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1、第五章第五章 概率基础概率基础误要狙梦俏秉怔鞠淹棺频烙摄哭嗣伞浆恩八漆蛆抓己誉狐等琅窃驴螺殿系五章概率基础五章概率基础1本章主要内容本章主要内容n概率论的发展史概率论的发展史n随机事件随机事件(Random Events)(Random Events)n概率的统计定义概率的统计定义n古典概型古典概型(Classical Probability)(Classical Probability)n几何概率（几何概率（Geometric Probability)Geometric Probability)n条件概率条件概率(Conditional Probability)(Conditional Pr
2、obability)n事件的独立性事件的独立性(Independence of Events)(Independence of Events)眩身鲜媚栽棕该鼓涯冷付鳃炮裸昨砰蛾富搔疙瞄鸟葵姜敞需括字菱徊祖傀五章概率基础五章概率基础2第一节第一节 随机事件随机事件一、随机试验一、随机试验(Random experiment) (Random experiment) 为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。2.将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。将一枚硬币抛三次，观察出现正
3、面的次数。3.抛一枚骰子，观察出现的点数。抛一枚骰子，观察出现的点数。4.记录车站售票处一天内售出的车票数。记录车站售票处一天内售出的车票数。5.在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。6.记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。椎率碟烷敦杆嚏浦宦撒畴建馅银希唁垦野敏汁渐秋矣余典攒锻源优梢稠桩五章概率基础五章概率基础3 这些试验都具有以下的特点：这些试验都具有以下的特点：n可重复性：可重复性：可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行n可预知性：可预知性：试验可能结果不止一个试验可能结果不止一个, ,但能确定但能确定 所
4、有所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；所有可能结果；n随机性：随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种一次试验之前无法确定具体是哪种 结果结果出现。出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为为随机试验随机试验(Random experiment)(Random experiment)，表示为，表示为E E 。 蜗渤优撑客钎秆腹瘫夕闯砌绒华股币采陈骡乡裳贯玉懊杜哮谤闭寨欠待蝶五章概率基础五章概率基础4二、事件（二、事件（Event)n必然事件必然事件 ：某件事情在一次试验中一定
5、发生：某件事情在一次试验中一定发生 如：如： “ “在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸1414张，其中有两张花色是不同张，其中有两张花色是不同” ” 就是必然事件。就是必然事件。n不可能事件不可能事件 ：某件事情在一次试验中一定不发生：某件事情在一次试验中一定不发生 如：如：“在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸1414张，其中没有两张花色是不同的张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。就是不可能事件。n随机事件（随机事件（A,B,C,) A,B,C,) ：某件事情在一次试验中既可：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生能发生，也可能不发生 如：如：“掷一枚硬币，出现正面朝上掷一
6、枚硬币，出现正面朝上” “ “扔一枚骰子，出想扔一枚骰子，出想6 6点点”隶族榴悉郡蕾煮拌慎镇色墨恳澜凑蛇竟桂叶跃情劈纳千碉遣不娇鹏亏廖疹五章概率基础五章概率基础5 基本事件（基本事件（基本事件（基本事件（ ）：试验的每一个结果都是一个事件，这：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件些事件不可能再分解成更简单的事件一般的事件由基本事件复合而成。一般的事件由基本事件复合而成。 例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有6种种“掷得掷得1 1点点”“掷得掷得2 2点点”“掷得掷得3 3点点”“掷得掷得4 4点点”“掷得
