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1、第五节第五节 函数的图象函数的图象 基础梳理基础梳理基本函数:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函 数、 对数函数、三角函数等.对于这些函数的图象应非常清楚描点法作图:通过 、 、 三个步骤,画出函数图 象.用描点法在选点时往往选取 ,有时也可利 用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图 象图象变换法作图:一个函数的图象经过适当的变换,得到另 一个与之有关的函数图象,在高考中要求 学生掌握三 种变换: 、 、 .函数的图象函数图象的作法列表 描点连线特殊点平移变换 伸缩变换对称变换2.2. 平移变换(1)y=f(x)的图象 得到函数y=f(x+a)的图象.(2)y=f(x-b)(b0)
2、的图象可由y=f(x)的图象 得到.对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀: .而对于上、下平移，则比较容易掌握，原则是上加下减，但要注意的是加、减指的是 .如:h0,y=f(x)h的图象可由y=f(x)的图象 而得到.3. 对称变换(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称;(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 对称;(3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称;向左平移a(a0)个单位向右平移b个单位左加右减.在f(x)整体上向上(下)平移h个单位y轴x轴原点(4) 与y=f(x)的图象关于 对称;(5)y=|f(x)|的图象:可将y=f(x)的图
3、象 ;(6)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x),当x0时的图象,再利用偶函数的图象关于 对称,作出y=f(x)(x0)的图象.4. 伸缩变换(1)y=Af(x)(A0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的纵坐标 , 不变而得到;(2)y=f(ax)(a0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的横坐标 , 不变而得到.直线y=x在x轴下方的部分关于x轴翻转180,其余部分不变y轴原来的A倍横坐标变为原来的纵坐标典例分析典例分析题型一题型一 作图作图【例例1 1】作出下列函数的图象. 分析 首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数,然后由基本初等函数图象变换得到.解 (1)首先化简
4、解析式得 利用二次函数的图象作出其图象,如图.(2)因 ,先作出 的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即得 的图象,如图.(3)先作出征性 的图象,再将其图象向下平移一个单位, 保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方, 即得y= 的图象,如图.学后反思 已知函数解析式研究函数图象问题,主要是将解析式进行恰当的化简,然后与一些常见函数的图象相联系,通过各种图象变换(主要有平移变换、伸缩变换、对称变换)等得到要求的函数图象.另外,还要善于借助解析式发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等),以此帮助分析函数图象的特征.(4)先作出y=2x的图象,再将其图象在y轴左边的
5、部分去掉,并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=2 |x|的图象,再将y=2 |x|的图象向右平移一个单位,即得y=2|x-1|的图象,如图. 举一反三举一反三 1. 已知函数y=xf(x)的图象如图所示（其中f（x）是函数f(x)的导函数），画出y=f(x)的大致图象.答案：题型二题型二 识图识图【例例2 2】为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为 (a为常数),如图所示.据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)
6、与时间t(小时)之间的函数关系式为 ;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么药物释放开始,至少需要经过_小时后,学生才能回到教室分析 根据函数图象求出函数图象所过的特殊点是求解的关键.解 (1)当0t0.1时,设y=kt,由图象知y=kt过点(0.1,1),则1=k0.1,k=10,y=10t(0t0.1).由 过点(0.1,1)得 a=0.1, (2)由 ，得t0.6,故至少需经过0.6小时.学后反思 函数图象是函数的另外一种表达形式.图象可以形象地描述函数的性质,但具体到有关具体量的分析还必须借助函数的解析式以及代数的有关知识解决.举一反三举一
7、反三 2.已知函数 的图象如图,求b的取值范围 解析: 方法一:观察f(x)的图象,可知函数f(x)的图象过原点, 即f(0)=0,得d=0, 又f(x)的图象过(1,0),0=a+b+c， 又f(-1)0,-a+b-c0， +得b2时,f(x)0,从而有a0,b0.即b的取值范围是(-,0).题型三题型三 函数的图象变换函数的图象变换【例例3 3】(2008青岛模拟改编)已知函数 则下列函数的图象错误的是_解: f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位,故正确;f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,故正确;分析 先画出分段函数 的图象,再根据函数图象
8、间的变换逐一判断.由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在y轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象关于y轴对称得到,故正确;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x轴下方部分关于x轴翻转180,其余部分不变,故错.学后反思 这类问题主要考查函数图象的几种变换(如平移变换、对称变换、伸缩变换等),有时也考查函数的奇偶性及互为反函数的两个函数的图象问题.复习时应加强对y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系的理解. 3.在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称,现将y=g(x
9、)的图象沿x轴向左平移2个单位再沿y轴向上平移1个单位 ,所得图象是由两条线段组成的折线(如图所示),求函数f(x)的表达式. 解析： 设图中的函数为 则 举一反三举一反三题型四题型四 函数图象综合问题函数图象综合问题【例例4 4】(14分)如图,点A、B、C都在函数 的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A、B、C,记ABC的面积为f(a),ABC的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.分析 (1)充分利用已知图形,通过图形的拆分与组合找到问题的突破口,从而解决问题.(2)比较两值
10、大小经常用到作差比较,通过f(a)与g(a)的差和0的大小关系得出f(a)与g(a)的大小.解 (1)连结AA、BB、CC,.2 则f(a)=SABC =S梯形AACC-SAAB -SCCB学后反思 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.f(a)g(a).144. (2008北京改编)如图,动点P在正方体 的对角线 上.过点P作垂直于平面 的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)图象大致是 .解析： 显然,只有当P移动到正方体中心O时,MN有唯一的最大值,排除、;P点移动时,x
11、与y的关系应该是线性的,排除 答案： 易错警示易错警示【例例】(2009滨州模拟)设函数f(x)=|lg x|,若0af(b),求证:ab1 错解 方法一:由函数f(x)=|lg x|作出图象如图,0af(b),a、b应是函数减区间上两点的横坐标,0ab1,ab1 方法二: f(x)=|lg x|,0af(b),|lg a|lg b|,若b(0,1),则-lg a-lg b0,lg alg b0,0a1,ab1,lg a+lg b0,即lg ab0,ablg b，即lg a+lg b0,lg ab0,ablg b,ab,这与已知矛盾.综上可知,对于函数f(x)=|lg x|,若0af(b),都
