (x x,1),1)上随机地取值，上随机地取值，求求Y Y 的概率密度的概率密度 。