7、掷得5 5点点”“掷得掷得6 6点点”“掷得奇数掷得奇数”“掷得偶数掷得偶数”基本事件基本事件复合事件胯广杀匀鬃候埔躯章逗痔醛征畸摇耀彦氰阁咙瞻飞八微磺专歼淫淡武银掐五章概率基础五章概率基础6 例例1 1 对于试验对于试验E： 将一枚硬币连抛三次，考虑正反将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况，若记面出现的情况，若记“正面正面”为为H， “ “反面反面”为为T， 则基本事件有：则基本事件有：HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH，TTT随机事件随机事件 A A“至少出一个正面至少出一个正面” ” HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH； B=“ B=“两次出现
8、同一面两次出现同一面”=”=HHH,TTT C=“ C=“恰好出现一次正面恰好出现一次正面”=”=HTT，THT，TTH 童憋疹围猿届罕澄祷松彪媳臆颧翠楚浅笋励蔡述冬溅庶被曝涵助掘志羔殖五章概率基础五章概率基础7n2020世纪，冯世纪，冯. .米泽斯米泽斯(Von Mises)(Von Mises)开始用集合论研究事件。开始用集合论研究事件。1. 1. 样本空间样本空间n样本点：随机试验样本点：随机试验E E的每一个可能结果的每一个可能结果n样本空间：样本点的全体，即随机试验样本空间：样本点的全体，即随机试验E E的所有可能结果组的所有可能结果组成的集合，记为成的集合，记为 。n例例1 1：掷
9、一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能结果有：掷一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能结果有：“正面向上正面向上”，“反面向上反面向上”两个，则样本空间为：两个，则样本空间为：三、事件的集合论定义三、事件的集合论定义沉辅枚驳傅犀蛇秧洲邦缎吞瑰谜骤狐助褒邑庙噶骏攫笺爱秸虱必孺谚脱核五章概率基础五章概率基础82. 2. 事件的集合论定义事件的集合论定义n 事件可以看作是样本空间的子集事件可以看作是样本空间的子集 事件事件A不发生不发生 不是不是A中的点中的点事件事件A发生发生 是是A中的点中的点事件事件A 子集子集A A基本事件、样本点基本事件、样本点 点（元素）点（元素）不可能事件不可能事件 空
10、集空集必然事件、样本空间必然事件、样本空间 空间空间概率论解释概率论解释集合论解释集合论解释符号符号猪多沈峙洞软滇磁狸蓬棱碱陨粳弯层橱秤溯帛氟克哦瞒人钧浊焙牧未灭伤五章概率基础五章概率基础9（1 1）事件的包含与相等）事件的包含与相等n若若“A发生必导致发生必导致B发生发生” 记为记为n若若 , ,则则 称事件称事件A与与B相等相等, ,记为记为A=B.（2 2）事件的和（并）事件的和（并）n“事件事件A A与与B B至少有一个发生至少有一个发生”,”,记作记作ABAB3 3、事件间的关系与运算、事件间的关系与运算吊痛戎惕棠商捡会炙眉惊娃禹崩羽世鉴架母讥拓关现州报攻铰长定茧拍域五章概率基础五章
11、概率基础10（3 3）事件的积）事件的积n事件事件A A与与B B同时发生，记作同时发生，记作 ABABnn n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记同时发生，记作作 A1A2An （4 4）事件的差）事件的差n事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生, ,记为记为A AB Bn思考：何时思考：何时A-B=?何时何时A-B=A？探睹胚蜂凳脐噎铱遗混融柞液律找拿棠蚁镭磁友怎薪罚羹窄厂韩即暮疯馅五章概率基础五章概率基础11（5 5）互斥事件）互斥事件n若事件若事件A A与与B B不能同时发不能同时发生生, ,即即AB=,AB=,则则 称事件称事件A A与与B B互斥互斥, ,或互不相容或互不
12、相容 （6 6）逆事件）逆事件n设设A，B为为两两事事件件, ,若若AB=且且AB=, ,则则称称事事件件A与与B互互为为逆逆事事件件或对立事件或对立事件. . 记记作作 ，称称为为B是是A的对立事件的对立事件A圆参郝院货冤台翟成根桥惠磋烦诧樊徒棕广悟尺巡栋婪颤疯起坝匀拘蜂匪五章概率基础五章概率基础12涕酒匆寂柿吟农铭均氮噬囚皇填焦嗣缕屡孝涤孰炒砖绊涨斗仟匣诽催型鼻五章概率基础五章概率基础13解：解：nA1A1： “ “至少有一人命中目标至少有一人命中目标”：nA2A2： “ “恰有一人命中目标恰有一人命中目标”：nA3A3：“恰有两人命中目标恰有两人命中目标”：nA4A4：“三人均命中目标三