12、有ab1.错解分析 (1)f(x)=|lg x|图象可分为两段:当x1时,lgx0,f(x)的图象与y=lg x的图象重合;当0x1时,lg x0,f(x)的图象与y=lg x的图象关于x轴对称.发挥函数图象功能,以形助数的出发点是好的,不过由图象难以看到函数f(x)的微观部分，得出ab1是令人费解的.更何况,本题考查的是逻辑推理.(2)分类讨论,首先要确定分界点,其次讨论要做到不重、不漏.函数f(x)的定义域是(0,+),由f(x)=0，得x=1,即（1，0）是分界点,但是a,b的关系不只是a,b(0,1)和a,b(1,+),还有a(0,1),b=1;a(0,1),b(1,+)a=1,b(1
13、,+).当然,排除某种情形的可能性是必要的,还要做到尽量减少逻辑划分结构,以减少讨论次数,比如将a=1,b=1合并在某种情形当中.本题恰恰在分类讨论策略上进行了有效的考查 正解 方法一:由已知0af(b)，ab不能同时在区间1,+)上,又由于0ab,故必有a(0,1).若b(0,1),显然有ab0,有-lg a-lg b0,故lg ab0,abf(b),即|lg a|lg b|,(lg a)2(lg b)2,(lg a)2-(lg b)20,即(lg a+lg b)(lg a-lg b)0. 函数y=lg x是增函数,又0ab, lg alg b,即lg a-lg b0, lg a+lg b0
14、,即lg ab0,ab5时,f(x)0,1, ,y=f(x)与 的图象不再有交点 故函数f(x)与 的图象上的交点个数为4 11. 已知函数 .(1)求证:函数f(x)是偶函数；(2)画出函数f(x)的图象.解析 (1)证明：xR, =f(x),f(x)是偶函数.（2） ,函数f(x)的图象如图所示 12. 某计算机公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，利润y(万元)关于总产量x(台)的函数的图象如图所示.（1）根据图象写出y（万元）关于总产量x(台)的函数关系式；（2）求出每台计算机的售价.解析： (1)由函数图象过点(0,-200)和(1 0
15、00,0),y=0.2x-200(xN*).(2)设每台售价m万元，则mx-(200+0.3x)=0.2x-200,解得m=0.5.即每台计算机售价0.5万元.第六节第六节 椭圆椭圆基础梳理基础梳理1. 椭圆的定义（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a;2a F1F2.(2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是F1F2.2. 椭圆的标准方程和几何性质F1、F2标准方程 图形性质 范围 xa yb xb ya对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点A1 ,A2B1 ,B2 A1 ,A2B1 ,B2 轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为
16、.焦距 F1F2=离心率 e= a,b,c的关系 c2=-a-a-b-b(-a,0)(0,-b)(a,0)(0,b)(0,-a)(-b,0)(0,a)(b,0)2a2b2c(0,1)a2-b2典例分析典例分析题型一题型一 椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.解 方法一：设椭圆的标准方程 或 ,两个焦点分别为F
17、1、F2，则由题意知2a=PF1+PF2= , a= .在方程 中,令x=c,得y= ；在方程 中,令y=c,得x= .依题意知 = ,b2= .即椭圆的方程为方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则PF1= ,PF2= .由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2= ,即a= .由PF1PF2知，PF2垂直于长轴.故在RtPF2F1中，4c2=PF12-PF22= ,c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直
18、接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .举一反三举一反三1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0)，求证:F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.分析
19、 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . 在 中， m+n=2a,1+cos 0, .由、得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号), e , e的取值范围为 ,1).学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |
20、及 的大小.解析: , , ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,|P |=2,又由余弦定理，得 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两
21、直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, .2a=2,c=1,b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1. .4(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, .6则由题意得=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20.又x1+x2= ，x1x2= ，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 8以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D
22、(2,0),kADkBD=-1,即 ,y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2012当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以直线l过定点，定点坐标为( ,0). 14学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进
23、一步解题的基础.举一反三举一反三3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程.解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0.【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2
24、r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y0),解得 (0xr).S= (2x+2r) = (x+r),由S0和C与D不重合，得其定义域为x0xAB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB
25、的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2.易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .错解 由已知 , ,又 ,解得k=4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+89时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0k+8b0).c= , 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有0,即 恒成立. 即 , .故所求椭圆方程为 12. (2008北京）已知菱形ABCD的顶
26、点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值
