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1、12.8 连续函数的运算与连续函数的运算与 初等函数的连续性初等函数的连续性连续函数的四则运算的连续性连续函数的四则运算的连续性连续函数的反函数的连续性连续函数的反函数的连续性小结小结 思考题思考题 作业作业初等函数的连续性初等函数的连续性第第2 2章章 极限与连续极限与连续连续函数的复合函数的连续性连续函数的复合函数的连续性一、四一、四则运算的运算的连续性性定理定理1 1例如例如,二、反函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.不加证明的指出指数函数
2、不加证明的指出指数函数单调且连续单调且连续;所以它的反函数对数函数所以它的反函数对数函数单调且连续单调且连续;5定理定理3 3设函数设函数y = f g(x)是由函数是由函数y = f (u)与与函数函数u = g(x)复合而成复合而成,则复合函数则复合函数y = f g(x)在在x = x0连续连续.证证三、连续函数的复合函数的连续性三、连续函数的复合函数的连续性若函数若函数u = g(x)在在x = x0连续连续, 且且 g(x0) = u0, 而函数而函数y = f (u)在在u = u0连续连续,有可能有可能g(x) = u0, 但此时但此时f g(x)= f (u0)= f g(x0
3、)并不影响上述极限过程并不影响上述极限过程. 6例例解解 由由所以所以满足满足定理定理3 3的条件有的条件有:上述定理对计算某些极限很方便上述定理对计算某些极限很方便.可交换次序可交换次序意义意义可交换次序可交换次序;2. 变量代换变量代换的理论依据的理论依据. 1. 在定理的条件下在定理的条件下,7例例解解 这里这里不连续不连续,但但所以所以8例例解解同理可得同理可得四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的. 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .( (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 ) )
4、定理定理4 4 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例例例解解解解13解解 考研数学三考研数学三, 填空题填空题, 3分分定理定理3 3则有则有14考研数学考研数学(三三, 四四)选择题选择
5、题(4分分)则则(A) x = 0必是必是g(x)的第一类间断点的第一类间断点.(B) x = 0必是必是g(x)的第二类间断点的第二类间断点.(C) x = 0必是必是g(x)的连续点的连续点.(D) g(x) 在点在点x = 0处的连续性与处的连续性与a的取值有关的取值有关.注注: :例如例如,解解16五、小结五、小结连续函数的四则运算的连续性连续函数的四则运算的连续性;连续函数的复合函数的连续性连续函数的复合函数的连续性;初等函数的连续性初等函数的连续性:求极限的又一种方法求极限的又一种方法.连续函数的反函数的连续性连续函数的反函数的连续性;定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;
6、17解答解答思考题思考题1如果函数如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点至少有一个在点x0不不那么那么, f (x) + g(x)在该点是否连续在该点是否连续?连续连续,(1) 若两个函数若两个函数 中中只有一个在点只有一个在点x0不连续不连续,则则f (x) + g(x)在点在点x0必不连续必不连续. 用反证法证之用反证法证之:不妨设在点不妨设在点x0, 并假设并假设 f (x) + g(x)在点在点x0连续连续, 则由连续函数的运算性则由连续函数的运算性质有质有:在点在点x0连续连续,与已知矛盾与已知矛盾. 故故 f (x) + g(x)在点在点x0不连续不连续. f (x)连续连续
7、, g(x)不连续不连续;18解答解答思考题思考题1如果函数如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点至少有一个在点x0不连续不连续,(2) 若若f (x)、g(x)在点在点x0均不连续均不连续,则则 在在f (x) + g(x)在点在点x0可能连续可能连续,那么那么, f (x) + g(x)在该点是否连续在该点是否连续?也可能不连续也可能不连续.如如:在在 x = 0处均不连续处均不连续,在在 x = 0处处连续连续.在在 x = 0处均不连续处均不连续,在在 x = 0处亦不连续处亦不连续.19思考题思考题2 (是非题是非题)处有定义处有定义,则则非非故故但但20思考题思考题2(是非题是非题)处有定义处有定义,则则所以所以,不存在不存在.故故正确的说法是正确的说法是: 在点在点x0连续连续,则则作业作业习题习题2.8 (522.8 (52页页) ) 1. 3(2)(3)(6)(9)(11)(13)(16).