13、人均命中目标”：nA5A5：“三人均未命中目标三人均未命中目标”：nA6A6： “ “最多有一人命中目标最多有一人命中目标”：例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，分别表示甲、乙、丙命中目标， 试用试用A、B、C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：饰颅醛盗匈硫侥硬留御词厦瘸噶油坛袜判沈佛喉咙束侦气锅仟级拴派与晾五章概率基础五章概率基础14第三节第三节 概率的统计定义概率的统计定义一、一、 事件的频率事件的频率(Frequency)(Frequency) 1. 定义定义：设设E为任一随机试验，为任一随
14、机试验，A为其中为其中 任一事件，任一事件，在相同条件下，把在相同条件下，把E独立的重复做独立的重复做n次，次，nA表示事件表示事件A在这在这n次试验中出现的次数次试验中出现的次数(即频数即频数)。 比值比值 称为事件称为事件A在这在这n次试验中出现次试验中出现的频率的频率(Frequency).臃催雅胖甩式邦肃呵消闺容靠性介滞惊成谢直窟挂窿跪礼锻巴唱韧谎掐棍五章概率基础五章概率基础152.频率的性质频率的性质n非负性：非负性：0fn(A)1；n规范性：规范性：fn()1，fn()=0；n可可加加性性：若若AB，则则 fn(AB) fn(A) fn(B).n稳定性：当试验次数n增大时，频率fn
15、(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率. . 吵挣透尹邻亲譬改锄锻俏卖褒欣资扰两炼部诞撞迸友庞忽累谚劫庭隅烈作五章概率基础五章概率基础16实践证明：频率稳定于概率实践证明：频率稳定于概率（1 1）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。硬币时，出现正反面的机会均等。 安蹈数奸小闷哩淄梁畅秉培钻茫聊掏抚俱炯雍禽酗圾掇迸及刘预赏侯眉缴五章概率基础五章概率基础17（2 2）男性别比率稳定于）男性别比率稳定于0.50.5n一个孕妇生男生女偶然，但是就整个国家和大城市而言，从人口普查资料中看到，男性占全体
16、人数的比例几乎年年不变，约为0.50.5。人口普查人口普查总人数（亿）总人数（亿）男性人数男性人数比例比例第一次（第一次（19531953）5.825.823.023.020.5180.518第二次（第二次（19641964）6.956.953.573.570.5130.513第三次（第三次（19821982）10.0810.085.195.190.5150.515第四次（第四次（19901990）11.3411.345.855.850.5160.516第五次（第五次（20002000）12.6612.666.536.530.5160.516肌纺碳弹宽闷躲喀署芝灿翱道蝉哎辖寄呕烷砧函屋恳银车遁
17、蓟鹃最姑苟盗五章概率基础五章概率基础18定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件的概率的概率(Probability)(Probability)，记为：，记为：注：注：1 1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。 2 2 概率的统计定义只是描述性的。概率的统计定义只是描述性的。 3 3 通常只能在充分大时，以事件出
18、现的频率作为事通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值（件概率的近似值（monto calomonto calo方法的基本思想）方法的基本思想） 二、二、 概率的统计定义概率的统计定义背畴帆减缘削文咱颅徐赢祝拌惑胖牛吧却哩嘻痈酮檬百折冤览卖甫稳惺纠五章概率基础五章概率基础19第四节第四节 概率的公理化定义概率的公理化定义n1.1.定定义义：若若对对随随机机试试验验E E所所对对应应的的样样本本空空间间中中的的每每一一事事件件A A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)P(A)，集合函数，集合函数P(A)P(A)满足条件：满足条件： n(1) (1) 非负性：非负性：P(A) 0P
19、(A) 0；n(2) (2) 规范性：规范性：P()P()1 1； n(3) (3) 可列可加性：可列可加性： 设设A A1 1，A A2 2，是一列两两互不相容的事件，是一列两两互不相容的事件， 即即A Ai iA Aj j，(ij)(ij)，i,ji,j1,2, 1,2, 有有 P( A P( A1 1AA2 2 ) ) P(A P(A1 1) ) P(AP(A2 2)+)+n 则称则称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率。的概率。髓岳武放狂暂吏抛吾征适柔揍酌祭堤悠梨培讯烈陶另每牟虱氖史兜茎屉播五章概率基础五章概率基础202. 2. 概率的性质概率的性质 淌汀蚂报意卯庭喊惯椰省帐桶蔷缄
20、霓罗引参忆地豁忠莫殖笑赠裤媒唤稿围五章概率基础五章概率基础21奉拴泛磋携专汰贸饰浆炙托寒描冈娜训僧讶遭肠归旨琢楔涉寇冲巢啸侠乒五章概率基础五章概率基础22 例例. .在在1 11010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求 （1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率， （2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率， （3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。 n解解: :设设A=“取到的数能被取到的数能被2整除整除”;B=“取到的数能被取到的
21、数能被3整除整除”。则则nP(A)=1/2P(B)=3/10P(AB)=1/10n(1)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=7/10n(2)n(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5n芍剐睦靖寝摈跟劈冬窄蚤背歹鞭锐早命雌蔽椅膛跺缺漠娠愚郎襟钮口汇射五章概率基础五章概率基础23第五节第五节 古典概型古典概型n “古典概型古典概型”是最简单、最直观的概率模型。是最简单、最直观的概率模型。n 定义：定义：若某实验若某实验E满足满足：n1.1.有限性：样本空间有限性：样本空间1,2,nn2.2.等可能性等可能性：P(1)=P(2)=P(n)。则称则称E为为古典概型古典
22、概型也叫也叫等可能概型等可能概型。 秃婪旬锗核酪冉蛆旷拌指晶煞隐锤服褪拙魏枷缘窥邦憾率概唆挝粤蓉圾脾五章概率基础五章概率基础24 设在古典概型中，试验设在古典概型中，试验E E共有共有n n个基本件，个基本件，事件事件A A包含了包含了m m个基本事件，则事件个基本事件，则事件A A的概率为的概率为 二、概率的古典定义二、概率的古典定义谷习脊帆且宴移岔州胚膘捡讼廊叔庚擅套鲍源韩邪炳梢浑溶栗兹带庙诣榴五章概率基础五章概率基础25例：任意投掷两枚均匀的硬币，求例：任意投掷两枚均匀的硬币，求A “恰好发恰好发生一个正面向上生一个正面向上”的概率。的概率。n解：试验的所有结果：解：试验的所有结果： n
23、（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）n根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有等可能性，这是一个古典概型。等可能性，这是一个古典概型。nA A（正、反）（反、正）（正、反）（反、正）n所以，概率所以，概率P=2/40.5简聪宋悟涂丽爱锈殷凋粗晴抗芦瑟拘塌寻迎央辫鸳茅咙搓拯戎玩宦瓷斑管五章概率基础五章概率基础26例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少? ?n解解：设设H=“
24、某某个个孩孩子子是是男男孩孩”，A=“至至少少有有一一个个男男孩孩” ” n试验所有结果为：试验所有结果为：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT n事件事件A=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT n从而，从而，n=8，m=7nP(A)=m/n=7/8 尊攻晦墟绷崖市辜邢梆赌荧藩佑扒厦幕迟遗颂壮蘸唐酬搭妊逝觅艾页魏誊五章概率基础五章概率基础271.1.几何概型几何概型：若一个试验具有两个特征：若一个试验具有两个特征： （1 1）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的 几何区域来表示几何区域来表示
25、 （2 2）每次试验的各种结果等可能的。）每次试验的各种结果等可能的。 则称这样的试验是几何概型。则称这样的试验是几何概型。2.2.几何概率：几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，记为记为 ，事件，事件A A所对应的区域记为所对应的区域记为A A，则定义事件，则定义事件A A的概率为：的概率为：第六节第六节 几何概型几何概型（一）几何概型的定义（一）几何概型的定义仆涯垒辽杏寅论快蔼啦瞎坍邢清盼算眉谭柒就勘态囊蹬庭多矣呀吾器便永五章概率基础五章概率基础28n例例 某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，某人发现他的表停了，他打开收音机
26、想听电台报时，试求它等待的时间不超过试求它等待的时间不超过1010分钟的概率。分钟的概率。 n解：因为电台每隔解：因为电台每隔6060分钟分钟( (即即1 1小时小时) )报时一次报时一次, ,因此，可认因此，可认为此人打开收音机的时刻处在为此人打开收音机的时刻处在00，6060上任何一点都是等上任何一点都是等可可 能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间=0=0，6060。设事件。设事件A=“A=“等待时间不超过等待时间不超过1010分钟分钟”，则导致事，则导致事件件A A发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间
27、5050，6060上的任一点。上的任一点。 这个区间长度为这个区间长度为10(10(单位单位: :分分) ) 。而。而的长的长度为度为 60( 60(单位单位: :分分) )。由几何概率的定义，。由几何概率的定义，爷掳援箍旺羡曝然敬姿肌淫虑麦词泪幻郝昌秘叙挣偷筒布骑糖梆灰绦事芳五章概率基础五章概率基础29n例（布丰问题）平面上有距离为例（布丰问题）平面上有距离为d d的一族平行线，向此平面任的一族平行线，向此平面任意投掷一长为意投掷一长为l(ld)l(l0P(B)0，则事件，则事件B B已经发生的条件下，事件已经发生的条件下，事件A A发生的条件概率发生的条件概率P(B|A)P(B|A)定义为
28、：定义为：挝暴合截寐溶赎竿驴烙洁口署扇沼扛抓极芳世捷奶幢乳砒疲垦川词廊姻甥五章概率基础五章概率基础33例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道一年中雨天的比例占一年中雨天的比例占2020，乙市占，乙市占1414，两地同时下雨占，两地同时下雨占1212，试求：试求：（1 1）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率（2 2）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率（3 3）甲市或乙市下雨的概率）甲市或乙市下雨的概率n解：记解：记A=“A=“甲市出现雨天甲市出
29、现雨天”，B=“B=“乙市出现雨天乙市出现雨天”n根据题意，根据题意，P(A)=0.20P(A)=0.20，P(B)=0.14P(B)=0.14，P(AB)=0.14P(AB)=0.14n从而，在乙市下雨的条件下，甲市有从而，在乙市下雨的条件下，甲市有85.785.7的可能要下雨，可能性很大。的可能要下雨，可能性很大。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。茁授锚槐帅粪恩孟葛英桌姨盏扮叶律籽面蘑簧赡骄既猿狰罚败棕某使秤际五章概率基础五章概率基础34辱塑羚壮铺沮霸笛柬轩笔烂乞箍剑姜馋讨突纬正抡好塞帛只吐腊娇仓霓矣五章
30、概率基础五章概率基础35n设设A A、BB，P P（A A）0,0,则则nP(AB)P(A)P(B|A). 上上式式就就称称为为事事件件A A、B B的的概率乘法公式。概率乘法公式。n上式还可推广到三个事件的情形：上式还可推广到三个事件的情形：n P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). . n一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：nP(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)二、乘法公式二、乘法公式春弄阎悉糙抓醉吵汉撼拨裤脑溉赋思戴窿研滴亏宫玖废蛤挤苦搂宇腔韭旭五章概率基础五章概率基础36浙榨廓剧甸携压警惧妨由邮旅础择耽衬忿拉铂恼篡医管率咱锻窒邢铅桌鸦五章概率基础五章概率基础37第八节第八节 事件的独立性事件的独立性伸菜册投狮牙交钳赐磐昭役泪吟泞串填抓闺脐酸吱溶兑允找忻浆帐迸杨塑五章概率基础五章概率基础38肘刃挥岳早胃砰伴睦蔼迟铰抿错捅阵拙调斑姑刨圈签前梁有胸怕竟鄙廓擎五章概率基础五章概率基础39例例 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为炮击中敌机的概率为0.90.9，乙炮击中敌机的概率为，乙炮击中敌机的概率为0.80.8，求敌机被击中的概率？，求敌机被击中的概率？恤捍扫勿侈莆赘文机就皇城祥畦伸质膀恒涯穆模蜡宝开妮低太撩叙馏琵富五章概率基础五章概率基础40
